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Topos Uranos
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도함수: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 도함수 단원을 마무리한다. 단원의 열 수업이 증명한 것을 하나의 연역 사슬로 모은다. 곧 평균변화율의 극한으로서의 미분계수, 그 세 가지 동치인 특성화와 미분법인데, 미분법은 모두 0이 될 수 있는 양으로 나누지 않고 카라테오도리 분해에서 얻으며, 여기에 초등함수의 도함수와 연쇄 법칙이 더해진다. 그리고 역함수의 미분법을 떠받치는 사잇값 정리와 역함수의 연속성, 임의의 밑의 거듭제곱과 지수함수를 자연지수함수로 환원하는 일이 있다. 끝으로 고계도함수, 미분, 변화율이 있다. 이 수업은 단원이 앞 단원과 대수학과 기하학 I과 II에 어떻게 기대는지, 그리고 도함수의 응용을 어떻게 준비하는지 설명한다. 마지막에는 입문 평가와 짝을 이루는 마무리 평가와, 수업의 문제보다 어려우며 각각 여러 수업의 결과를 결합하는 열 개의 도전 과제가 있다.

학습 목표

  1. 단원의 주요 정의와 정리를 논리적 순서로 제시하고, 각각이 어떤 앞선 결과에 의존하며 어떤 증명에서 카라테오도리 분해가 다시 쓰이는지 밝힌다.
  2. 단원이 받아들이는 것과 증명하는 것을 구별하고, 각 결과의 가정, 예컨대 역함수의 미분법의 가정이나 음함수의 미분법이 요구하는 가정을 알아본다.
  3. 단원의 결과를 극한과 연속성 단원, 대수학과 기하학 I과 II, 도함수의 응용과 관련짓는다.
  4. 미분계수의 정의, 미분법, 연쇄 법칙, 사잇값 정리, 역함수의 미분법, 지수가 변하는 거듭제곱, 고계도함수, 미분, 변화율을 결합하는 정형적이지 않은 문제를 푼다.

단원에서 이룬 것

단원 전체는 하나의 생각에 기대고 있다. 미분계수는 극한이며, 앞 단원이 그것을 계산하고 다루는 데 필요한 모든 것을 이미 주었다는 것이다. 그러나 평균변화율은 나눗셈이고, 0이 될 수 있는 증분으로 나누는 것이 결함 있는 증명의 근원이다. 카라테오도리의 특성화는 나눗셈을 곱으로 바꾼다. 그 곱에는 인수 φ\varphi가 있고, 이 인수는 aa에서 연속이다:

f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),φ(a)=f′(a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

이로써 함수가 미분가능함을 보이는 일은 그 증분을 연속인 인수로 분해하는 일로 환원되고, 인수의 연속성은 앞 단원의 정리가 결정한다. 이렇게 일차결합, 곱, 역수의 미분법, 연쇄 법칙, 역함수의 미분법을 얻었으며, 각각은 앞의 것을 다시 하지 않고 인용한다.

