도함수의 응용: 도입

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1. 문제 1바이어슈트라스 정리가 함수가 주어진 집합에서 최댓값을 가짐을 보장하는 것은 아래 가운데 어느 경우인가?

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$, $\icc{0}{2}$에서

   $f(x) = \arctan x$, $\mathbb{R}$에서

   $f(x) = x^2$, $\ico{0}{1}$에서

   값이 $x$($\ico{0}{1}$에서), $0$($1$에서)인 함수, 구간 $\icc{0}{1}$에서

2. 문제 2함수 $f$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하고, $f(0) = 1$이며 $\abs{f'(x)} \leq 2$(모든 $x$에 대하여)이다. $f(3)$에 대하여 무엇을 보장할 수 있는가?

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   아무것도 보장할 수 없다. 어느 점에서도 도함수의 값을 모르기 때문이다.

3. 문제 3$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$를 구하여라.

   $0$

   존재하지 않는다. 도함수의 비가 극한을 갖지 않기 때문이다.

   존재하지 않는다. $\sin\frac{1}{x}$는 극한을 갖지 않기 때문이다($x \to 0$일 때).

   $1$

4. 문제 4$\mathbb{R}$에서 함수 $f(x) = x + \cos x$는 엄격하게 증가하는가?

   그렇다. 그 도함수 $1 - \sin x$는 음이 아니고, 어떤 열린구간의 모든 점에서 영이 되지는 않는다.

   아니다. 그 도함수는 무한히 많은 점에서 영이 된다.

   증가하지만 엄격하게 증가하지는 않는다. 도함수가 모든 점에서 양수인 것은 아니기 때문이다.

   단조가 아니다. 코사인은 올라갔다 내려갔다 하기 때문이다.

5. 문제 5함수 $f$는 $\icc{0}{4}$에서 연속이고 $\ioo{0}{4}$의 각 점에서 미분가능하며(단, $1$은 제외), 그 도함수는 $3$에서만 영이 된다. $f(0) = 2$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 5$, $f(4) = 4$일 때, $\icc{0}{4}$에서의 최댓값과 최솟값은 무엇인가?

   최댓값은 $5$, 최솟값은 $-1$이다.

   최댓값은 $5$, 최솟값은 $2$이다.

   최댓값은 $4$, 최솟값은 $2$이다.

   $f$의 식이 없으면 알 수 없다.

6. 문제 6$f(x) = x^5 - 5x^4$의 변곡점은 무엇인가?

   $3$뿐이다.

   $0$과 $3$. 그곳에서 이계도함수가 영이 되기 때문이다.

   $0$과 $4$. 그곳에서 도함수가 영이 되기 때문이다.

   없다. $0$에서 삼계도함수가 영이 되기 때문이다.

7. 문제 7$f(x) = \frac{1}{x}$의 그래프의 점 $(1, 1)$에서의 접촉원은 무엇인가?

   중심이 $(2, 2)$, 반지름이 $\sqrt{2}$인 원.

   중심이 $(0, 0)$, 반지름이 $\sqrt{2}$인 원.

   중심이 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$, 반지름이 $\frac{\sqrt{2}}{2}$인 원.

   중심이 $\left(1, \frac{3}{2}\right)$, 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원.

8. 문제 8포물선 $y = x^2$ 위의 점 가운데 점 $(0, 2)$에 가장 가까운 것은 무엇인가?

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$과 $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   꼭짓점 $(0, 0)$.

   $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$뿐이다.

   없다. 포물선이 유계가 아니므로 거리가 최솟값을 갖지 않을 수 있다.

9. 문제 9함수 $f(x) = e^x - 3$은 $\mathbb{R}$에서 증가하고 아래로 볼록하며, 그 근은 $\ln 3$으로 $1.0986$에 가깝다. $x_0 = 0$에서 시작하면 뉴턴-랩슨 반복값은 어떻게 되는가?

   첫째 반복값은 근의 반대쪽인 $x_1 = 2$로 건너뛰고, 거기서부터 $\ln 3$을 넘지 않으면서 감소하며 가까워진다.

   근의 왼쪽에서 출발하므로 $\ln 3$을 넘지 않으면서 증가하며 가까워진다.

   수렴하지 않는다. $f(x_0) < 0$은 정리의 가정을 만족하지 않기 때문이다.

   근의 양쪽을 번갈아 오가며 점점 가까워진다.

10. 문제 10이전 단원에서함수 $f$는 $\icc{0}{1}$에서 연속이고 $f(0) = 1$, $f(1) = -1$이다. 무엇을 보장할 수 있는가?

    $\ioo{0}{1}$의 어떤 점에서 영이 된다.

    $\ioo{0}{1}$의 정확히 한 점에서 영이 된다.

    $\icc{0}{1}$에서 감소한다.

    $\frac{1}{2}$에서 영이 된다.

11. 문제 11이전 단원에서함수 $f$는 $a$를 포함하는 열린구간에서 정의되고, $f'(a) > 0$이다. 무엇을 보장할 수 있는가?

    어떤 $\delta > 0$이 존재하여 $f(x) < f(a)$(단, $a - \delta < x < a$)이고 $f(x) > f(a)$(단, $a < x < a + \delta$)이다.

    $f$는 $a$를 포함하는 어떤 열린구간에서 증가한다.

    $f(x) > f(a)$(구간의 모든 $x > a$에 대하여).

    $f'(x) > 0$(모든 $x$에 대하여, 단 $a$ 근처).

12. 문제 12이전 단원에서$f''(1)$을 구하여라. 단, $f(x) = x^2 \ln x$이다.

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. 문제 13이전 단원에서방정식 $x^2 + xy + y^2 = 3$은 점 $(1, 1)$ 근처에서 미분가능한 함수 $y(x)$를 정하며, $y(1) = 1$이다. $y'(1)$의 값은 얼마인가?

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. 문제 14이전 단원에서$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$을 구하여라.

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    존재하지 않는다. 몫이 $\frac{0}{0}$ 꼴이기 때문이다.