अवकलज के अनुप्रयोग: परिचय

इकाई शुरू करने से पहले अपना आरंभ बिंदु मापें। यह एक छोटा स्व-मूल्यांकन है: इस पर अंक नहीं दिए जाते और इसका परिणाम केवल आपके ब्राउज़र में रहता है।

1. प्रश्न 1इनमें से किस स्थिति में वायरस्ट्रास प्रमेय सुनिश्चित करती है कि फलन दिए गए समुच्चय पर अपना उच्चिष्ठ मान प्राप्त करता है?

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$, $\icc{0}{2}$ पर

   $f(x) = \arctan x$, $\mathbb{R}$ पर

   $f(x) = x^2$, $\ico{0}{1}$ पर

   वह फलन जिसका मान $x$ है ($\ico{0}{1}$ पर) और $0$ ($1$ पर), अंतराल $\icc{0}{1}$ पर

2. प्रश्न 2एक फलन $f$, $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, जिसमें $f(0) = 1$ है और $\abs{f'(x)} \leq 2$ है, प्रत्येक $x$ के लिए। $f(3)$ के बारे में क्या सुनिश्चित किया जा सकता है?

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   कुछ नहीं, क्योंकि किसी भी बिंदु पर अवकलज ज्ञात नहीं है।

3. प्रश्न 3$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ ज्ञात कीजिए।

   $0$

   अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि अवकलजों के भागफल की कोई सीमा नहीं है।

   अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि $\sin\frac{1}{x}$ की कोई सीमा नहीं है जब $x \to 0$।

   $1$

4. प्रश्न 4क्या $\mathbb{R}$ पर फलन $f(x) = x + \cos x$ दृढ़तः वर्धमान है?

   हाँ: उसका अवकलज, $1 - \sin x$, ऋणात्मक नहीं है और किसी विवृत अंतराल के सभी बिंदुओं पर शून्य नहीं होता।

   नहीं: उसका अवकलज अनंत बिंदुओं पर शून्य होता है।

   वर्धमान है, पर दृढ़तः नहीं, क्योंकि उसका अवकलज हर बिंदु पर धनात्मक नहीं है।

   एकदिष्ट नहीं है, क्योंकि कोज्या चढ़ती और उतरती है।

5. प्रश्न 5एक फलन $f$, $\icc{0}{4}$ पर संतत है और $\ioo{0}{4}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, $1$ को छोड़कर, और उसका अवकलज केवल $3$ पर शून्य होता है। यदि $f(0) = 2$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$, $f(3) = 5$ और $f(4) = 4$, तो $\icc{0}{4}$ पर उसके निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ मान क्या हैं?

   उच्चिष्ठ $5$ है और निम्निष्ठ $-1$।

   उच्चिष्ठ $5$ है और निम्निष्ठ $2$।

   उच्चिष्ठ $4$ है और निम्निष्ठ $2$।

   $f$ के सूत्र के बिना नहीं जाना जा सकता।

6. प्रश्न 6$f(x) = x^5 - 5x^4$ के नति परिवर्तन बिंदु कौन-से हैं?

   केवल $3$।

   $0$ और $3$, क्योंकि उन पर द्वितीय अवकलज शून्य होता है।

   $0$ और $4$, क्योंकि उन पर अवकलज शून्य होता है।

   कोई नहीं, क्योंकि $0$ पर तृतीय अवकलज शून्य होता है।

7. प्रश्न 7$f(x) = \frac{1}{x}$ के आलेख का, बिंदु $(1, 1)$ पर, आश्लेषी वृत्त कौन-सा है?

   केंद्र $(2, 2)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाला वृत्त।

   केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाला वृत्त।

   केंद्र $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{\sqrt{2}}{2}$ वाला वृत्त।

   केंद्र $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{1}{2}$ वाला वृत्त।

8. प्रश्न 8परवलय $y = x^2$ के कौन-से बिंदु बिंदु $(0, 2)$ के सबसे निकट हैं?

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ और $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   शीर्ष $(0, 0)$।

   केवल $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$।

   कोई नहीं: चूँकि परवलय परिबद्ध नहीं है, दूरी शायद निम्निष्ठ प्राप्त न करे।

9. प्रश्न 9फलन $f(x) = e^x - 3$, $\mathbb{R}$ पर वर्धमान और ऊपर की ओर अवतल है, और उसका मूल $\ln 3$ है, जो $1.0986$ के निकट है। $x_0 = 0$ से आरंभ करने पर न्यूटन-रैफ़सन पुनरावृत्तियाँ क्या करती हैं?

   पहली पुनरावृत्ति मूल के दूसरी ओर, $x_1 = 2$ पर, कूद जाती है, और वहाँ से पुनरावृत्तियाँ $\ln 3$ की ओर उसे पार किए बिना घटती जाती हैं।

   वे $\ln 3$ की ओर उसे पार किए बिना बढ़ती हैं, क्योंकि वे उसके बाईं ओर से आरंभ होती हैं।

   अभिसरित नहीं होतीं, क्योंकि $f(x_0) < 0$ प्रमेय की परिकल्पना को पूरा नहीं करता।

   वे मूल के एक और दूसरी ओर बारी-बारी से आती हैं, हर बार अधिक निकट।

10. प्रश्न 10पिछली इकाइयों सेएक फलन $f$, $\icc{0}{1}$ पर संतत है, जिसमें $f(0) = 1$ और $f(1) = -1$ हैं। क्या सुनिश्चित किया जा सकता है?

    कि वह $\ioo{0}{1}$ के किसी बिंदु पर शून्य होता है।

    कि वह $\ioo{0}{1}$ के ठीक एक बिंदु पर शून्य होता है।

    कि वह $\icc{0}{1}$ पर ह्रासमान है।

    कि वह $\frac{1}{2}$ पर शून्य होता है।

11. प्रश्न 11पिछली इकाइयों सेएक फलन $f$ ऐसे विवृत अंतराल पर परिभाषित है जिसमें $a$ है, और $f'(a) > 0$। क्या सुनिश्चित किया जा सकता है?

    कि कोई $\delta > 0$ ऐसा है कि $f(x) < f(a)$ यदि $a - \delta < x < a$, और $f(x) > f(a)$ यदि $a < x < a + \delta$।

    कि $f$, $a$ को समाहित करने वाले किसी विवृत अंतराल में वर्धमान है।

    कि $f(x) > f(a)$, अंतराल के प्रत्येक $x > a$ के लिए।

    कि $f'(x) > 0$, प्रत्येक $x$ के लिए जो $a$ के निकट है।

12. प्रश्न 12पिछली इकाइयों से$f''(1)$ ज्ञात कीजिए, जहाँ $f(x) = x^2 \ln x$।

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. प्रश्न 13पिछली इकाइयों सेसमीकरण $x^2 + xy + y^2 = 3$ बिंदु $(1, 1)$ के निकट एक अवकलनीय फलन $y(x)$ परिभाषित करता है, जिसमें $y(1) = 1$ है। $y'(1)$ का मान क्या है?

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. प्रश्न 14पिछली इकाइयों से$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$ ज्ञात कीजिए।

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    अस्तित्व में नहीं है, क्योंकि भागफल $\frac{0}{0}$ रूप का है।