किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ

निरपेक्ष, स्थानीय और दृढ़ चरम

वायरस्ट्रास की प्रमेय वाले पाठ ने किसी समुच्चय पर फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ को परिभाषित किया, और फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय वाले पाठ ने स्थानीय चरमों को, जो किसी बिंदु पर मान की तुलना केवल निकट के मानों से करते हैं। अब पहले वालों को ऐसा नाम देना उचित है जो उन्हें दूसरों से अलग करे, और यह स्पष्ट करना कि कब बिंदु पर मान उन सभी अन्य मानों से बड़ा होता है जिनसे उसकी तुलना की जाती है, न कि केवल बड़ा या बराबर।

निरपेक्ष चरमों को वैश्विक भी कहा जाता है, और स्थानीय चरमों को सापेक्ष। प्रत्येक निरपेक्ष चरम स्थानीय है, किसी भी $\delta$ के साथ, और प्रत्येक दृढ़ चरम एक चरम है; विलोम असत्य हैं। फलन $x^3 - 3x$, $-1$ पर एक स्थानीय उच्चिष्ठ प्राप्त करता है जो निरपेक्ष नहीं है, जैसा फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय वाले पाठ में देखा गया। कोज्या $\mathbb{R}$ में अपना निरपेक्ष उच्चिष्ठ $2\pi$ के प्रत्येक गुणज पर प्राप्त करता है; इनमें से कोई उच्चिष्ठ दृढ़ निरपेक्ष नहीं है, क्योंकि मान $1$ दोहराया जाता है, और प्रत्येक दृढ़ स्थानीय है, क्योंकि $\cos x < 1$ यदि $0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi$। अचर फलन प्रत्येक बिंदु पर निरपेक्ष उच्चिष्ठ और निरपेक्ष निम्निष्ठ प्राप्त करता है, और कोई भी दृढ़ नहीं है। व्यापक रूप से, यदि $f$, $x_0$ पर एक साथ स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ प्राप्त करता है, तो वह $x_0$ के निकट अचर है। निरपेक्ष उच्चिष्ठ मान, यदि विद्यमान हो, अद्वितीय है; दृढ़ निरपेक्ष उच्चिष्ठ, इसके अतिरिक्त, केवल एक बिंदु पर प्राप्त होता है।

चरम प्रांत पर निर्भर करते हैं। यदि $f$, $x_0$ पर कोई चरम प्राप्त करता है और $B$, $A$ का एक उपसमुच्चय है जिसमें $x_0$ है, तो $f$ का $B$ पर प्रतिबंध भी उसे प्राप्त करता है, क्योंकि उसकी तुलना कम मानों से होती है; विलोम असत्य है: $x^2$, $\icc{1}{2}$ में अपना निरपेक्ष निम्निष्ठ $1$ पर प्राप्त करता है, और $\mathbb{R}$ में उसका $1$ पर कोई चरम नहीं है।