Zum Inhalt springen
Topos Uranos
Deutsch

Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung

Zusammenfassung

Diese Lektion verwandelt das Vorzeichen der Ableitung in eine Aussage über ein ganzes Intervall. Mit dem Mittelwertsatz von Lagrange beweist sie, dass eine Funktion mit positiver Ableitung auf einem Intervall dort streng monoton wachsend ist und mit nichtnegativer Ableitung monoton wachsend; umgekehrt ist die Ableitung einer monoton wachsenden Funktion nicht negativ, obwohl die einer streng monoton wachsenden verschwinden kann, und die Lektion charakterisiert, wann das geschieht. Daraus ergeben sich die Umkehrbarkeit einer Funktion mit positiver Ableitung, der Name der Kandidaten für lokale Extrema, die kritischen Stellen, und das Kriterium der ersten Ableitung, das daran, wie die Ableitung ihr Vorzeichen wechselt, entscheidet, ob ein Extremum vorliegt. Der Satz von Darboux, bewiesen mit denen von Weierstraß und Fermat, zeigt, dass eine Ableitung, auch wenn sie nicht stetig ist, keine Werte überspringt: Sie hat weder hebbare Unstetigkeitsstellen noch Sprungstellen, und wenn sie auf einem Intervall nicht verschwindet, wechselt sie dort ihr Vorzeichen nicht. Die Lektion schließt mit Ungleichungen, die man beweist, indem man Funktionen über ihre Ableitung vergleicht, und sie löst ein, was die Einheit über die Ableitungen mehrmals angekündigt hat, ohne es beweisen zu können.

Lernziele

  1. Mit dem Mittelwertsatz beweisen, dass das Vorzeichen der Ableitung auf einem Intervall über die Monotonie entscheidet, und erkennen, wann eine streng monoton wachsende Funktion in einigen Punkten die Ableitung null hat.
  2. Die kritischen Stellen einer Funktion bestimmen und mit dem Kriterium der ersten Ableitung entscheiden, an welchen von ihnen lokale Extrema vorliegen, einschließlich der Stellen ohne Ableitung.
  3. Den Satz von Darboux beweisen und mit ihm zeigen, dass eine Funktion mit einem Sprung auf einem Intervall nicht die Ableitung irgendeiner Funktion ist.
  4. Ungleichungen zwischen Funktionen beweisen, indem man das Vorzeichen der Ableitung ihrer Differenz untersucht, und erkennen, wann dieses Argument zirkulär wäre.

Das Vorzeichen der Ableitung und die Monotonie

Die Proposition über das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle aus der Lektion über Änderungsraten vergleicht jeden Wert in der Nähe von aa mit f(a)f(a), und mehr nicht: Die Funktion x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, ergänzt durch den Wert 00 an der Stelle 00, hat die Ableitung 11 an der Stelle 00 und ist auf keinem Intervall, das 00 enthält, monoton wachsend. Um eine Aussage über ein ganzes Intervall zu erhalten, muss man das Vorzeichen der Ableitung in allen seinen Punkten kennen, und der Mittelwertsatz aus der Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy übersetzt dieses Wissen in einen Vergleich von Werten. Erinnern wir daran, dass nach der Lektion über die Funktionsverknüpfung aus Algebra und Geometrie I eine Funktion ff auf einer Menge II monoton wachsend heißt, wenn x<yx < y für alle ihre Punkte f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) nach sich zieht, und streng monoton wachsend, wenn daraus f(x)<f(y)f(x) < f(y) folgt:

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

und monoton fallend oder streng monoton fallend, wenn daraus f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) oder f(x)>f(y)f(x) > f(y) folgt.

SatzMonotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung

Sei ff stetig auf einem Intervall II und differenzierbar in jedem inneren Punkt von II.

  • Ist f′(x)≥0f'(x) \geq 0 in jedem inneren Punkt xx von II, so ist ff auf II monoton wachsend; ist f′(x)>0f'(x) > 0 in jedem dieser Punkte, so ist sie auf II streng monoton wachsend.
  • Ist f′(x)≤0f'(x) \leq 0 in jedem inneren Punkt xx von II, so ist ff auf II monoton fallend; ist f′(x)<0f'(x) < 0 in jedem dieser Punkte, so ist sie auf II streng monoton fallend.

