Regola di de l’Hôpital

La forma zero su zero

Il corollario del limite di un quoziente, della lezione sull’algebra dei limiti, richiede che il denominatore abbia limite diverso da zero. Se il numeratore e il denominatore tendono entrambi a $0$, il quoziente può tendere a qualsiasi numero, o all’infinito, o non avere limite: $\frac{3x}{x}$ tende a $3$, $\frac{x^2}{x}$ tende a $0$, e $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ non ha limite in $0$. Per questo si dice che $\frac{0}{0}$ è una forma indeterminata: il limite di ciascun termine non determina quello del quoziente. La lezione sugli infinitesimi equivalenti ha risolto molti di questi limiti, sostituendo ogni fattore con uno equivalente della sua tabella; ma una differenza come $x - \sin x$ non è un prodotto di fattori della tabella, e i suoi termini non possono essere sostituiti.

La derivata suggerisce un’altra strada. Se $f(a) = g(a) = 0$, se $f$ e $g$ sono derivabili in $a$ e se $g'(a) \neq 0$, dividendo il numeratore e il denominatore per $x - a$ il quoziente diventa un quoziente di rapporti incrementali, e il corollario del limite di un quoziente dà:

Ma spesso anche $g'(a)$ è zero, oppure $f$ e $g$ non sono definite in $a$. La regola di de l’Hôpital sostituisce i valori delle derivate in $a$ con il limite del loro quoziente vicino ad $a$. Lo strumento è il teorema del valor medio di Cauchy, della lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy: se $f$ e $g$ sono continue in $\icc{a}{b}$, con $a < b$, e derivabili in ogni punto di $\ioo{a}{b}$, e se $g'(x) \neq 0$ per ogni $x$ di $\ioo{a}{b}$, allora $g(b) \neq g(a)$ ed esiste un $c$ in $\ioo{a}{b}$ tale che $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. A differenza di due applicazioni del teorema di Lagrange, che darebbero due punti distinti, il teorema di Cauchy dà uno stesso punto per il numeratore e per il denominatore.

Non occorre sapere come $c$ dipenda da $x$, né che sia unico: basta che sia compreso tra $a$ e $x$. L’ipotesi $g' \neq 0$ è richiesta in tutto l’intervallo $\ioo{a}{b}$, perché il teorema di Cauchy la usa in ogni $\icc{a}{x}$; poiché il limite dipende solo dai valori vicini, basta trovare un intervallo $\ioo{a}{b}$ in cui sia soddisfatta, per quanto piccolo. Non basta, invece, che la derivata del denominatore si annulli solo in punti isolati che si accumulano nel punto, o che non sono limitati se la variabile tende all’infinito, come mostra il problema risolto 5. Se $f$ e $g$ sono definite in un insieme più grande, il teorema si applica alle loro restrizioni a $\ioo{a}{b}$, che hanno lo stesso limite destro in $a$.

Lo stesso vale a sinistra, con un intervallo $\ioo{b}{a}$, $b < a$, e $x \to a^-$: basta applicare il teorema a $f(-t)$ e $g(-t)$ vicino a $-a$ da destra, per la proposizione della traslazione e della simmetria, della lezione sui limiti unilaterali; la regola della catena cambia il segno delle due derivate e non ne altera il quoziente. Se le ipotesi sono soddisfatte da entrambi i lati di $a$, in $\ioo{a - r}{a}$ e in $\ioo{a}{a + r}$, il teorema del limite e dei limiti unilaterali, di quella lezione, dà il limite per $x \to a$ (se $L$ è infinito, con lo stesso argomento del minore dei due raggi). La funzione può essere definita in $a$ oppure no; il suo valore lì non interviene.