Applicazioni delle derivate: introduzione

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1. Domanda 1In quale di questi casi il teorema di Weierstrass garantisce che la funzione assume il suo valore massimo nell’insieme indicato?

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$ in $\icc{0}{2}$

   $f(x) = \arctan x$ in $\mathbb{R}$

   $f(x) = x^2$ in $\ico{0}{1}$

   La funzione che vale $x$ in $\ico{0}{1}$ e $0$ in $1$, nell’intervallo $\icc{0}{1}$

2. Domanda 2Una funzione $f$ è derivabile in $\mathbb{R}$, con $f(0) = 1$ e $\abs{f'(x)} \leq 2$ per ogni $x$. Che cosa si può garantire su $f(3)$?

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   Nulla, perché non si conosce la derivata in alcun punto.

3. Domanda 3Calcolare $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$.

   $0$

   Non esiste, perché il quoziente delle derivate non ha limite.

   Non esiste, perché $\sin\frac{1}{x}$ non ha limite per $x \to 0$.

   $1$

4. Domanda 4È strettamente crescente in $\mathbb{R}$ la funzione $f(x) = x + \cos x$?

   Sì: la sua derivata, $1 - \sin x$, non è negativa e non si annulla in tutti i punti di alcun intervallo aperto.

   No: la sua derivata si annulla in infiniti punti.

   È crescente, ma non strettamente, perché la sua derivata non è positiva in ogni punto.

   Non è monotona, perché il coseno sale e scende.

5. Domanda 5Una funzione $f$ è continua in $\icc{0}{4}$ e derivabile in ogni punto di $\ioo{0}{4}$ tranne che in $1$, e la sua derivata si annulla solo in $3$. Se $f(0) = 2$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 5$ e $f(4) = 4$, quali sono i suoi valori massimo e minimo assoluti in $\icc{0}{4}$?

   Il massimo è $5$ e il minimo $-1$.

   Il massimo è $5$ e il minimo $2$.

   Il massimo è $4$ e il minimo $2$.

   Non si può sapere senza la formula di $f$.

6. Domanda 6Quali sono i punti di flesso di $f(x) = x^5 - 5x^4$?

   Solo $3$.

   $0$ e $3$, perché in essi si annulla la derivata seconda.

   $0$ e $4$, perché in essi si annulla la derivata.

   Nessuno, perché la derivata terza si annulla in $0$.

7. Domanda 7Qual è la circonferenza osculatrice al grafico di $f(x) = \frac{1}{x}$ nel punto $(1, 1)$?

   Quella di centro $(2, 2)$ e raggio $\sqrt{2}$.

   Quella di centro $(0, 0)$ e raggio $\sqrt{2}$.

   Quella di centro $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ e raggio $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

   Quella di centro $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ e raggio $\frac{1}{2}$.

8. Domanda 8Quali sono i punti della parabola $y = x^2$ più vicini al punto $(0, 2)$?

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ e $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   Il vertice $(0, 0)$.

   Solo $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$.

   Nessuno: poiché la parabola non è limitata, la distanza può non assumere un minimo.

9. Domanda 9La funzione $f(x) = e^x - 3$ è crescente e convessa in $\mathbb{R}$, e la sua radice è $\ln 3$, vicina a $1{,}0986$. Che cosa fanno le iterate di Newton-Raphson dal punto iniziale $x_0 = 0$?

   La prima salta dall’altro lato della radice, in $x_1 = 2$, e da lì le iterate decrescono verso $\ln 3$ senza oltrepassarla.

   Crescono verso $\ln 3$ senza oltrepassarla, perché si trovano inizialmente alla sua sinistra.

   Non convergono, perché $f(x_0) < 0$ non soddisfa l’ipotesi del teorema.

   Si alternano da un lato e dall’altro della radice, sempre più vicine.

10. Domanda 10Dalle unità precedentiUna funzione $f$ è continua in $\icc{0}{1}$, con $f(0) = 1$ e $f(1) = -1$. Che cosa si può garantire?

    Che si annulla in qualche punto di $\ioo{0}{1}$.

    Che si annulla in esattamente un punto di $\ioo{0}{1}$.

    Che è decrescente in $\icc{0}{1}$.

    Che si annulla in $\frac{1}{2}$.

11. Domanda 11Dalle unità precedentiUna funzione $f$ è definita in un intervallo aperto che contiene $a$, e $f'(a) > 0$. Che cosa si può garantire?

    Che esiste un $\delta > 0$ tale che $f(x) < f(a)$ se $a - \delta < x < a$, e $f(x) > f(a)$ se $a < x < a + \delta$.

    Che $f$ è crescente in qualche intervallo aperto che contiene $a$.

    Che $f(x) > f(a)$ per ogni $x > a$ dell’intervallo.

    Che $f'(x) > 0$ per ogni $x$ vicino a $a$.

12. Domanda 12Dalle unità precedentiCalcolare $f''(1)$ per $f(x) = x^2 \ln x$.

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. Domanda 13Dalle unità precedentiL’equazione $x^2 + xy + y^2 = 3$ definisce vicino al punto $(1, 1)$ una funzione derivabile $y(x)$, con $y(1) = 1$. Quanto vale $y'(1)$?

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. Domanda 14Dalle unità precedentiCalcolare $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$.

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    Non esiste, perché il quoziente è della forma $\frac{0}{0}$.