Zwischen zwei beliebigen Punkten gibt der Mittelwertsatz der Differenz der Werte das Vorzeichen der Ableitung an einer Zwischenstelle.

Beweis

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Seien x<yx < y zwei Punkte von II. Da II ein Intervall ist, enthält es [x,y]\icc{x}{y}, wo ff stetig ist, und die Punkte von (x,y)\ioo{x}{y} sind innere Punkte von II, in denen ff differenzierbar ist. Nach dem Mittelwertsatz von Lagrange gibt es ein cc zwischen xx und yy, sodass gilt:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    Der Faktor y−xy - x ist positiv, sodass die Differenz das Vorzeichen von f′(c)f'(c) hat: Ist f′(c)≥0f'(c) \geq 0, so ist sie nicht negativ, und ist f′(c)>0f'(c) > 0, so ist sie positiv. Da xx und yy zwei beliebige Punkte von II mit x<yx < y waren, ist die Funktion monoton wachsend oder streng monoton wachsend.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Ist die Ableitung nicht positiv, so wendet man das Bisherige auf −f-f an, die auf II stetig ist und in jedem inneren Punkt die Ableitung −f′(x)-f'(x) hat, nach dem Satz über die Ableitung einer Linearkombination aus der Lektion über Ableitungsregeln. Dass −f-f monoton wachsend ist, bedeutet, dass ff monoton fallend ist.

Die Ableitung wird nur in den inneren Punkten verlangt; in den Endpunkten, die zum Intervall gehören, genügt die Stetigkeit. So ist x\sqrt{x} auf [0,∞)\ico{0}{\infty} streng monoton wachsend, obwohl sie an der Stelle 00 nicht differenzierbar ist. Der Satz löst drei Ankündigungen der Einheit über die Ableitungen ein. Die Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen hat beobachtet, dass die Ableitung des Tangens, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, positiv ist, obwohl der Tangens auf seinem Definitionsbereich, der kein Intervall ist, nicht monoton wachsend ist; auf jedem Intervall (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi} mit ganzzahligem kk macht ihn der Satz streng monoton wachsend. Die Lektion über die Variable im Exponenten hat die Ableitung x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2} berechnet, die auf (0,e)\ioo{0}{e} positiv und auf (e,∞)\ioo{e}{\infty} negativ ist; da die Funktion auf (0,∞)\ioo{0}{\infty} stetig ist, ist sie auf (0,e]\ioc{0}{e} streng monoton wachsend und auf [e,∞)\ico{e}{\infty} streng monoton fallend. Das liefert erneut die Proposition über das Maximum von xx hoch 1x\frac{1}{x} aus jener Lektion und vergleicht außerdem zwei Zahlen auf derselben Seite von ee: Da e<3<4e < 3 < 4, gilt 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, das heißt 34>433^4 > 4^3. Dieselbe Lektion hat bewiesen, dass die Ableitung von (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x in jedem x>0x > 0 positiv ist: Die Funktion ist auf (0,∞)\ioo{0}{\infty} streng monoton wachsend.

PropositionDas Vorzeichen der Ableitung einer monotonen Funktion

Sei ff monoton wachsend auf einem Intervall II und differenzierbar in einem inneren Punkt aa von II. Dann ist f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Ist ff monoton fallend, so ist f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Wäre die Ableitung negativ, so lieferte die Proposition über das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle rechts von aa Werte, die kleiner als f(a)f(a) sind.