정의와 미분법

극한으로서의 도함수에 관한 수업은 접선과 속도 양쪽에서 같은 정의에 이르렀고, 그것이 뜻을 갖는 곳을 정했다. 정의역의 점으로서 정의역의 집적점인 점이다. 미분계수를 한정 기호가 있는 명제로 쓰고, 한쪽 미분계수를 평균변화율의 한쪽 극한으로 정의하고, 접선과 법선, 도함수, 라이프니츠 표기법을 정의했으며, 미분계수가 세 가지 동치인 표현을 가짐을 증명했다. 평균변화율의 극한, 근사 f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h), 카라테오도리 분해이다. 마지막 것에서 미분가능하면 연속이라는 것이 두 줄 만에 나왔고, 절댓값과 세제곱근은 그 역이 성립하지 않음을 보였다. 미분법의 공식에 관한 수업은 먼저 미분계수가 그 점 근처에서 일어나는 일에만 의존함을 증명하고, 이어서 분해를 결합하여 일차결합, 곱, 역수, 몫의 미분법을 증명했다. 이것들로 정수 지수의 거듭제곱, 다항식, 유리함수를 미분했고, 두 조각의 연결점에서 미분가능성을 판정했는데, 거기서는 각 식의 도함수만으로는 부족하다. 초등함수의 도함수에 관한 수업은 사인과 코사인의 도함수를 삼각함수의 기본 극한과 덧셈정리에서, 자연지수함수와 ln⁡∣x∣\ln \abs{x}의 도함수를 주요 극한에서, 연쇄 법칙도 역함수의 미분법도 쓰지 않고 얻었으며, 나머지 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수는 미분법으로 얻었다. 연쇄 법칙에 관한 수업은 두 분해를 이어 붙였고, g(x)−g(a)g(x) - g(a)로 나누는 증명이 속함수가 같은 값을 반복할 때 왜 실패하는지 설명했으며, 합성함수의 정의역을 살폈고, 그 법칙을 라이프니츠 표기법으로 썼다. 이 표기법에서는 분수의 약분처럼 보이지만 그렇지 않다.

연속성, 역함수와 지수

사잇값 정리에 관한 수업은 함수가 음수가 되는 점들의 상한과 부호 보존으로 볼차노 정리를 증명했고, 그로부터 사잇값 정리, 연속함수에 의한 구간의 상이 구간이라는 것, 구간에서 연속이고 엄격하게 단조인 함수의 역함수가 연속이라는 것을 얻었다. 이분법은 이 증명을 하나의 절차로 바꾸었다. 역함수의 미분법에 관한 수업은 카라테오도리 분해를 거꾸로 읽었다. f′(a)≠0f'(a) \neq 0이면 인수는 0이 되지 않고, 그 역수를 연속인 역함수와 합성한 것이 역함수의 증분을 분해한다. f′(a)=0f'(a) = 0이면 연쇄 법칙 때문에 역함수는 미분가능할 수 없다. 이 정리로 역삼각함수, 역쌍곡선함수, 거듭제곱근, 유리수 지수의 거듭제곱을 미분했고, 음함수를 미분했는데, 그때마다 그것들이 존재하고 미분가능하다고 가정했다. 지수에 있는 변수에 관한 수업은 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}과 (f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}로 모든 것을 자연지수함수로 환원했다. 임의의 밑의 지수함수와 로그, 실수 지수의 거듭제곱, 밑과 지수가 모두 변하는 거듭제곱을 미분했고, 로그를 취하기 전에 미분가능성을 증명함으로써 로그미분법을 정당화했으며, 원점을 지나는 로그함수의 접선으로 πe<eπ\pi^e < e^\pi임을 판정했다.

고계도함수와 변화율

고계도함수와 미분에 관한 수업은 고계도함수를 그 정의역과 함께 재귀적으로 정의했고, 거듭제곱, 지수함수, 사인, 코사인의 nn계도함수 공식과 이항계수를 갖는 라이프니츠 공식을 귀납법으로 증명했다. dy\mathrm{d}y와 dx\mathrm{d}x에 따로따로 뜻을 주었다. 미분 dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x는 증분의 일차 부분 가운데 증분과의 차가 Δx\Delta x에 비해 무시할 수 있는 유일한 것이다. 미분을 값의 근사와 오차의 전파 추정에 썼지만, 근사 오차의 상계는 주지 않았는데, 그것에는 나중의 도구가 필요하다. 변화율에 관한 수업은 미분계수를 양이 변하는 빠르기로 읽었다. 평균변화율, 순간변화율, 상대변화율을 구별했고, 상대변화율이 일정한 증가를 특성화했으며, 직선 위의 운동을 속도, 속력, 가속도로 기술했고, 한 점에서의 미분계수의 부호가 가까운 값에 대해 무엇을 말하고 그 이상은 말하지 않는지 증명했으며, 관련된 변화율을 위한 명시적인 방법을 연쇄 법칙 위에 세웠다.

