अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु

सारांश

यह पाठ अध्ययन करता है कि किसी फलन का आलेख कैसे मुड़ता है: यदि उसके दो बिंदुओं के बीच आलेख उन्हें मिलाने वाली जीवा के नीचे रहता है, तो फलन ऊपर की ओर अवतल है; यदि उसके ऊपर रहता है, तो नीचे की ओर अवतल। यह परिभाषा को जीवाओं की प्रवणताओं की तुलना में बदलता है और, माध्यमान प्रमेय तथा एकदिष्टता की सहायता से, सिद्ध करता है कि एक अवकलनीय फलन ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि उसका अवकलज वर्धमान है, यदि और केवल यदि उसका आलेख उसकी सभी स्पर्श रेखाओं के ऊपर रहता है, और यह कि एक दो बार अवकलनीय फलन ऐसा है यदि और केवल यदि उसका द्वितीय कोटि का अवकलज ऋणात्मक नहीं है। यह नति परिवर्तन बिंदुओं को परिभाषित करता है, जहाँ फलन ऊपर की ओर अवतल से नीचे की ओर अवतल में बदलता है, और उन्हें ज्ञात करने के परीक्षण देता है: द्वितीय कोटि के अवकलज का चिह्न परिवर्तन, आवश्यक प्रतिबंध $f''(a) = 0$ और तृतीय अवकलज परीक्षण, जो आलेख की तुलना उसकी स्पर्श रेखा से करता है, जैसे उच्च कोटि अवकलज परीक्षण ने उसकी तुलना क्षैतिज रेखा से की थी। ज्या की जीवाओं से यह जॉर्डन असमिका प्राप्त करता है, और येन्सेन असमिका से लघुगणक की नीचे की ओर अवतलता को किसी भी संख्या में दी गई संख्याओं के गुणोत्तर और समांतर माध्यों के बीच की असमिका में बदल देता है।

अधिगम उद्देश्य

ऊपर की ओर अवतल फलन और नीचे की ओर अवतल फलन को उनकी जीवाओं द्वारा परिमाणकों के साथ परिभाषित करना, ग्रंथों की दो परिपाटियों में भेद करना और परिभाषा को जीवाओं की प्रवणताओं की तुलना में बदलना।
सिद्ध करना कि एक अवकलनीय फलन ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि उसका अवकलज वर्धमान है और यदि और केवल यदि उसका आलेख उसकी स्पर्श रेखाओं के ऊपर रहता है, और द्वितीय कोटि के अवकलज से तय करना कि किन अंतरालों पर कोई फलन ऊपर की ओर अवतल है या नीचे की ओर अवतल।
द्वितीय कोटि के अवकलज के चिह्न परिवर्तन से और तृतीय कोटि के अवकलज से किसी फलन के नति परिवर्तन बिंदु ज्ञात करना, और उन बिंदुओं को पहचानना जिन पर द्वितीय कोटि का अवकलज शून्य है पर जो नति परिवर्तन बिंदु नहीं हैं।
अवतलता से असमिकाएँ सिद्ध करना: जीवाओं द्वारा जॉर्डन असमिका, येन्सेन असमिका और माध्यों के बीच की असमिका।

ऊपर की ओर अवतल और नीचे की ओर अवतल फलन

एकदिष्टता वाले पाठ ने अध्ययन किया कि कोई फलन चढ़ता है या उतरता है; यह पाठ अध्ययन करता है कि वह ऐसा कैसे करता है। फलन $x^2$ और $\sqrt{x}$ , $\ico{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान हैं, पर पहला ऊपर की ओर मुड़ता है और दूसरा नीचे की ओर: $x^2$ के आलेख के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड, अर्थात् उसकी जीवा, उनके बीच आलेख के चाप के ऊपर रहता है, और $\sqrt{x}$ का रेखाखंड उसके नीचे। यदि $t$ , $\icc{0}{1}$ में है, तो $(x, f(x))$ को $(y, f(y))$ से मिलाने वाली जीवा के उस बिंदु की, जिसका भुज $tx + (1 - t)y$ है, कोटि $t f(x) + (1 - t) f(y)$ है: कोटियों का वही भारित योग।

