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Topos Uranos
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함수의 극값과 최댓값·최솟값

요약

이 수업은 앞선 수업들의 결과를 함수의 최댓값·최솟값과 극값을 구하는 방법으로 모은다. 정의역 전체에서의 함수의 최댓값과 최솟값을 극댓값·극솟값과 구별하고, 엄격한 최댓값·최솟값과 엄격한 극값을 정의한다. 이어서, 점 주위에서 도함수의 부호를 조사하지 않고도 도함수가 영이 되는 점에서 극값을 가지는지를 판정하는 두 판정법을 증명한다. 일계도함수 판정법에서 얻어지는 이계도함수 판정법과, 로피탈의 정리에서 얻어지는 고계도함수 판정법이다. 그 점에서 영이 되지 않는 첫 도함수가 짝수 계이면 극값이 있고, 홀수 계이면 극값이 없다. 수업의 후반부는 최댓값·최솟값을 다룬다. 유계인 닫힌구간에서는 바이어슈트라스의 정리에 의해 최댓값·최솟값이 존재하고, 페르마의 정리가 이를 후보의 목록, 곧 구간의 끝점과 임계점으로 한정하므로, 그 가운데에서 값을 비교하면 된다. 열린구간이나 유계가 아닌 구간에서는 존재하지 않을 수 있으며, 단조성이나 구간의 끝점에서의 극한으로 판정한다. 특히, 구간에서 연속인 함수가 임계점을 오직 하나 가지고 거기서 극값을 가지면, 그 값은 최댓값 또는 최솟값이다.

학습 목표

  1. 양화사를 사용하여 최댓값·최솟값을 극값과 구별하고, 엄격한 것을 그렇지 않은 것과 구별하며, 구체적인 함수에서 각 경우를 알아본다.
  2. 이계도함수 판정법과 고계도함수 판정법을 증명하고, 이를 이용하여 도함수가 영이 되는 점에서 극댓값을 가지는지, 극솟값을 가지는지, 둘 다 아닌지를, 이계도함수가 영이 되는 경우까지 포함하여 판정한다.
  3. 유계인 닫힌구간에서 연속인 함수의 최댓값·최솟값을 구간의 끝점과 임계점에서의 값을 비교하여 구한다.
  4. 함수가 열린구간이나 유계가 아닌 구간에서 최댓값·최솟값을 가지는지를 단조성, 유일한 임계점, 또는 구간의 끝점에서의 극한으로 판정한다.

최댓값·최솟값, 극값, 엄격한 극값

바이어슈트라스의 정리에 관한 수업은 집합에서 함수의 최댓값과 최솟값을 정의했고, 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업은 한 점에서의 값을 가까운 값들과만 비교하는 극값을 정의했다. 이제 앞의 것을 뒤의 것과 구별하는 이름을 분명히 하고, 점에서의 값이 비교하는 다른 모든 값보다 클 때, 곧 크거나 같을 뿐만이 아닐 때를 명확히 해 두는 것이 좋다.

정의최댓값·최솟값과 엄격한 최댓값·최솟값 및 극값

ff를 집합 AA에서 정의된 함수라 하고 x0x_0을 AA의 원소라 하자. ff가 x0x_0에서 최댓값을 가진다는 것은 x0x_0에서, AA에서의 최댓값을 가진다는 것이고, 최솟값을 가진다는 것은 x0x_0에서, AA에서의 최솟값을 가진다는 것이다. 여기서의 뜻은 바이어슈트라스의 정리에 관한 수업과 같다. 최댓값·최솟값은 최댓값 또는 최솟값을 말한다. 최댓값 또는 극댓값이 엄격하다는 것은 f(x0)f(x_0)이 비교하는 다른 각 값보다 크다는 것이다.

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

첫째 식은 엄격한 최댓값을, 둘째 식은 엄격한 극댓값을 정의한다. 엄격한 최솟값과 극솟값도 같은 방식으로 f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0)을 사용하여 정의한다.

최댓값·최솟값은 대역적 최댓값·최솟값이라고도 하고, 극값은 상대적 극값이라고도 한다. 최댓값·최솟값은 모두 극값이며(δ\delta는 무엇이든 좋다), 엄격한 최댓값·최솟값이나 극값은 모두 각각 최댓값·최솟값이나 극값이다. 역은 어느 쪽도 성립하지 않는다. 함수 x3−3xx^3 - 3x가 −1-1에서 가지는 극댓값은 최댓값이 아니다. 이는 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업에서 보았다. 코사인은 R\mathbb{R}에서의 최댓값을 2π2\pi의 모든 배수에서 가진다. 이 최댓값들은 어느 것도 엄격한 최댓값이 아니다. 값 11이 반복되기 때문이다. 한편 각각은 엄격한 극댓값이다. cos⁡x<1\cos x < 1(단, 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi)이기 때문이다. 상수함수는 각 점에서 최댓값과 최솟값을 가지지만, 어느 것도 엄격하지 않다. 일반적으로, ff가 x0x_0에서 극댓값과 극솟값을 동시에 가지면, x0x_0 근처에서 상수이다. 최댓값은 존재하면 하나뿐이다. 엄격한 최댓값은 게다가 오직 한 점에서만 나타난다.

최댓값·최솟값과 극값은 정의역에 의존한다. ff가 x0x_0에서 최댓값·최솟값이나 극값을 가지고 BB가 AA의 부분집합으로서 x0x_0을 포함하면, ff의 BB로의 제한도 거기서 같은 것을 가진다. 비교하는 값이 더 적어지기 때문이다. 역은 성립하지 않는다. x2x^2은 [1,2]\icc{1}{2}에서는 11에서 최솟값을 가지지만, R\mathbb{R}에서는 11에서 최댓값·최솟값도 극값도 가지지 않는다.