Regra de L’Hôpital

A forma zero sobre zero

O corolário do limite de um quociente, da aula sobre a álgebra dos limites, exige que o denominador tenha limite diferente de zero. Se o numerador e o denominador tendem ambos a $0$, o quociente pode tender a qualquer número, ou ao infinito, ou não ter limite: $\frac{3x}{x}$ tende a $3$, $\frac{x^2}{x}$ tende a $0$, e $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ não tem limite em $0$. Por isso se diz que $\frac{0}{0}$ é uma forma indeterminada: o limite de cada termo não determina o do quociente. A aula sobre os infinitésimos equivalentes resolveu muitos desses limites, substituindo cada fator por um equivalente de sua tabela; mas uma diferença como $x - \sin x$ não é um produto de fatores da tabela, e seus termos não podem ser substituídos.

A derivada sugere outro caminho. Se $f(a) = g(a) = 0$, se $f$ e $g$ são deriváveis em $a$ e se $g'(a) \neq 0$, ao dividir o numerador e o denominador por $x - a$ o quociente se converte em um quociente de razões incrementais, e o corolário do limite de um quociente dá:

Mas muitas vezes $g'(a)$ também é zero, ou $f$ e $g$ não estão definidas em $a$. A regra de L’Hôpital substitui os valores das derivadas em $a$ pelo limite de seu quociente perto de $a$. A ferramenta é o teorema do valor médio de Cauchy, da aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy: se $f$ e $g$ são contínuas em $\icc{a}{b}$, com $a < b$, e deriváveis em cada ponto de $\ioo{a}{b}$, e se $g'(x) \neq 0$ para todo $x$ de $\ioo{a}{b}$, então $g(b) \neq g(a)$ e existe um $c$ em $\ioo{a}{b}$ tal que $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Diferentemente de duas aplicações do teorema de Lagrange, que dariam dois pontos distintos, o teorema de Cauchy dá um mesmo ponto para o numerador e para o denominador.

Não é preciso saber como $c$ depende de $x$, nem que seja único: basta que esteja entre $a$ e $x$. A hipótese $g' \neq 0$ é exigida em todo o intervalo $\ioo{a}{b}$, porque o teorema de Cauchy a usa em cada $\icc{a}{x}$; como o limite só depende dos valores próximos, basta encontrar um intervalo $\ioo{a}{b}$ onde ela se cumpra, por menor que seja. Não basta, em contrapartida, que a derivada do denominador se anule só em pontos isolados que se acumulam no ponto, ou que não são limitados se a variável tende ao infinito, como mostra o problema resolvido 5. Se $f$ e $g$ estão definidas em um conjunto maior, o teorema se aplica a suas restrições a $\ioo{a}{b}$, que têm o mesmo limite à direita em $a$.

O mesmo vale à esquerda, com um intervalo $\ioo{b}{a}$, $b < a$, e $x \to a^-$: basta aplicar o teorema a $f(-t)$ e $g(-t)$ perto de $-a$ pela direita, pela proposição da translação e da reflexão, da aula sobre os limites laterais; a regra da cadeia muda o sinal das duas derivadas e não altera seu quociente. Se as hipóteses se cumprem dos dois lados de $a$, em $\ioo{a - r}{a}$ e em $\ioo{a}{a + r}$, o teorema do limite e dos limites laterais, daquela aula, dá o limite quando $x \to a$ (se $L$ é infinito, com o mesmo argumento do menor dos dois raios). A função pode estar definida em $a$ ou não; seu valor ali não intervém.