مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي

ملخص

ينتقل هذا الدرس مما تقوله المشتقة عند نقطة إلى ما تقوله على فترة. فهو يعرّف القيم القصوى المحلية ويبرهن مبرهنة فيرما: إذا بلغت دالة قيمة قصوى محلية عند نقطة داخلية من مجال تعريفها وكانت قابلة للاشتقاق عندها، انعدمت مشتقتها؛ ويأتي البرهان من قضية إشارة المشتقة عند نقطة، من الدرس الخاص بمعدلات التغير. ومع مبرهنة فايرشتراس، من الدرس الماضي، تعطي مبرهنة فيرما مبرهنة رول؛ ومبرهنة رول، مطبّقةً على الفرق بين الدالة ووترها، تعطي مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية (وتُعرف أيضًا بمبرهنة القيمة المتوسطة)، التي بموجبها يوازي مماسٌّ ما الوتر؛ ومطبّقةً على تركيب خطي لدالتين، تعطي مبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة، التي سيبرهن بها الدرس اللاحق قاعدة لوبيتال. ومن مبرهنة التزايدات المنتهية تخرج أولى النتائج الكلية: الدالة ذات المشتقة المنعدمة على فترة ثابتة، والدالتان اللتان لهما المشتقة نفسها تختلفان بثابت، وحدٌّ للمشتقة يحدّ التزايدات، وبين جذرين لدالة يوجد جذر لمشتقتها، ونهاية المشتقة، إن وُجدت، هي المشتقة. وتُظهر حالات بسيطة أنه لا يمكن الاستغناء عن أي فرضية من فرضيات المبرهنات.

أهداف التعلم

التعبير بالمكمّمات عن معنى القيمة القصوى المحلية، وبرهان مبرهنة فيرما مع التمييز بين الشرط اللازم الذي تعطيه والشرط الكافي.
برهان مبرهنات رول ولاغرانج في التزايدات المنتهية وكوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة، وقراءتها على التمثيل البياني، وإظهار أنه لا يمكن الاستغناء عن فرضياتها بأمثلة مضادة.
استخلاص أن الدالة ذات المشتقة المنعدمة على فترة ثابتة من مبرهنة التزايدات المنتهية، والحصول على متباينات وحدود للخطأ انطلاقًا من حدّ للمشتقة.
عدّ جذور معادلة، بحدّ عددها من الأعلى بمبرهنة رول ومن الأسفل بمبرهنة بولزانو.

القيم القصوى المحلية ومبرهنة فيرما

يضمن الدرس الخاص بـمبرهنة فايرشتراس أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة تبلغ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى، لكنه لا يقول أين. ولتعيين موضعهما يلزم مفهوم لا ينظر إلا قرب النقطة: فقد تكون قيمة ما الكبرى بين القيم القريبة دون أن تكون الكبرى بين الجميع.

تعريفالقيمة القصوى المحلية والنقطة الداخلية

لتكن $f$ دالة معرّفة على مجموعة $A$ و $x_0$ عنصرًا من $A$ . يقال إن $f$ تبلغ قيمة عظمى محلية عند $x_0$ إذا وُجد $\delta > 0$ بحيث لا تتجاوز أيُّ قيمة لـ $f$ عند نقاط $A$ التي تبعد عن $x_0$ أقل من $\delta$ القيمةَ $f(x_0)$ ، وإنها تبلغ قيمة صغرى محلية عند $x_0$ إذا لم تكن أيٌّ من تلك القيم أصغر من $f(x_0)$ :

(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

القيمة القصوى المحلية قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية. وتكون النقطة $x_0$ نقطة داخلية من $A$ إذا وُجد $r > 0$ بحيث $\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A$ .

إذا بلغت $f$ قيمتها العظمى على $A$ عند النقطة $x_0$ ، بالمعنى الوارد في الدرس الماضي، فإنها تبلغ هناك قيمة عظمى محلية، مع أي $\delta$ ؛ والعكس غير صحيح. لنعتبر $f(x) = x^3 - 3x$ . بما أن $2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x)$ ، فإن $f(x) \leq 2 = f(-1)$ لكل $x \leq 2$ : تبلغ الدالة عند $-1$ قيمة عظمى محلية، مع $\delta = 3$ ، ليست قيمتها العظمى على $\mathbb{R}$ ، لأن $f(3) = 18$ . والنقاط الداخلية لفترة هي جميع نقاطها ما عدا ما ينتمي إليها من طرفيها؛ ونقاط $\icc{a}{b}$ الداخلية هي نقاط $\ioo{a}{b}$ . وقد تقع القيمة القصوى المحلية على الحافة: فالدالة $x$ ، على $\icc{0}{1}$ ، تبلغ قيمتها الصغرى عند $0$ وقيمتها العظمى عند $1$ .

