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Topos Uranos
Deutsch

Maxima und Minima einer Funktion

Zusammenfassung

Diese Lektion fasst die Ergebnisse der vorigen zu einem Verfahren zusammen, mit dem man die Extrema einer Funktion findet. Sie nennt das Maximum und das Minimum einer Funktion auf ihrem Definitionsbereich global, um sie von den lokalen zu unterscheiden, und definiert die strengen Extrema. Danach beweist sie zwei Kriterien, die entscheiden, ob eine Stelle mit verschwindender Ableitung ein lokales Extremum ist, ohne das Vorzeichen der Ableitung in ihrer Umgebung zu untersuchen: das Kriterium der zweiten Ableitung, das aus dem Kriterium der ersten Ableitung folgt, und das Kriterium der höheren Ableitungen, das aus der Regel von L’Hospital folgt: Ist die erste Ableitung, die an der Stelle nicht verschwindet, von gerader Ordnung, so liegt ein Extremum vor, und ist sie von ungerader Ordnung, so liegt keines vor. Die zweite Hälfte behandelt die globalen Extrema. Auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall existieren sie nach dem Satz von Weierstraß, und der Satz von Fermat beschränkt sie auf eine Liste von Kandidaten, die Endpunkte des Intervalls und die kritischen Stellen, unter denen es genügt, Werte zu vergleichen. Auf einem offenen oder unbeschränkten Intervall brauchen sie nicht zu existieren, und man entscheidet über sie mit der Monotonie oder mit den Grenzwerten an den Endpunkten des Intervalls; insbesondere gilt: Hat eine auf einem Intervall stetige Funktion eine einzige kritische Stelle und nimmt sie dort ein lokales Extremum an, so ist dieses Extremum global.

Lernziele

  1. Mit Quantoren die globalen Extrema von den lokalen und die strengen von den nicht strengen unterscheiden und jeden Fall an Beispielen erkennen.
  2. Das Kriterium der zweiten Ableitung und das der höheren Ableitungen beweisen und damit entscheiden, ob eine Stelle mit verschwindender Ableitung ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder keines von beiden ist, auch wenn die zweite Ableitung verschwindet.
  3. Die globalen Extrema einer auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetigen Funktion finden, indem man ihre Werte an den Endpunkten des Intervalls und an den kritischen Stellen vergleicht.
  4. Entscheiden, ob eine Funktion ihre globalen Extrema auf einem offenen oder unbeschränkten Intervall annimmt, mit der Monotonie, mit einer einzigen kritischen Stelle oder mit den Grenzwerten an den Endpunkten des Intervalls.

Globale, lokale und strenge Extrema

Die Lektion über den Satz von Weierstraß hat das Maximum und das Minimum einer Funktion auf einer Menge definiert, und die Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy die lokalen Extrema, die den Wert an einer Stelle nur mit den Werten in der Nähe vergleichen. Es empfiehlt sich nun, den ersten einen Namen zu geben, der sie von den zweiten unterscheidet, und zu präzisieren, wann der Wert an der Stelle größer ist als alle anderen Werte, mit denen er verglichen wird, und nicht nur größer oder gleich.

DefinitionGlobale Extrema und strenge Extrema

Sei ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion und x0x_0 ein Element von AA. Man sagt, dass ff an der Stelle x0x_0 ein globales Maximum annimmt, wenn sie an der Stelle x0x_0 ihr Maximum auf AA annimmt, und ein globales Minimum, wenn sie an der Stelle x0x_0 ihr Minimum auf AA annimmt, im Sinne der Lektion über den Satz von Weierstraß; ein globales Extremum ist ein globales Maximum oder ein globales Minimum. Ein globales oder lokales Maximum heißt streng, wenn f(x0)f(x_0) größer ist als jeder der anderen Werte, mit denen er verglichen wird:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

Die erste Formel definiert das strenge globale Maximum und die zweite das strenge lokale Maximum; die strengen Minima definiert man ebenso, mit f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Globale Extrema heißen auch absolute, lokale auch relative. Jedes globale Extremum ist lokal, mit jedem δ\delta, und jedes strenge Extremum ist ein Extremum; die Umkehrungen sind falsch. Die Funktion x3−3xx^3 - 3x nimmt an der Stelle −1-1 ein lokales Maximum an, das nicht global ist, wie in der Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy gezeigt wurde. Der Kosinus nimmt sein globales Maximum auf R\mathbb{R} an jedem Vielfachen von 2π2\pi an; keines dieser Maxima ist ein strenges globales Maximum, weil sich der Wert 11 wiederholt, und jedes ist ein strenges lokales Maximum, weil cos⁡x<1\cos x < 1 gilt, falls 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Eine konstante Funktion nimmt an jeder Stelle ein globales Maximum und ein globales Minimum an, und keines ist streng. Allgemein gilt: Nimmt ff an der Stelle x0x_0 zugleich ein lokales Maximum und ein lokales Minimum an, so ist sie in der Nähe von x0x_0 konstant. Der globale Maximalwert ist, falls er existiert, eindeutig; ein strenges globales Maximum wird außerdem an nur einer Stelle angenommen.

Die Extrema hängen vom Definitionsbereich ab. Nimmt ff an der Stelle x0x_0 ein Extremum an und ist BB eine Teilmenge von AA, die x0x_0 enthält, so nimmt auch die Einschränkung von ff auf BB es an, weil sie mit weniger Werten verglichen wird; die Umkehrung ist falsch: x2x^2 nimmt auf [1,2]\icc{1}{2} ihr globales Minimum an der Stelle 11 an, und auf R\mathbb{R} hat sie an der Stelle 11 kein Extremum.