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Topos Uranos
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단조성과 일계도함수 판정법

요약

이 수업은 도함수의 부호를 구간 전체에 대한 정보로 바꾼다. 라그랑주의 평균값 정리로, 구간에서 도함수가 양인 함수는 그 구간에서 엄격하게 증가하고 도함수가 음이 아니면 증가함을 증명한다. 거꾸로, 증가하는 함수의 도함수는 음이 아니지만 엄격하게 증가하는 함수의 도함수는 영이 될 수 있으며, 수업은 그것이 언제 일어나는지를 특징짓는다. 여기서 도함수가 양인 함수의 역함수의 존재, 극값의 후보에 붙이는 이름인 임계점, 그리고 도함수의 부호 변화로 극값의 유무를 판정하는 일계도함수 판정법이 나온다. 바이어슈트라스의 정리와 페르마의 정리로 증명되는 다르부 정리는, 도함수가 연속이 아니더라도 값을 건너뛰지 않음을 보여 준다. 곧 도함수에는 제거 가능한 불연속점도 도약 불연속점도 없으며, 구간에서 영이 되지 않으면 그 구간에서 부호를 바꾸지 않는다. 수업은 도함수로 함수를 비교하여 증명하는 부등식으로 끝나며, 도함수 단원이 여러 번 예고하고도 증명하지 못한 것을 이행한다.

학습 목표

  1. 평균값 정리로 구간에서 도함수의 부호가 단조성을 결정함을 증명하고, 엄격하게 증가하는 함수가 몇몇 점에서 미분계수 영을 가지는 경우를 알아본다.
  2. 함수의 임계점을 구하고, 도함수가 없는 점을 포함하여 그중 어느 것이 극값을 가지는 점인지를 일계도함수 판정법으로 판정한다.
  3. 다르부 정리를 증명하고, 도약을 가진 함수가 구간에서 어떤 함수의 도함수도 아님을 보이는 데 사용한다.
  4. 두 함수의 차의 도함수의 부호를 조사하여 함수 사이의 부등식을 증명하고, 그 논증이 순환 논법이 되는 경우를 알아챈다.

도함수의 부호와 단조성

변화율에 관한 수업의 한 점에서의 미분계수의 부호 명제는 aa 근처의 각 값을 f(a)f(a)와 비교할 뿐이며, 그 이상은 말하지 않는다. 함수 x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}는 값 00을 점 00에서 보충하여 정의하면 미분계수 11(점 00에서의)을 가지지만, 00을 포함하는 어떤 구간에서도 증가하지 않는다. 구간 전체에 대한 정보를 얻으려면 그 모든 점에서 도함수의 부호를 알아야 하며, 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업의 평균값 정리가 그 지식을 값의 비교로 옮겨 준다. 「대수학과 기하학 I」의 함수의 연산에 관한 수업에 따르면, 함수 ff가 집합 II에서 증가한다는 것은 그 모든 점에 대하여 x<yx < y이면 f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y)라는 것이고, 엄격하게 증가한다는 것은 그로부터 f(x)<f(y)f(x) < f(y)이 따른다는 것이었다.

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

또 감소하거나 엄격하게 감소한다는 것은 그로부터 각각 f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) 또는 f(x)>f(y)f(x) > f(y)가 따른다는 것이다.

정리도함수의 부호에 의한 단조성

ff가 구간 II에서 연속이고 II의 각 내점에서 미분가능하다고 하자.

  • f′(x)≥0f'(x) \geq 0이 각 내점 xx(II의 내점)에서 성립하면 ff는 II에서 증가한다. 그러한 각 점에서 f′(x)>0f'(x) > 0이면 II에서 엄격하게 증가한다.
  • f′(x)≤0f'(x) \leq 0이 각 내점 xx(II의 내점)에서 성립하면 ff는 II에서 감소한다. 그러한 각 점에서 f′(x)<0f'(x) < 0이면 II에서 엄격하게 감소한다.