받아들이는 것, 증명하는 것, 남는 것

단원의 결산은 이렇게 요약할 수 있다.

  • 받아들이는 것은 완비성 공리(이 단원에서는 볼차노 정리만이 이것을 직접 쓴다), 극한과 연속성 단원의 정리들, 그리고 대수학과 기하학에서 증명된 결과들, 곧 덧셈정리, 기본 항등식, 지수법칙과 로그의 성질, 부등식 ex≥1+xe^x \geq 1 + x, 역함수를 정하는 함수들의 단조성, 귀납법, 이항정리이다. 또한 방정식을 음함수로 미분할 때마다 그것이 미분가능한 함수를 정한다고 가정한다.
  • 대수학과 기하학이 받아들였거나 예고했던 사실을 증명한다. 사잇값 정리, exe^x의 그래프의 (0,1)(0, 1)에서의 접선의 기울기가 11이라는 것, 그리고 ee는 그 지수함수가 이 기울기를 갖는 유일한 밑이라는 것이다. 또 접선은 원뿔곡선에 대해서는 곡선에 닿되 가로지르지 않는 직선으로 정의되었으나, 이제 임의의 그래프에 대해 정의된다.
  • 논증을 반복하는 대신 네 가지 도구를 다시 쓴다. 카라테오도리 분해, 미분가능하면 연속이라는 정리, 미분계수의 국소성, 부호 보존이다.
  • 한 점에서의 미분계수보다 많은 것을 요구하는 일은 뒤로 남긴다. 평균값 정리와 그로부터 따르는 것, 도함수의 부호에 의한 단조성, 극값, 로피탈의 정리, 미분의 오차의 상계는 이어지는 단원에서, 테일러 다항식과 적분은 미적분학 II에서, 음함수의 존재를 보장하는 정리는 다변수 미적분학에서 다룬다.

아래 그림은 세 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞선 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 각 받침은 자신에게 기대는 고리들과 실선으로, 자신이 세워지는 고리와 점선으로 이어진다. 다만 앞 단원이나 대수학과 기하학에서 온 것은 예외로, 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A완비성 공리. 대수학과 기하학 I에서부터, 실수가 완비 순서체를 이룬다는 것, 곧 위로 유계인 공집합이 아닌 실수 집합은 모두 상한을 갖는다는 것을 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • B단원 1에서 물려받은 것. 극한과 연속성 단원에서 증명된 결과들. 제한의 극한과 합성의 극한을 포함한 극한의 연산 법칙, 한쪽 극한, 연속성과 연산 및 합성의 연속성, 초등함수의 연속성과 상이 구간인 단조함수의 역함수의 연속성, sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h}, eh−1h\frac{e^h - 1}{h}, ln⁡(1+h)h\frac{\ln(1 + h)}{h}의 00에서의 극한, 그리고 스몰 오 o⁡\operatorname{o}와 동치. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C부호 보존. 극한과 연속성 단원에서 증명되었다. ff가 aa에서 극한 L≠0L \neq 0에 가까워지면, aa 근처에서 그 함수는 LL과 같은 부호를 갖는다. 또 ff가 aa에서 연속이고 f(a)≠0f(a) \neq 0이면, aa 근처에서 f(a)f(a)와 같은 부호를 가지며 0이 되지 않는다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D대수학과 기하학에서 물려받은 것. 대수학과 기하학 I과 II에서 증명된 결과들. 귀납법, 이항정리와 파스칼의 법칙, 삼각함수와 쌍곡선함수의 덧셈정리와 기본 항등식, 지수법칙과 로그의 성질, 밑변환과 부등식 ex≥1+xe^x \geq 1 + x, 그리고 역삼각함수를 정하는 제한들의 단조성과 쌍곡선함수의 단조성. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E카라테오도리 분해. ff가 aa에서 미분가능하고 f′(a)=Lf'(a) = L일 필요충분조건은, 함수 φ\varphi가 존재하여 aa에서 연속이고 φ(a)=L\varphi(a) = L이며 정의역 전체에서 f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)인 것이다. 미분하려면 나누지 않고 증분을 분해하면 된다. 확립되는 곳: 3. 세 가지 특성화.
  • F미분가능하면 연속. 한 점에서 미분가능한 함수는 그 점에서 연속이다. 미분법은 카라테오도리 인수가 연속이 되도록 이것을 쓴다. 확립되는 곳: 4. 미분가능하면 연속.
  • G국소성. aa에서의 미분계수는 함수를 어떤 집합으로 제한해도, aa가 그 집합의 집적점인 한 변하지 않으며, aa 근처의 값에만 의존한다. 그래서 정의역들의 교집합이나 열린구간에서 다룬다. 확립되는 곳: 5. 미분계수의 국소성.

