Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy

Resumo

Esta aula passa do que a derivada diz em um ponto ao que diz em um intervalo. Define os extremos locais e demonstra o teorema de Fermat: se uma função atinge um extremo local em um ponto interior de seu domínio e é derivável nele, sua derivada se anula; a demonstração decorre da proposição sobre o sinal da derivada em um ponto, da aula sobre as taxas de variação. Junto com o teorema de Weierstrass, da aula precedente, Fermat dá o teorema de Rolle; Rolle, aplicado à diferença entre a função e sua corda, dá o teorema do valor médio de Lagrange, segundo o qual alguma tangente é paralela à corda; e, aplicado a uma combinação de duas funções, o teorema do valor médio de Cauchy, com o qual a próxima aula demonstrará a regra de L’Hôpital. Do teorema do valor médio saem as primeiras consequências globais: uma função com derivada nula em um intervalo é constante, duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante, uma cota da derivada limita os incrementos, entre duas raízes de uma função há uma raiz de sua derivada, e o limite da derivada, se existe, é a derivada. Exemplos simples mostram que nenhuma hipótese dos teoremas pode ser suprimida.

Objetivos de aprendizagem

Expressar com quantificadores o que é um extremo local, e demonstrar o teorema de Fermat distinguindo a condição necessária que ele dá de uma condição suficiente.
Demonstrar os teoremas de Rolle, do valor médio de Lagrange e do valor médio de Cauchy, lê-los no gráfico e mostrar com contraexemplos que suas hipóteses não podem ser suprimidas.
Deduzir do teorema do valor médio que uma função com derivada nula em um intervalo é constante, e obter desigualdades e cotas de erro a partir de uma cota da derivada.
Contar as raízes de uma equação, limitando seu número por cima com o teorema de Rolle e por baixo com o de Bolzano.

Extremos locais e o teorema de Fermat

A aula sobre o teorema de Weierstrass garante que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo, mas não diz onde. Para localizá-los, convém uma noção que só olhe perto do ponto: um valor pode ser o maior entre os próximos sem ser o maior de todos.

DefiniçãoExtremo local e ponto interior

Sejam $f$ uma função definida em um conjunto $A$ e $x_0$ um elemento de $A$ . Diz-se que $f$ atinge um máximo local em $x_0$ se existe um $\delta > 0$ tal que nenhum valor de $f$ nos pontos de $A$ cuja distância a $x_0$ é menor que $\delta$ supera $f(x_0)$ , e que atinge um mínimo local em $x_0$ se nenhum desses valores é menor que $f(x_0)$ :

(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Um extremo local é um máximo local ou um mínimo local. O ponto $x_0$ é um ponto interior de $A$ se existe um $r > 0$ tal que $\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A$ .

Se $f$ atinge seu máximo em $A$ no ponto $x_0$ , no sentido da aula precedente, atinge ali um máximo local, com qualquer $\delta$ ; a recíproca é falsa. Consideremos $f(x) = x^3 - 3x$ . Como $2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x)$ , tem-se $f(x) \leq 2 = f(-1)$ para todo $x \leq 2$ : a função atinge em $-1$ um máximo local, com $\delta = 3$ , que não é seu máximo em $\mathbb{R}$ , porque $f(3) = 18$ . Os pontos interiores de um intervalo são todos os seus pontos exceto os extremos do intervalo que lhe pertencem; os de $\icc{a}{b}$ são os de $\ioo{a}{b}$ . Um extremo local pode estar na borda: a função $x$ , em $\icc{0}{1}$ , atinge seu mínimo em $0$ e seu máximo em $1$ .

TeoremaTeorema de Fermat

Sejam $f$ uma função definida em um conjunto $A$ e $a$ um ponto interior de $A$ . Se $f$ atinge em $a$ um extremo local e é derivável em $a$ , então $f'(a) = 0$ . Se a derivada fosse positiva, a proposição do sinal da derivada poria à direita de $a$ , muito perto, valores maiores que $f(a)$ ; se fosse negativa, os poria à esquerda. A figura mostra, com $f(x) = x^3 - 3x$ e seu máximo local em $a = -1$ , por que nenhum dos dois coeficientes angulares é possível.