임의의 두 점 사이에서, 평균값 정리는 값의 차에 중간 점에서의 미분계수의 부호를 준다.

증명

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    x<yx < y을 II의 두 점이라 하자. II는 구간이므로 [x,y]\icc{x}{y}를 포함하고, 거기서 ff는 연속이다. 또 (x,y)\ioo{x}{y}의 점은 II의 내점이고, 거기서 ff는 미분가능하다. 라그랑주의 평균값 정리에 의해 어떤 cc(xx와 yy 사이)가 존재하여 아래가 성립한다.

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    인수 y−xy - x는 양이므로 차의 부호는 f′(c)f'(c)의 부호와 같다. f′(c)≥0f'(c) \geq 0이면 차는 음이 아니고, f′(c)>0f'(c) > 0이면 차는 양이다. xx와 yy는 II의 임의의 두 점으로서 x<yx < y을 만족하는 것이었으므로, 함수는 증가하거나 엄격하게 증가한다.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    도함수가 양이 아닌 경우에는 위의 논증을 −f-f에 적용한다. 이 함수는 II에서 연속이고 각 내점에서 도함수 −f′(x)-f'(x)를 가지는데, 이는 미분법의 공식에 관한 수업의 일차결합의 미분법 정리에 의한 것이다. −f-f가 증가한다는 것은 ff가 감소한다는 뜻이다.

도함수는 내점에서만 요구되고, 구간에 속하는 끝점에서는 연속성으로 충분하다. 예를 들어 x\sqrt{x}는 [0,∞)\ico{0}{\infty}에서 엄격하게 증가하지만 00에서 미분가능하지 않다. 이 정리는 도함수 단원의 세 가지 예고를 이행한다. 초등함수의 도함수에 관한 수업은 탄젠트의 도함수 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x가 양인데도 탄젠트가 정의역에서 증가하지 않는다는 것을 지적했다. 정의역이 구간이 아니기 때문이다. 각 구간 (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}(단, kk는 정수)에서는 정리에 의해 탄젠트가 엄격하게 증가한다. 지수에 있는 변수에 관한 수업은 도함수 x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}를 계산했는데, 이는 (0,e)\ioo{0}{e}에서 양이고 (e,∞)\ioo{e}{\infty}에서 음이다. 함수가 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 연속이므로 (0,e]\ioc{0}{e}에서 엄격하게 증가하고 [e,∞)\ico{e}{\infty}에서 엄격하게 감소한다. 이것은 그 수업의 xx의 1x\frac{1}{x}제곱의 최댓값에 관한 명제를 다시 얻을 뿐 아니라, ee의 같은 쪽에 있는 두 수를 비교한다. e<3<4e < 3 < 4이므로 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, 곧 34>433^4 > 4^3이다. 같은 수업은 (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x의 도함수가 모든 x>0x > 0에서 양임을 증명했다. 이 함수는 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 엄격하게 증가한다.

명제단조함수의 도함수의 부호

ff가 구간 II에서 증가하고 내점 aa(II의 내점)에서 미분가능하다고 하자. 그러면 f′(a)≥0f'(a) \geq 0이다. ff가 감소하면 f′(a)≤0f'(a) \leq 0이다. 미분계수가 음이라면, 한 점에서의 미분계수의 부호 명제에 의해 aa의 오른쪽에 f(a)f(a)보다 작은 값이 나타날 것이다.

증명

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    r>0r > 0을 J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r}가 II에 포함되도록 잡고, FF를 ff의 JJ로의 제한이라 하자. 미분법의 공식에 관한 수업의 미분계수의 국소성 보조정리에 의해 FF는 aa에서 미분가능하고 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)이다. f′(a)<0f'(a) < 0이라고 가정하자. 한 점에서의 미분계수의 부호 명제를 FF에 열린구간 JJ에서 적용하면, 어떤 δ>0\delta > 0이 존재하여 아래가 성립한다.