परिभाषाऊपर की ओर अवतल फलन और नीचे की ओर अवतल फलन

मान लीजिए $f$ एक अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन है। $f$ को $I$ पर ऊपर की ओर अवतल कहा जाता है यदि उसके आलेख का कोई भी बिंदु उस जीवा के ऊपर नहीं रहता जो आलेख के ऐसे दो बिंदुओं को मिलाती है जिनके भुजों के बीच उसका भुज है:

(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

और ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल यदि असमिका दृढ़ हो जब भी $x \neq y$ और $0 < t < 1$ । $f$ को $I$ पर नीचे की ओर अवतल (या नीचे की ओर दृढ़तः अवतल) कहा जाता है यदि $-f$ ऊपर की ओर अवतल (या ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल) है, अर्थात् यदि विपरीत असमिका सत्य है: आलेख का कोई भी बिंदु उन जीवाओं के नीचे नहीं रहता।

एक रैखिक फलन $mx + n$ एक साथ ऊपर की ओर अवतल और नीचे की ओर अवतल है: उसका आलेख अपनी जीवाओं से संपाती है। फलन $x^2$ , $\mathbb{R}$ पर ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल है, क्योंकि असमिका के दोनों पक्षों का अंतर $t(1 - t)(x - y)^2$ है, जो धनात्मक है यदि $x \neq y$ और $0 < t < 1$ । निरपेक्ष मान त्रिभुज असमिका $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$ के कारण ऊपर की ओर अवतल है, यद्यपि वह $0$ पर अवकलनीय नहीं है; वह ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल नहीं है, क्योंकि $\ico{0}{\infty}$ पर वह अपनी जीवाओं से संपाती है।

दो परिपाटियाँ। इस पाठ्यक्रम में “ऊपर की ओर अवतल” वह फलन है जिसका आलेख अपनी जीवाओं से ऊपर नहीं उठता, जैसे $x^2$ , और “नीचे की ओर अवतल” वह जिसका आलेख उनसे नीचे नहीं जाता, जैसे $\sqrt{x}$ । यह भारतीय विद्यालयी शिक्षा में प्रचलित रूप है; विश्लेषण और इष्टतमीकरण के अधिकांश ग्रंथ इन्हीं फलनों को क्रमशः “उत्तल फलन” और “अवतल फलन” कहते हैं, और यही उस तथ्य की परिपाटी है, ज्या की अवतलता, जिसे बीजगणित और ज्यामिति II के त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख वाले पाठ में बिना प्रमाण स्वीकार किया गया। परंतु अकेले “उत्तल” और “अवतल” का प्रयोग करने वाले कुछ ग्रंथ इन शब्दों को उलटे अर्थ में लेते हैं और $x^2$ को अवतल कहते हैं, क्योंकि वे आलेख को ऊपर से देखते हैं; और अंग्रेज़ी से आए कुछ ग्रंथ नीचे की ओर अवतल फलन को “ऊपर की ओर उत्तल” कहते हैं। इसीलिए यह पाठ्यक्रम “उत्तल” और “अवतल” का अकेले प्रयोग नहीं करता, और दिशा सदा साथ लिखता है। किसी नए ग्रंथ के सामने उसकी परिभाषा खोजना या यह देखना अच्छा है कि वह $x^2$ को क्या कहता है: असमिकाएँ नहीं बदलतीं, केवल नाम बदलते हैं।

परिभाषा आलेख के एक बिंदु की तुलना एक जीवा से करती है। यदि $x < z < y$ , तो $(z, f(z))$ की तुलना $x$ से $y$ तक की जीवा से करना तीन जीवाओं की प्रवणताओं की तुलना करने के तुल्य है: ऊपर की ओर अवतल फलन के आलेख पर बाएँ से दाएँ चलने पर जीवाएँ अधिक खड़ी होती जाती हैं। चित्र इसे $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0.3x + 0.6$ के साथ दिखाता है।