  1. 제1구간 정의와 미분법

    • 정의역의 집적점에서의 미분계수를 평균변화율의 극한으로, 한쪽 미분계수와 함께 정의하고, 한정 기호가 있는 명제로 쓴다.
    • 평균변화율, 일차근사, 카라테오도리 분해의 동치를 증명하고, 미분가능하면 연속이지만 역은 성립하지 않음을 이끌어 낸다.
    • 증분으로 나누지 않고 분해로 일차결합, 곱, 역수, 몫의 미분법을 얻고, 다항식, 유리함수, 조각별로 정의된 함수를 미분한다.
    • 앞 단원의 극한으로 삼각함수, 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수를 미분하고, 연쇄 법칙으로 그 합성을 미분한다.

    1. 미분계수의 정의. aa가 정의역 AA(ff의 정의역)의 원소이고 AA의 집적점일 때, f′(a)=Lf'(a) = L라는 것은 (∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)이 성립한다는 뜻이다. 동치인 표현으로는 lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=L\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L이다.

      받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극한으로서의 도함수.

    2. 한쪽 미분계수. 한쪽 미분계수 f+′(a)f'_+(a)와 f−′(a)f'_-(a)는 평균변화율의 한쪽 극한이다. aa가 양쪽에서 정의역의 집적점이면, ff가 aa에서 미분가능할 필요충분조건은 두 값이 존재하고 같은 것이며, 한쪽에서만 집적점이면 미분계수는 그쪽의 것이다.

      사용: 1. 미분계수의 정의. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극한으로서의 도함수.

    3. 세 가지 특성화. 아래는 동치이다. f′(a)=Lf'(a) = L. f(a+h)=f(a)+Lh+o⁡(h)f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)(hh가 00에 가까워질 때). 그리고 함수 φ\varphi로서 aa에서 연속이고 φ(a)=L\varphi(a) = L이며, f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)이 정의역의 모든 xx에 대해 성립하는 것이 존재한다는 것.

      사용: 1. 미분계수의 정의. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 함수의 극한으로서의 도함수.

    4. 미분가능하면 연속. ff가 aa에서 미분가능하면 aa에서 연속이다. 역은 거짓이다. ∣x∣\abs{x}와 x3\sqrt[3]{x}는 00에서 연속이지만 00에서 미분가능하지 않다.

      사용: 2. 한쪽 미분계수, 3. 세 가지 특성화. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), E (카라테오도리 분해). 증명된 수업: 함수의 극한으로서의 도함수.

    5. 미분계수의 국소성. FF가 ff의 집합 BB로의 제한이고, 이 집합이 aa를 포함하며 aa가 그 집적점이고, ff가 aa에서 미분가능하면, F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a)이다. 또 BB가 aa 근처의 정의역의 점을 모두 포함하면, ff가 aa에서 미분가능할 필요충분조건은 FF가 그러한 것이다.

      사용: 1. 미분계수의 정의. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 미분법의 공식.

    6. 일차결합과 곱. ff와 gg가 aa에서 미분가능하면 αf+g\alpha f + g와 fgfg도 미분가능하고, (αf+g)′(a)=αf′(a)+g′(a)(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a), (fg)′(a)=f′(a) g(a)+f(a) g′(a)(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)이다.