مبرهنةمبرهنة فيرما

لتكن $f$ دالة معرّفة على مجموعة $A$ و $a$ نقطة داخلية من $A$ . إذا بلغت $f$ عند $a$ قيمة قصوى محلية وكانت قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن $f'(a) = 0$ . لو كانت المشتقة موجبة، لوضعت قضية إشارة المشتقة على يمين $a$ ، قريبًا جدًّا، قيمًا أكبر من $f(a)$ ؛ ولو كانت سالبة، لوضعتها على اليسار. ويُظهر الرسم، مع $f(x) = x^3 - 3x$ وقيمتها العظمى المحلية عند $a = -1$ ، لماذا لا يمكن أيٌّ من الميلين.

البرهان

$x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}$
لنفترض أولًا أن $f$ تبلغ عند $a$ قيمة عظمى محلية، مع عدد ما $\delta_0 > 0$ ، وليكن $r > 0$ بحيث تكون الفترة $I = \ioo{a - r}{a + r}$ محتواة في $A$ . ولتكن $F$ مقصور $f$ على $I$ . كل $x$ من $A$ يحقق $\abs{x - a} < r$ ينتمي إلى $I$ ؛ وبحسب توطئة الطابع المحلي للمشتقة، من الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق، فإن $F$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، بالمشتقة نفسها.
$f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}$
إذا كان $f'(a) > 0$ ، فإن قضية إشارة المشتقة عند نقطة، من الدرس الخاص بـمعدلات التغير، مطبّقةً على $F$ في الفترة المفتوحة $I$ ، تعطي $\delta > 0$ بحيث $f(x) > f(a)$ لكل $x$ من $I$ يحقق $a < x < a + \delta$ . وليكن $\rho$ أصغر الأعداد $\delta$ و $\delta_0$ و $r$ . النقطة $a + \frac{\rho}{2}$ تنتمي إلى $I$ ، وتحقق ذلك الشرط، وتبعد عن $a$ أقل من $\delta_0$ : فتكون قيمة الدالة عندها في آن واحد أكبر من $f(a)$ وغير أكبر منها. إذن الحالة $f'(a) > 0$ مستحيلة.
$f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}$
إذا كان $f'(a) < 0$ ، فإن القضية نفسها، مع عكس المتباينات بين القيم، تعطي $\delta > 0$ بحيث $f(x) > f(a)$ لكل $x$ من $I$ يحقق $a - \delta < x < a$ ، وتؤدي النقطة $a - \frac{\rho}{2}$ إلى التناقض نفسه. وبما أن المشتقة ليست موجبة ولا سالبة، فهي منعدمة.
$(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
إذا بلغت $f$ عند $a$ قيمة صغرى محلية، فإن $-f$ تبلغ هناك قيمة عظمى محلية، وهي قابلة للاشتقاق عند $a$ ، ومشتقتها $-f'(a)$ ، بحسب مبرهنة مشتقة التركيب الخطي، من الدرس الخاص بقواعد الاشتقاق. وبحسب ما برهنّاه، تلك المشتقة منعدمة.

تعطي المبرهنة شرطًا لازمًا، لا كافيًا: الدالة $x^3$ مشتقتها منعدمة عند $0$ ولا تبلغ هناك أي قيمة قصوى محلية، لأنها تأخذ قيمًا سالبة على يسار $0$ وموجبة على يمينه. ولا يمكن كذلك الاستغناء عن الفرضيتين الأخريين. إذا لم تكن $a$ داخلية، فقد لا تنعدم المشتقة: فالدالة $x$ ، على $\icc{0}{1}$ ، تبلغ قيمتها العظمى عند $1$ ، ومشتقتها هناك، وهي نهاية نسبة التزايد من اليسار لأن مجال التعريف لا يحوي نقاطًا على يمين $1$ ، تساوي $1$ . وإذا لم تكن $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فالمبرهنة لا تقول شيئًا: الدالة $\abs{x}$ تبلغ قيمتها الصغرى عند $0$ ، حيث ليست قابلة للاشتقاق. إذن تُبحث القيم القصوى المحلية لدالة بين النقاط الداخلية التي تنعدم فيها المشتقة، والنقاط التي ليست فيها قابلة للاشتقاق، والنقاط التي ليست داخلية؛ وسيعطيها الدرس الخاص بـالرتابة اسمًا ومعيارًا لتقرير أيها قيم قصوى. وقد لاحظت المسألة المحلولة 1 من الدرس الخاص بقواعد الاشتقاق أن المماسات الأفقية لـ $\frac{x}{x^2 + 1}$ تمس التمثيل البياني عند أكبر قيمه وأصغرها، وأعلنت أن ذلك ليس مصادفة: الدالة القابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ التي تبلغ قيمتها العظمى تبلغها عند نقطة داخلية، حيث تُعدم مبرهنة فيرما المشتقة.

في بقية هذا الدرس

مبرهنة رول
مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية
مبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة
نتائج مبرهنة التزايدات المنتهية
مسائل محلولة
جذران بالضبط
اللوغاريتم بين كسرين
الدوال الوحيدة ذات المعدل النسبي الثابت
نقطة مشتركة لدالتين
حدّ لخطأ التفاضل
مسائل مقترحة
نقطة تزايدات منتهية غير موجودة
جذور مشتقة كثيرة حدود
نقطة ثابتة واحدة على الأكثر
الدوال المعاكسة لمشتقتها الثانية
نقطة كوشي للجيب وجيب التمام