Beweis

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Sei r>0r > 0 derart, dass J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} in II enthalten ist, und sei FF die Einschränkung von ff auf JJ; nach dem Lemma über den lokalen Charakter der Ableitung aus der Lektion über Ableitungsregeln ist FF an der Stelle aa differenzierbar und F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Angenommen, f′(a)<0f'(a) < 0. Nach der Proposition über das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle, angewandt auf FF im offenen Intervall JJ, gibt es ein δ>0\delta > 0, sodass gilt:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Sei ρ\rho das Minimum von δ\delta und rr. Der Punkt a+ρ2a + \frac{\rho}{2} liegt in JJ und ist größer als aa; da ff monoton wachsend ist, ist sein Funktionswert nicht kleiner als f(a)f(a), im Widerspruch zum ersten Teil. Also ist f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Ist ff monoton fallend, so ist −f-f monoton wachsend, und −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Für eine Funktion, die in allen Punkten eines offenen Intervalls differenzierbar ist, ist monoton wachsend zu sein also gleichbedeutend damit, eine nichtnegative Ableitung zu haben. Die Umkehrung überträgt sich nicht auf die strenge Monotonie: x3x^3 ist auf R\mathbb{R} streng monoton wachsend, und ihre Ableitung verschwindet an der Stelle 00. Die Proposition erklärt auch das Beispiel vom Anfang: Die Lektion über Änderungsraten hat beliebig nahe bei 00 Punkte gefunden, in denen die Ableitung von x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} negativ ist, und auf keinem Intervall, das sie enthält, kann die Funktion monoton wachsend sein. Der Mangel liegt darin, dass diese Ableitung an der Stelle 00 nicht stetig ist; ist sie es, so überträgt sich das Vorzeichen in einem Punkt auf ein Intervall.

KorollarPositive und in einem Punkt stetige Ableitung

Sei ff in jedem Punkt eines offenen Intervalls II differenzierbar, und sei aa ein Punkt von II, in dem f′f' stetig ist, mit f′(a)>0f'(a) > 0. Dann gibt es ein δ>0\delta > 0, sodass ff auf (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} streng monoton wachsend ist. Die Ableitung behält ihr Vorzeichen in der Nähe von aa, und der Satz wird auf dem Intervall angewandt, auf dem sie es behält.

Beweis

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Da f′f' an der Stelle aa stetig ist, ist ihr Grenzwert an der Stelle aa der Wert f′(a)>0f'(a) > 0. Nach der Proposition über lokale Beschränktheit und Vorzeichenerhaltung aus der Lektion über den Grenzwert einer Funktion gibt es ein δ>0\delta > 0, das man so wählen kann, dass (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} in II enthalten ist, mit f′(x)>0f'(x) > 0 auf diesem Intervall. Dort ist ff differenzierbar und folglich stetig; nach dem Satz ist sie streng monoton wachsend.

Wann ist eine Funktion mit nichtnegativer Ableitung streng monoton wachsend? Das Beispiel von x3x^3 zeigt, dass die Ableitung in einem Punkt verschwinden kann; was sie nicht kann, ist, auf einem ganzen Intervall zu verschwinden.

PropositionStrenge Monotonie bei nichtnegativer Ableitung

Sei ff stetig auf einem Intervall II und differenzierbar in jedem inneren Punkt von II, mit f′(x)≥0f'(x) \geq 0 in jedem davon. Dann ist ff auf II genau dann streng monoton wachsend, wenn es kein Intervall (p,q)\ioo{p}{q} mit p<qp < q gibt, das in II enthalten ist und in dessen sämtlichen Punkten f′f' verschwindet. Insbesondere gilt: Verschwindet f′f' nur in endlich vielen Punkten, so ist ff auf II streng monoton wachsend. Eine monoton wachsende Funktion, die nicht streng monoton wachsend ist, nimmt einen Wert zweimal an, und zwischen den beiden Punkten, in denen sie ihn annimmt, ist sie konstant.

Beweis

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Angenommen, f′f' verschwindet in allen Punkten eines Intervalls (p,q)\ioo{p}{q}, das in II enthalten ist, und seien p<s<t<qp < s < t < q. Auf [s,t]\icc{s}{t} ist die Funktion stetig und hat in den Punkten von (s,t)\ioo{s}{t} die Ableitung null; nach dem Korollar über die verschwindende Ableitung auf einem Intervall aus der Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy ist sie auf [s,t]\icc{s}{t} konstant und somit nicht streng monoton wachsend.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Umgekehrt sei angenommen, dass ff nicht streng monoton wachsend ist. Nach dem Satz ist sie monoton wachsend, sodass es s<ts < t in II mit f(s)=f(t)f(s) = f(t) gibt; jeder Funktionswert dazwischen ist zwischen zwei gleichen Werten eingeschlossen, und ff ist auf [s,t]\icc{s}{t} konstant.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Sei xx aus (s,t)\ioo{s}{t}. Die Einschränkung von ff auf (s,t)\ioo{s}{t} ist konstant, mit Ableitung null an der Stelle xx; nach dem Lemma über den lokalen Charakter der Ableitung ist f′(x)=0f'(x) = 0. Die Ableitung verschwindet auf dem ganzen Intervall (s,t)\ioo{s}{t}, das in II enthalten ist. Verschwindet f′f' nur in endlich vielen Punkten, so gibt es kein solches Intervall, weil jedes Intervall (p,q)\ioo{p}{q} mit p<qp < q unendlich viele Punkte hat.

