Monotonia e criterio della derivata prima

Il segno della derivata e la monotonia

La proposizione sul segno della derivata in un punto, della lezione sui tassi di variazione, confronta ogni valore vicino ad $a$ con $f(a)$, e niente di più: la funzione $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$, completata con $0$ in $0$, ha derivata $1$ in $0$ e non è crescente in alcun intervallo che contenga $0$. Per ottenere informazioni su un intervallo intero bisogna conoscere il segno della derivata in tutti i suoi punti, e il teorema del valor medio, della lezione sui teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, traduce tale conoscenza in un confronto di valori. Ricordiamo che, secondo la lezione sulle operazioni tra funzioni, di Algebra e Geometria I, una funzione $f$ è crescente in un insieme $I$ se $x < y$ implica $f(x) \leq f(y)$ per tutti i suoi punti, e strettamente crescente se implica $f(x) < f(y)$:

e decrescente o strettamente decrescente se implica $f(x) \geq f(y)$ o $f(x) > f(y)$.

La derivata si richiede solo nei punti interni; negli estremi dell’intervallo che vi appartengono basta la continuità. Così, $\sqrt{x}$ è strettamente crescente in $\ico{0}{\infty}$, benché non sia derivabile in $0$. Il teorema mantiene tre annunci dell’unità sulle derivate. La lezione sulle derivate delle funzioni elementari ha osservato che la derivata della tangente, $1 + \tan^2 x$, è positiva, benché la tangente non sia crescente nel suo dominio, che non è un intervallo; in ogni intervallo $\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}$, con $k$ intero, il teorema la rende strettamente crescente. La lezione sulla variabile all’esponente ha calcolato la derivata $x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$, che è positiva in $\ioo{0}{e}$ e negativa in $\ioo{e}{\infty}$; poiché la funzione è continua in $\ioo{0}{\infty}$, è strettamente crescente in $\ioc{0}{e}$ e strettamente decrescente in $\ico{e}{\infty}$. Ciò ritrova la proposizione sul massimo di $x$ elevato a $\frac{1}{x}$, di quella lezione, e inoltre confronta due numeri dallo stesso lato di $e$: poiché $e < 3 < 4$, si ha $3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}$, cioè $3^4 > 4^3$. La stessa lezione ha dimostrato che la derivata di $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ è positiva in ogni $x > 0$: la funzione è strettamente crescente in $\ioo{0}{\infty}$.

Per una funzione derivabile in tutti i punti di un intervallo aperto, essere crescente equivale dunque ad avere derivata non negativa. Il viceversa non si estende alla monotonia stretta: $x^3$ è strettamente crescente in $\mathbb{R}$, e la sua derivata si annulla in $0$. La proposizione spiega anche l’esempio dell’inizio: la lezione sui tassi di variazione ha trovato, arbitrariamente vicino a $0$, punti in cui la derivata di $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$ è negativa, e in nessun intervallo che li contenga la funzione può essere crescente. Il difetto sta nel fatto che quella derivata non è continua in $0$; se lo è, il segno in un punto si estende a un intervallo.

Quando una funzione a derivata non negativa è strettamente crescente? L’esempio di $x^3$ mostra che la derivata può annullarsi in qualche punto; ciò che non può fare è annullarsi in tutto un intervallo.

La funzione $x + \sin x$, del problema risolto 1 della lezione sulla derivata della funzione inversa, ha derivata $1 + \cos x \geq 0$, che si annulla negli infiniti punti $\pi + 2k\pi$; tra due di essi consecutivi la derivata è positiva, e nessun intervallo è formato da zeri. La proposizione la rende strettamente crescente in $\mathbb{R}$, cosa che quella lezione aveva ottenuto con la formula della differenza di due seni e che lì sembrava sorprendente. Lo stesso ragionamento ammette un numero finito di punti senza derivata: se $f$ è continua in $I$ e ha derivata positiva in tutti i suoi punti interni salvo in $x_1 < \dots < x_k$, il teorema la rende strettamente crescente in ogni intervallo tra due di quei punti consecutivi (e negli intervalli estremi), e le disuguaglianze si combinano. Così, $\sqrt[3]{x}$ è strettamente crescente in $\mathbb{R}$, benché non sia derivabile in $0$. La continuità non si può sopprimere (problema proposto 1).

Le valutazioni dell’unità sulle derivate davano per scontato che $x^5 + x$ e $x^3 + 2x + 1$ fossero strettamente crescenti in $\mathbb{R}$; ora basta osservare che le loro derivate, $5x^4 + 1$ e $3x^2 + 2$, sono positive. E la sfida dell’inversa di $x e^x$, nella sintesi di quell’unità, che chiedeva di dimostrare senza il segno della derivata che tale funzione è strettamente crescente in $\ico{-1}{\infty}$, si risolve ora in una riga: è continua lì e la sua derivata, $(1 + x) e^x$, è positiva in $\ioo{-1}{\infty}$.