Demonstração

$x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}$
Suponhamos primeiro que $f$ atinge em $a$ um máximo local, com um $\delta_0 > 0$ , e seja $r > 0$ tal que o intervalo $I = \ioo{a - r}{a + r}$ esteja contido em $A$ . Seja $F$ a restrição de $f$ a $I$ . Todo $x$ de $A$ com $\abs{x - a} < r$ está em $I$ ; pelo lema do caráter local da derivada, da aula sobre as regras de derivação, $F$ é derivável em $a$ , com a mesma derivada.
$f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}$
Se $f'(a) > 0$ , a proposição do sinal da derivada em um ponto, da aula sobre as taxas de variação, aplicada a $F$ no intervalo aberto $I$ , dá um $\delta > 0$ tal que $f(x) > f(a)$ para todo $x$ de $I$ com $a < x < a + \delta$ . Seja $\rho$ o menor dos números $\delta$ , $\delta_0$ e $r$ . O ponto $a + \frac{\rho}{2}$ está em $I$ , cumpre essa condição e sua distância a $a$ é menor que $\delta_0$ : seu valor seria ao mesmo tempo maior que $f(a)$ e não maior. Portanto, $f'(a) > 0$ é impossível.
$f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}$
Se $f'(a) < 0$ , a mesma proposição, com as desigualdades entre os valores invertidas, dá um $\delta > 0$ tal que $f(x) > f(a)$ para todo $x$ de $I$ com $a - \delta < x < a$ , e o ponto $a - \frac{\rho}{2}$ produz a mesma contradição. Como a derivada não é positiva nem negativa, é nula.
$(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
Se $f$ atinge em $a$ um mínimo local, $-f$ atinge ali um máximo local, e é derivável em $a$ , com derivada $-f'(a)$ , pelo teorema da derivada de uma combinação linear, da aula sobre as regras de derivação. Pelo que já foi demonstrado, essa derivada é nula.

O teorema dá uma condição necessária, não suficiente: $x^3$ tem derivada nula em $0$ e não atinge ali nenhum extremo local, porque toma valores negativos à esquerda de $0$ e positivos à direita. As outras duas hipóteses também não podem ser suprimidas. Se $a$ não é interior, a derivada pode não se anular: a função $x$ , em $\icc{0}{1}$ , atinge seu máximo em $1$ , e sua derivada ali, que é o limite da razão incremental pela esquerda porque o domínio não tem pontos à direita de $1$ , vale $1$ . Se $f$ não é derivável em $a$ , o teorema não diz nada: $\abs{x}$ atinge seu mínimo em $0$ , onde não é derivável. Portanto, os extremos locais de uma função são procurados entre os pontos interiores em que a derivada se anula, os pontos em que ela não é derivável e os pontos que não são interiores; a aula sobre monotonia lhes dará nome e um teste para decidir quais são extremos. O problema resolvido 1 da aula sobre as regras de derivação observou que as tangentes horizontais de $\frac{x}{x^2 + 1}$ tocam o gráfico em seus valores maior e menor, e anunciou que não era uma coincidência: uma função derivável em $\mathbb{R}$ que atinge seu máximo o atinge em um ponto interior, onde o teorema de Fermat anula a derivada.

No restante desta aula

O teorema de Rolle
O teorema do valor médio de Lagrange
O teorema do valor médio de Cauchy
Consequências do teorema do valor médio
Problemas resolvidos
Exatamente duas raízes
O logaritmo entre duas frações
As únicas funções com taxa relativa constante
Um ponto comum para duas funções
Uma cota do erro da diferencial
Problemas propostos
Um valor médio que não existe
As raízes da derivada de um polinômio
No máximo um ponto fixo
As funções opostas à sua segunda derivada
O ponto de Cauchy do seno e do cosseno