      사용: 3. 세 가지 특성화, 4. 미분가능하면 연속. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), E (카라테오도리 분해), F (미분가능하면 연속). 증명된 수업: 미분법의 공식.

    7. 역수와 몫. ff와 gg가 aa에서 미분가능하고 g(a)≠0g(a) \neq 0이면, aa는 fg\frac{f}{g}의 정의역의 집적점이고, (1g)′(a)=−g′(a)(g(a))2\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}과 (fg)′(a)=f′(a) g(a)−f(a) g′(a)(g(a))2\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}이 성립한다.

      사용: 3. 세 가지 특성화, 4. 미분가능하면 연속, 5. 미분계수의 국소성, 6. 일차결합과 곱. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), C (부호 보존), E (카라테오도리 분해), F (미분가능하면 연속), G (국소성). 증명된 수업: 미분법의 공식.

    8. 거듭제곱, 다항식과 유리함수. 모든 정수 m≠0m \neq 0에 대해 xmx^m의 도함수는 그 정의역 전체에서 mxm−1m x^{m - 1}이다. 모든 다항식은 R\mathbb{R}에서 미분가능하고 항별로 미분할 수 있으며, 모든 유리함수는 그 정의역에서 미분가능하다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 6. 일차결합과 곱, 7. 역수와 몫. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 미분법의 공식.

    9. 연결점에서의 미분계수. ff가 gg(cc의 왼쪽에서) 및 hh(오른쪽에서)와 일치하고, gg와 hh가 cc에서 미분가능하면, ff가 cc에서 미분가능할 필요충분조건은 g(c)=f(c)=h(c)g(c) = f(c) = h(c)이고 g′(c)=h′(c)g'(c) = h'(c)인 것이다. 각 식의 도함수를 비교하는 것만으로는 부족하다.

      사용: 2. 한쪽 미분계수, 4. 미분가능하면 연속. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), F (미분가능하면 연속). 증명된 수업: 미분법의 공식.

    10. 삼각함수. 모든 실수 xx에 대해 ddx(sin⁡x)=cos⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x이고 ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x이다. cos⁡x≠0\cos x \neq 0인 곳에서 ddx(tan⁡x)=1cos⁡2x=1+tan⁡2x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x이다. 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트는 몫과 역수의 미분법으로 미분한다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 6. 일차결합과 곱, 7. 역수와 몫. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 초등함수의 도함수.

    11. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수. ddx(ex)=ex\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x은 R\mathbb{R}에서, ddx(ln⁡∣x∣)=1x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}은 R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}에서 성립하고, sinh⁡x\sinh x, cosh⁡x\cosh x, tanh⁡x\tanh x의 도함수는 각각 cosh⁡x\cosh x, sinh⁡x\sinh x, 1cosh⁡2x\frac{1}{\cosh^2 x}이다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 6. 일차결합과 곱, 7. 역수와 몫. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 초등함수의 도함수.

    12. 연쇄 법칙. gg가 aa에서 미분가능하고, ff(gg의 값들을 포함하는 집합에서 정의된)이 g(a)g(a)에서 미분가능하면, (f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)이다. g(x)−g(a)g(x) - g(a)로 나누는 증명은 g′(a)≠0g'(a) \neq 0일 때에만 통한다.

      사용: 3. 세 가지 특성화, 4. 미분가능하면 연속. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), C (부호 보존), E (카라테오도리 분해), F (미분가능하면 연속). 증명된 수업: 합성함수의 미분과 연쇄 법칙.