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    ρ\rho를 δ\delta와 rr 중 작은 것이라 하자. 점 a+ρ2a + \frac{\rho}{2}는 JJ에 속하고 aa보다 크다. ff는 증가하므로 그 점에서의 값은 f(a)f(a)보다 작지 않은데, 이는 위에서 얻은 결론에 모순이다. 따라서 f′(a)≥0f'(a) \geq 0이다. ff가 감소하면 −f-f는 증가하고, −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0이다.

따라서 열린구간의 모든 점에서 미분가능한 함수에 대하여, 증가한다는 것은 도함수가 음이 아니라는 것과 동치이다. 이 역은 엄격한 단조성으로 확장되지 않는다. x3x^3은 R\mathbb{R}에서 엄격하게 증가하지만 그 도함수는 00에서 영이 된다. 이 명제는 처음의 예도 설명한다. 변화율에 관한 수업은 00에 얼마든지 가까운 곳에서 x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}의 도함수가 음이 되는 점들을 찾았고, 그 점들을 포함하는 어떤 구간에서도 함수는 증가할 수 없다. 결함은 그 도함수가 00에서 연속이 아니라는 데 있다. 연속이라면 한 점에서의 부호가 구간으로 넓혀진다.

따름정리한 점에서 연속인 양의 도함수

ff가 열린구간 II의 각 점에서 미분가능하다고 하고, aa를 II의 점으로서 거기서 f′f'이 연속이며 f′(a)>0f'(a) > 0인 것이라 하자. 그러면 어떤 δ>0\delta > 0이 존재하여 ff는 (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}에서 엄격하게 증가한다. 도함수는 aa 근처에서 부호를 유지하고, 정리는 부호가 유지되는 구간에서 적용된다.

증명

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    f′f'은 aa에서 연속이므로 aa에서의 극한은 f′(a)>0f'(a) > 0이다. 함수의 극한에 관한 수업의 국소 유계성과 부호 보존 명제에 의해 어떤 δ>0\delta > 0가 존재하는데, (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}가 II에 포함되도록 잡을 수 있으며, 그 구간에서 f′(x)>0f'(x) > 0이다. 거기서 ff는 미분가능하고, 따라서 연속이다. 정리에 의해 엄격하게 증가한다.

도함수가 음이 아닌 함수는 언제 엄격하게 증가하는가? x3x^3의 예는 도함수가 어떤 점에서 영이 될 수 있음을 보여 준다. 할 수 없는 것은 구간 전체에서 영이 되는 것이다.

명제도함수가 음이 아닐 때의 엄격한 단조성

ff가 구간 II에서 연속이고 II의 각 내점에서 미분가능하며 그 각 점에서 f′(x)≥0f'(x) \geq 0라고 하자. 그러면 ff가 II에서 엄격하게 증가하기 위한 필요충분조건은, 구간 (p,q)\ioo{p}{q}(단, p<qp < q)로서 II에 포함되고 그 모든 점에서 f′f'이 영이 되는 것이 하나도 존재하지 않는 것이다. 특히 f′f'이 유한 개의 점에서만 영이 되면 ff는 II에서 엄격하게 증가한다. 증가하지만 엄격하게 증가하지 않는 함수는 어떤 값을 반복하며, 그 값을 반복하는 두 점 사이에서 상수이다.

증명

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    f′f'이 구간 (p,q)\ioo{p}{q}(II에 포함됨)의 모든 점에서 영이 된다고 가정하고, p<s<t<qp < s < t < q라 하자. [s,t]\icc{s}{t}에서 함수는 연속이고 (s,t)\ioo{s}{t}의 점에서 도함수가 영이다. 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업의 구간에서 도함수가 0 따름정리에 의해 함수는 [s,t]\icc{s}{t}에서 상수이며, 엄격하게 증가하지 않는다.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    거꾸로, ff가 엄격하게 증가하지 않는다고 가정하자. 정리에 의해 증가하므로 어떤 s<ts < t(II의 점)가 존재하여 f(s)=f(t)f(s) = f(t)이다. 중간의 값은 모두 두 같은 값 사이에 끼이며, ff는 [s,t]\icc{s}{t}에서 상수이다.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    xx를 (s,t)\ioo{s}{t}의 점이라 하자. ff의 (s,t)\ioo{s}{t}로의 제한은 상수이고 xx에서의 미분계수는 영이다. 미분계수의 국소성 보조정리에 의해 f′(x)=0f'(x) = 0이다. 도함수는 구간 (s,t)\ioo{s}{t} 전체에서 영이 되며, 이 구간은 II에 포함된다. f′f'이 유한 개의 점에서만 영이 되면 그런 구간은 없다. 어떤 구간 (p,q)\ioo{p}{q}(단, p<qp < q)도 무한히 많은 점을 가지기 때문이다.

