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Topos Uranos
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Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy

Riepilogo

Questa lezione passa da ciò che la derivata dice in un punto a ciò che dice in un intervallo. Definisce gli estremi locali e dimostra il teorema di Fermat: se una funzione assume un estremo locale in un punto interno del suo dominio ed è derivabile in esso, la sua derivata si annulla; la dimostrazione discende dalla proposizione sul segno della derivata in un punto, della lezione sui tassi di variazione. Insieme al teorema di Weierstrass, della lezione che precede, Fermat dà il teorema di Rolle; Rolle, applicato alla differenza tra la funzione e la sua corda, dà il teorema del valor medio di Lagrange, secondo il quale qualche tangente è parallela alla corda; e, applicato a una combinazione di due funzioni, il teorema del valor medio di Cauchy, con il quale la lezione che segue dimostrerà la regola di de l’Hôpital. Dal teorema del valor medio discendono le prime conseguenze globali: una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante, due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante, una limitazione della derivata limita gli incrementi, tra due radici di una funzione c’è una radice della sua derivata, e il limite della derivata, se esiste, è la derivata. Esempi semplici mostrano che nessuna ipotesi dei teoremi può essere soppressa.

Obiettivi di apprendimento

  1. Esprimere con quantificatori che cos’è un estremo locale, e dimostrare il teorema di Fermat distinguendo la condizione necessaria che esso dà da una condizione sufficiente.
  2. Dimostrare i teoremi di Rolle, del valor medio di Lagrange e del valor medio di Cauchy, leggerli sul grafico e mostrare con controesempi che le loro ipotesi non possono essere soppresse.
  3. Dedurre dal teorema del valor medio che una funzione con derivata nulla in un intervallo è costante, e ottenere disuguaglianze e limitazioni dell’errore a partire da una limitazione della derivata.
  4. Contare le radici di un’equazione, limitandone il numero dall’alto con il teorema di Rolle e dal basso con quello di Bolzano.

Estremi locali e il teorema di Fermat

La lezione sul teorema di Weierstrass garantisce che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato assume il suo massimo e il suo minimo, ma non dice dove. Per localizzarli conviene una nozione che guardi solo vicino al punto: un valore può essere il più grande tra quelli vicini senza essere il più grande di tutti.

DefinizioneEstremo locale e punto interno

Siano ff una funzione definita in un insieme AA e x0x_0 un elemento di AA. Si dice che ff assume un massimo locale in x0x_0 se esiste un δ>0\delta > 0 tale che nessun valore di ff nei punti di AA che distano da x0x_0 meno di δ\delta supera f(x0)f(x_0), e che assume un minimo locale in x0x_0 se nessuno di quei valori è minore di f(x0)f(x_0):

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Un estremo locale è un massimo locale o un minimo locale. Il punto x0x_0 è un punto interno di AA se esiste un r>0r > 0 tale che (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A.

Se ff assume il suo massimo in AA nel punto x0x_0, nel senso della lezione che precede, vi assume un massimo locale, con qualsiasi δ\delta; il viceversa è falso. Consideriamo f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Poiché 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x), si ha f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) per ogni x≤2x \leq 2: la funzione assume in −1-1 un massimo locale, con δ=3\delta = 3, che non è il suo massimo in R\mathbb{R}, perché f(3)=18f(3) = 18. I punti interni di un intervallo sono tutti i suoi punti tranne gli estremi dell’intervallo che gli appartengono; quelli di [a,b]\icc{a}{b} sono quelli di (a,b)\ioo{a}{b}. Un estremo locale può trovarsi sul bordo: la funzione xx, in [0,1]\icc{0}{1}, assume il suo minimo in 00 e il suo massimo in 11.

TeoremaTeorema di Fermat

Siano ff una funzione definita in un insieme AA e aa un punto interno di AA. Se ff assume in aa un estremo locale ed è derivabile in aa, allora f′(a)=0f'(a) = 0. Se la derivata fosse positiva, la proposizione del segno della derivata porrebbe a destra di aa, molto vicino, valori maggiori di f(a)f(a); se fosse negativa, li porrebbe a sinistra. La figura mostra, con f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x e il suo massimo locale in a=−1a = -1, perché nessuno dei due coefficienti angolari è possibile.

Dimostrazione

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Supponiamo dapprima che ff assuma in aa un massimo locale, con un δ0>0\delta_0 > 0, e sia r>0r > 0 tale che l’intervallo I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} sia contenuto in AA. Sia FF la restrizione di ff a II. Ogni xx di AA con ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r sta in II; per il lemma del carattere locale della derivata, della lezione sulle regole di derivazione, FF è derivabile in aa, con la stessa derivata.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Se f′(a)>0f'(a) > 0, la proposizione del segno della derivata in un punto, della lezione sui tassi di variazione, applicata a FF nell’intervallo aperto II, dà un δ>0\delta > 0 tale che f(x)>f(a)f(x) > f(a) per ogni xx di II con a<x<a+δa < x < a + \delta. Sia ρ\rho il minore dei numeri δ\delta, δ0\delta_0 e rr. Il punto a+ρ2a + \frac{\rho}{2} sta in II, soddisfa tale condizione e dista da aa meno di δ0\delta_0: il suo valore sarebbe al tempo stesso maggiore di f(a)f(a) e non maggiore. Pertanto, f′(a)>0f'(a) > 0 è impossibile.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Se f′(a)<0f'(a) < 0, la stessa proposizione, con le disuguaglianze tra i valori rovesciate, dà un δ>0\delta > 0 tale che f(x)>f(a)f(x) > f(a) per ogni xx di II con a−δ<x<aa - \delta < x < a, e il punto a−ρ2a - \frac{\rho}{2} produce la stessa contraddizione. Poiché la derivata non è né positiva né negativa, è nulla.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Se ff assume in aa un minimo locale, −f-f vi assume un massimo locale, ed è derivabile in aa, con derivata −f′(a)-f'(a), per il teorema della derivata di una combinazione lineare, della lezione sulle regole di derivazione. Per quanto già dimostrato, tale derivata è nulla.

Il teorema dà una condizione necessaria, non sufficiente: x3x^3 ha derivata nulla in 00 e non vi assume alcun estremo locale, perché assume valori negativi a sinistra di 00 e positivi a destra. Neanche le altre due ipotesi possono essere soppresse. Se aa non è interno, la derivata può non annullarsi: la funzione xx, in [0,1]\icc{0}{1}, assume il suo massimo in 11, e la sua derivata in quel punto, che è il limite del rapporto incrementale da sinistra perché il dominio non ha punti a destra di 11, vale 11. Se ff non è derivabile in aa, il teorema non dice nulla: ∣x∣\abs{x} assume il suo minimo in 00, dove non è derivabile. Pertanto, gli estremi locali di una funzione si cercano tra i punti interni in cui la derivata si annulla, i punti in cui non è derivabile e i punti che non sono interni; la lezione sulla monotonia darà loro un nome e un criterio per decidere quali sono estremi. Il problema risolto 1 della lezione sulle regole di derivazione ha osservato che le tangenti orizzontali di xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} toccano il grafico nei suoi valori più grande e più piccolo, e ha annunciato che non era una coincidenza: una funzione derivabile in R\mathbb{R} che assume il suo massimo lo assume in un punto interno, dove il teorema di Fermat annulla la derivata.