    13. 자주 쓰이는 합성함수. 이 법칙은 f∘gf \circ g의 정의역에서, aa가 그 집적점일 때 성립한다. 이는 ff의 정의역이 g(a)g(a)를 중심으로 하는 구간을 포함할 때 일어난다. 이로써 ddx((g(x))m)=m(g(x))m−1g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)(모든 정수 m≠0m \neq 0에 대해), ddx(g(x))=g′(x)2g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}(g(a)>0g(a) > 0일 때), ddx(sin⁡g(x))=cos⁡g(x)⋅g′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)가 성립한다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 5. 미분계수의 국소성, 8. 거듭제곱, 다항식과 유리함수, 10. 삼각함수, 12. 연쇄 법칙. 받침: C (부호 보존), F (미분가능하면 연속), G (국소성). 증명된 수업: 합성함수의 미분과 연쇄 법칙.

  2. 제2구간 연속성, 역함수와 지수

    • 상한으로 볼차노 정리를 증명하고, 그것으로 사잇값 정리, 연속함수에 의한 구간의 상이 구간이라는 것, 연속이고 엄격하게 단조인 함수의 역함수가 연속이라는 것을 증명한다.
    • 카라테오도리 분해를 거꾸로 읽어 역함수의 미분법을 증명하고, 역삼각함수, 역쌍곡선함수, 거듭제곱근, 유리수 지수의 거듭제곱을 미분한다.
    • 도함수의 계산과 그 존재의 증명을 구별하여 음함수를 미분한다.
    • 임의의 밑의 지수함수와 로그, 실수 지수의 거듭제곱, 밑과 지수가 모두 변하는 거듭제곱을 자연지수함수로 환원하고, 로그미분법을 정당화한다.

    1. 볼차노 정리. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고 f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b) 또는 f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b)이면, 어떤 점 cc((a,b)\ioo{a}{b}의 점)로서 f(c)=0f(c) = 0인 것이 존재한다.

      받침: A (완비성 공리), C (부호 보존). 증명된 수업: 사잇값 정리.

    2. 사잇값 정리. ff가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이면 f(a)f(a)와 f(b)f(b) 사이의 모든 값을 취한다. 따라서 연속함수에 의한 구간의 상은 구간이다.

      사용: 14. 볼차노 정리. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 사잇값 정리.

    3. 역함수의 연속성. ff가 구간 II에서 연속이고 엄격하게 단조이면, 그 역함수는 구간 f(I)f(I)에서 연속이다.

      사용: 15. 사잇값 정리. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 사잇값 정리.

    4. 역함수의 미분법. ff가 구간 II(두 점 이상을 포함하는)에서 연속이고 엄격하게 단조이며 aa에서 미분가능하고 f′(a)≠0f'(a) \neq 0이면, f−1f^{-1}은 b=f(a)b = f(a)에서 미분가능하고 (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}이다. f′(a)=0f'(a) = 0이면 f−1f^{-1}은 bb에서 미분가능하지 않다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 3. 세 가지 특성화, 12. 연쇄 법칙, 15. 사잇값 정리, 16. 역함수의 연속성. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), E (카라테오도리 분해). 증명된 수업: 역함수의 미분법과 음함수의 미분법.

    5. 초등함수의 역함수와 거듭제곱근. 각각 미분가능한 범위에서 ddx(arcsin⁡x)=11−x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, ddx(arctan⁡x)=11+x2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}, ddx(arcsinh⁡x)=1x2+1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}이다. xn\sqrt[n]{x}는 그 정의역의 모든 x≠0x \neq 0에서 미분가능하고 00에서는 미분가능하지 않다. 그리고 ddx(xpq)=pqxpq−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}이 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 성립한다.

      사용: 8. 거듭제곱, 다항식과 유리함수, 10. 삼각함수, 11. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수, 13. 자주 쓰이는 합성함수, 17. 역함수의 미분법. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것), D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 역함수의 미분법과 음함수의 미분법.

    6. 밑이 a인 지수함수와 로그. a>0a > 0이고 a≠1a \neq 1이면 ddx(ax)=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a이고 ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}이다. uu가 어떤 점에서 미분가능하면 eu(x)e^{u(x)}도 거기서 미분가능하고 도함수는 eu(x)u′(x)e^{u(x)} u'(x)이며, 또한 uu가 거기서 0이 되지 않으면 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}도 거기서 미분가능하고 도함수는 u′(x)u(x)\frac{u'(x)}{u(x)}이다.