उपप्रमेयजीवाओं की प्रवणताएँ

मान लीजिए $f$ एक अंतराल $I$ पर परिभाषित फलन है, और मान लीजिए $S(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u}$ उस जीवा की प्रवणता है जो दो अलग भुजों $u$ और $v$ (जो $I$ के हों) के बीच है। यदि $x < z < y$ , $I$ के बिंदु हैं, तो निम्नलिखित असमिकाओं में से प्रत्येक

S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

इसके तुल्य है कि बिंदु $(z, f(z))$ , $(x, f(x))$ को $(y, f(y))$ से मिलाने वाली जीवा के ऊपर न रहे, और दृढ़ असमिकाओं में से प्रत्येक इसके तुल्य है कि वह जीवा के दृढ़तः नीचे रहे। फलतः $f$ , $I$ पर ऊपर की ओर अवतल है यदि और केवल यदि तीनों असमिकाएँ सभी $x < z < y$ के लिए (जो $I$ में हों) सत्य हैं, और ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल यदि और केवल यदि वे दृढ़ रूप में सत्य हैं।

प्रमाण

$f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}$
मान लीजिए $t = \frac{y - z}{y - x}$ , जो $\ioo{0}{1}$ में है; तब $1 - t = \frac{z - x}{y - x}$ और $z = tx + (1 - t)y$ । जीवा के भुज $z$ वाले बिंदु की कोटि $t f(x) + (1 - t) f(y)$ है, और तुलना, $y - x > 0$ से गुणा करने पर, भिन्नों के बिना लिखी जाती है:
$(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}$
दोनों पक्षों से $(y - x) f(x)$ घटाया जाता है; क्योंकि $y - x = (y - z) + (z - x)$ , दायाँ पक्ष $(z - x)\left(f(y) - f(x)\right)$ हो जाता है, और $(z - x)(y - x) > 0$ से भाग देना पर्याप्त है। इसी प्रकार, $(y - x) f(y)$ घटाकर और $(y - z)(y - x) > 0$ से भाग देकर दूसरी असमिका प्राप्त होती है।
$S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}$
$x$ से $y$ तक की वृद्धि $x$ से $z$ तक और $z$ से $y$ तक की वृद्धियों का योग है: लंबी जीवा की प्रवणता छोटी जीवाओं की प्रवणताओं का एक औसत है, धनात्मक भारों के साथ जिनका योग $1$ है, और $S(x, z)$ से उसके अंतर का चिह्न $S(z, y) - S(x, z)$ का चिह्न है। इसलिए तीनों असमिकाएँ तुल्य हैं, और दृढ़ असमिकाएँ भी। परिभाषा के लिए, यदि $x = y$ , या यदि $t$ का मान $0$ या $1$ हो, तो असमिका समता के साथ सत्य है, और यदि $x > y$ , तो $x$ और $y$ की भूमिकाएँ तथा $t$ और $1 - t$ की भूमिकाएँ आपस में बदल दी जाती हैं।

इस पाठ के शेष भाग में

ऊपर की ओर अवतलता और अवकलज
नति परिवर्तन बिंदु
येन्सेन असमिका
हल किए गए प्रश्न
जीवाओं द्वारा जॉर्डन असमिका
मिलने वाले दो नति परिवर्तन बिंदु
त्रिघात फलन का सममिति केंद्र
अधिकतम परिमाप वाला अंतर्लिखित त्रिभुज
जहाँ अवकलज नहीं है वहाँ ऊपर की ओर अवतलता
अभ्यास प्रश्न
घनमूल की तीन घातें
हरात्मक, गुणोत्तर और समांतर माध्य
ऊपर की ओर अवतल और ऊपर से परिबद्ध फलन
एक घंटाकार वक्र के नति परिवर्तन बिंदु
एक ही रेखा पर तीन नति परिवर्तन बिंदु

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