Die Funktion x+sin⁡xx + \sin x aus der gelösten Aufgabe 1 der Lektion über die Ableitung der Umkehrfunktion hat die Ableitung 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0, die in den unendlich vielen Punkten π+2kπ\pi + 2k\pi verschwindet; zwischen zwei aufeinanderfolgenden von ihnen ist die Ableitung positiv, und kein Intervall besteht aus Nullstellen. Die Proposition macht sie auf R\mathbb{R} streng monoton wachsend, was jene Lektion mit der Formel für die Differenz zweier Sinuswerte erhalten hatte und dort überraschend schien. Dieselbe Überlegung lässt endlich viele Punkte ohne Ableitung zu: Ist ff stetig auf II und hat sie in allen inneren Punkten außer in x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k eine positive Ableitung, so macht der Satz sie auf jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden dieser Punkte (und auf den Randintervallen) streng monoton wachsend, und die Ungleichungen lassen sich aneinanderreihen. So ist x3\sqrt[3]{x} auf R\mathbb{R} streng monoton wachsend, obwohl sie an der Stelle 00 nicht differenzierbar ist. Auf die Stetigkeit kann nicht verzichtet werden (Übungsaufgabe 1).

KorollarPositive Ableitung und Umkehrfunktion

Sei ff stetig auf einem Intervall II mit mehr als einem Punkt und differenzierbar in jedem inneren Punkt von II, mit f′(x)>0f'(x) > 0 in jedem davon oder mit f′(x)<0f'(x) < 0 in jedem davon. Dann ist ff auf II streng monoton, ihr Bild J=f(I)J = f(I) ist ein Intervall, und die Umkehrfunktion f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I ist stetig; in jedem Punkt b=f(a)b = f(a), wobei aa ein innerer Punkt von II ist, ist die Umkehrfunktion differenzierbar, und (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. Der Satz liefert die strenge Monotonie, die die Voraussetzung des Satzes über die Ableitung der Umkehrfunktion ist.

Beweis

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    Nach dem Satz ist ff auf II streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Nach den Korollaren über das Bild eines Intervalls und über die Stetigkeit der Umkehrfunktion aus der Lektion über den Zwischenwertsatz ist JJ ein Intervall und f−1f^{-1} auf JJ stetig.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Ist aa ein innerer Punkt, so ist ff an der Stelle aa differenzierbar mit f′(a)≠0f'(a) \neq 0, und der Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion aus der Lektion über die Ableitung der Umkehrfunktion liefert die Ableitung von f−1f^{-1} an der Stelle b=f(a)b = f(a).

Die Tests der Einheit über die Ableitungen setzten als bekannt voraus, dass x5+xx^5 + x und x3+2x+1x^3 + 2x + 1 auf R\mathbb{R} streng monoton wachsend sind; jetzt genügt die Beobachtung, dass ihre Ableitungen 5x4+15x^4 + 1 und 3x2+23x^2 + 2 positiv sind. Und die Herausforderung zur Umkehrfunktion von xexx e^x in der Synthese jener Einheit, die verlangte, ohne das Vorzeichen der Ableitung zu beweisen, dass diese Funktion auf [−1,∞)\ico{-1}{\infty} streng monoton wachsend ist, ist jetzt in einer Zeile erledigt: Sie ist dort stetig, und ihre Ableitung (1+x)ex(1 + x) e^x ist auf (−1,∞)\ioo{-1}{\infty} positiv.