      사용: 6. 일차결합과 곱, 11. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수, 12. 연쇄 법칙, 13. 자주 쓰이는 합성함수. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 지수에 있는 변수와 로그미분법.

    7. 실수 지수와 변수 지수의 거듭제곱. 모든 실수 rr에 대해 ddx(xr)=rxr−1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}가 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 성립한다. ff(양의 값을 갖는)와 gg가 aa에서 미분가능하면, F(x)=(f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}은 aa에서 미분가능하고 F′(a)=(f(a))g(a)(g′(a)ln⁡f(a)+g(a)f′(a)f(a))F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)이다.

      사용: 6. 일차결합과 곱, 11. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수, 12. 연쇄 법칙, 19. 밑이 a인 지수함수와 로그. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 지수에 있는 변수와 로그미분법.

    8. 로그미분법. f1,…,fkf_1, \ldots, f_k가 aa에서 미분가능하고 aa에서 0이 되지 않으며, fjf_j가 양수(rjr_j가 정수가 아닐 때)이면, F=f1r1⋯fkrkF = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}은 aa에서 미분가능하고 F′(a)F(a)=r1f1′(a)f1(a)+⋯+rkfk′(a)fk(a)\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}이다. 미분가능성은 로그를 취하기 전에 증명한다.

      사용: 4. 미분가능하면 연속, 5. 미분계수의 국소성, 6. 일차결합과 곱, 13. 자주 쓰이는 합성함수, 19. 밑이 a인 지수함수와 로그, 20. 실수 지수와 변수 지수의 거듭제곱. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것), F (미분가능하면 연속), G (국소성). 증명된 수업: 지수에 있는 변수와 로그미분법.

    9. 파이의 e제곱과 e의 파이제곱. 모든 x>0x > 0에 대해 x1x≤e1ex^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}가 성립하고, 등호는 x=ex = e일 때에만 성립한다. 로그함수가 그 접선 y=xey = \frac{x}{e} 아래에 있기 때문이다. 특히 πe<eπ\pi^e < e^\pi이다.

      사용: 11. 지수함수, 로그함수, 쌍곡선함수. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 지수에 있는 변수와 로그미분법.

  3. 제3구간 고계도함수와 변화율

    • 고계도함수를 정의하고, 거듭제곱, 지수함수, 사인, 코사인의 nn계도함수 공식과 라이프니츠 공식을 귀납법으로 증명한다.
    • dy\mathrm{d}y와 dx\mathrm{d}x에 따로따로 뜻을 주고, 미분이 증분의 주요부임을 증명하며, 미분을 근사와 오차 추정에 쓰되 오차의 상계는 주지 않는다.
    • 미분계수를 평균변화율, 순간변화율, 상대변화율로 읽고, 그것으로 직선 위의 운동을 기술한다.
    • 연쇄 법칙과 명시적인 방법으로 관련된 변화율 문제를 푼다.

    1. 고계도함수. f(0)=ff^{(0)} = f이고 f(n+1)=(f(n))′f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'이며, 각각의 정의역은 바로 앞의 도함수가 미분가능한 점들로 이루어진다. ff와 gg가 열린구간에서 nn번 미분가능하면 (αf+g)(n)=αf(n)+g(n)\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}이다.

      사용: 6. 일차결합과 곱. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것), G (국소성). 증명된 수업: 고계도함수와 미분.

    2. n계도함수. (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 dndxn(xr)=r(r−1)⋯(r−n+1) xr−n\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}이다. 모든 실수 xx에 대해 dndxn(ecx)=cnecx\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}이고 dndxn(sin⁡x)=sin⁡(x+nπ2)\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)이다. 다항식 ff의 계수는 수 f(k)(0)k!\frac{f^{(k)}(0)}{k!}이다.