함수 x+sin⁡xx + \sin x는 역함수의 미분법에 관한 수업의 예제 1의 함수로서 도함수 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0를 가지며, 이는 무한히 많은 점 π+2kπ\pi + 2k\pi에서 영이 된다. 그중 이웃한 두 점 사이에서 도함수는 양이고, 영점만으로 이루어진 구간은 없다. 명제에 의해 이 함수는 R\mathbb{R}에서 엄격하게 증가하는데, 그 수업은 이를 두 사인의 차의 공식으로 얻었고 거기서는 놀랍게 보였다. 같은 논증은 도함수가 없는 점이 유한 개 있어도 통한다. ff가 II에서 연속이고 x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k을 제외한 모든 내점에서 양의 도함수를 가지면, 정리에 의해 그 점들 가운데 이웃한 두 점 사이의 각 구간에서(그리고 양 끝 부분에서도) 엄격하게 증가하고, 부등식들이 이어진다. 이렇게 x3\sqrt[3]{x}는 R\mathbb{R}에서 엄격하게 증가하지만 00에서 미분가능하지 않다. 연속성은 뺄 수 없다(연습 문제 1).

따름정리양의 도함수와 역함수

ff가 두 점 이상을 포함하는 구간 II에서 연속이고 II의 각 내점에서 미분가능하며, 그 각 점에서 f′(x)>0f'(x) > 0이거나 그 각 점에서 f′(x)<0f'(x) < 0라고 하자. 그러면 ff는 II에서 엄격하게 단조이고, 그 상 J=f(I)J = f(I)은 구간이며, 역함수 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I는 연속이다. 각 점 b=f(a)b = f(a)(단, aa는 II의 내점)에서 역함수는 미분가능하고 (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}이다. 정리는 엄격한 단조성을 주며, 그것이 역함수의 미분법 정리의 가정이다.

증명

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    정리에 의해 ff는 II에서 엄격하게 증가하거나 엄격하게 감소한다. 사잇값 정리에 관한 수업의 구간의 상 따름정리와 역함수의 연속성 따름정리에 의해 JJ는 구간이고 f−1f^{-1}은 JJ에서 연속이다.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    aa가 내점이면 ff는 aa에서 미분가능하고 f′(a)≠0f'(a) \neq 0이며, 역함수의 미분법에 관한 수업의 역함수의 미분법 정리가 f−1f^{-1}의 b=f(a)b = f(a)에서의 미분계수를 준다.

도함수 단원의 평가는 x5+xx^5 + x와 x3+2x+1x^3 + 2x + 1이 R\mathbb{R}에서 엄격하게 증가함을 알려진 것으로 삼았다. 이제는 그 도함수 5x4+15x^4 + 1과 3x2+23x^2 + 2가 양임을 보면 충분하다. 또 xexx e^x의 역함수에 관한 도전 과제(그 단원의 종합에 있는)는 도함수의 부호를 쓰지 않고 이 함수가 [−1,∞)\ico{-1}{\infty}에서 엄격하게 증가함을 증명하라고 요구했는데, 이제는 한 줄로 풀린다. 이 함수는 거기서 연속이고 그 도함수 (1+x)ex(1 + x) e^x은 (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}에서 양이다.