      사용: 8. 거듭제곱, 다항식과 유리함수, 13. 자주 쓰이는 합성함수, 19. 밑이 a인 지수함수와 로그, 20. 실수 지수와 변수 지수의 거듭제곱, 23. 고계도함수. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 고계도함수와 미분.

    3. 라이프니츠 공식. ff와 gg가 열린구간에서 nn번 미분가능하면 fgfg도 그러하며, (fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}이다.

      사용: 6. 일차결합과 곱, 23. 고계도함수. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 고계도함수와 미분.

    4. 미분. ff가 aa에서 미분가능하면, 증분 Δy=f(a+Δx)−f(a)\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)은 Δy=dy+o⁡(Δx)\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)(단, dy=f′(a) Δx\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x)를 만족하고, Δx\Delta x의 다른 어떤 일차함수도 이것을 만족하지 않는다. f′(a)≠0f'(a) \neq 0이면 Δy∼dy\Delta y \sim \mathrm{d}y이다. 그리고 w=f(u)w = f(u)이면 dw=f′(u) du\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u이다.

      사용: 3. 세 가지 특성화, 6. 일차결합과 곱, 7. 역수와 몫, 12. 연쇄 법칙. 받침: B (단원 1에서 물려받은 것). 증명된 수업: 고계도함수와 미분.

    5. 일정한 상대변화율. y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}(y0>0y_0 > 0, k≠0k \neq 0)이면 상대변화율 y′(t)y(t)\frac{y'(t)}{y(t)}는 모든 시각에서 kk와 같고, y(t+T)=ekTy(t)y(t + T) = e^{kT} y(t)이다. 양은 길이가 ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}}인 각 시간 구간마다 두 배가 되거나 절반으로 줄어든다.

      사용: 19. 밑이 a인 지수함수와 로그. 받침: D (대수학과 기하학에서 물려받은 것). 증명된 수업: 변화율과 관련된 변화율.

    6. 한 점에서의 미분계수의 부호. ff가 열린구간 II에서 정의되고, 점 aa(II의 점)에서 미분가능하며 f′(a)>0f'(a) > 0이면, δ>0\delta > 0이 존재하여 모든 xx(II의 점)에 대해 f(x)<f(a)f(x) < f(a)(a−δ<x<aa - \delta < x < a일 때)이고 f(x)>f(a)f(x) > f(a)(a<x<a+δa < x < a + \delta일 때)이다. ff가 aa 근처에서 증가한다는 것은 따라 나오지 않는다. 여기서 속도와 가속도가 같은 부호를 가질 때 속력이 커진다는 것이 나온다.

      사용: 1. 미분계수의 정의, 6. 일차결합과 곱. 받침: C (부호 보존). 증명된 수업: 변화율과 관련된 변화율.

    7. 관련된 변화율. uu가 t0t_0에서 미분가능하고 y(t)=g(u(t))y(t) = g(u(t))이며, 여기서 gg는 u(t0)u(t_0)에서 미분가능하면, y′(t0)=g′(u(t0)) u′(t0)y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)이다. 또 어떤 구간의 모든 시각에서 같고 t0t_0에서 미분가능한 두 식은 t0t_0에서 같은 도함수를 갖는다.

      사용: 12. 연쇄 법칙. 증명된 수업: 변화율과 관련된 변화율.

응용을 향하여. 사슬은 미분계수가 연구 대상이기를 그치고 도구가 되는 곳에서 멈춘다. 이어지는 단원은 바이어슈트라스의 최대·최소 정리로 시작한다. 한 점에서의 미분계수의 부호로 페르마의 정리를 증명하고, 그로부터 롤의 정리와 평균값 정리를 증명하는데, 이 정리들은 도함수의 부호를 단조성으로 바꾸고, 로피탈의 정리, 극값, 오목·볼록, 그리고 미분이 갖지 못한 오차의 상계를 준다. 끝으로 곡선을 그 접선으로 바꾸는 뉴턴-랩슨 방법이 온다.