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Topos Uranos
Français

Maxima et minima d’une fonction

Résumé

Cette leçon réunit les résultats des leçons qui précèdent en une méthode pour trouver les extremums d’une fonction. Elle appelle globaux le maximum et le minimum d’une fonction sur son ensemble de définition, pour les distinguer des extremums locaux, et définit les extremums stricts. Elle démontre ensuite deux critères qui décident si un point où la dérivée est nulle est un extremum local sans étudier le signe de la dérivée autour de lui : le critère de la dérivée seconde, qui découle du critère de la dérivée première, et le critère des dérivées successives, qui découle de la règle de L’Hôpital : si la première dérivée qui ne s’annule pas au point est d’ordre pair, il y a un extremum, et si elle est d’ordre impair, il n’y en a pas. La seconde moitié traite des extremums globaux. Sur un intervalle fermé et borné, ils existent, par le théorème de Weierstrass, et le théorème de Fermat les confine à une liste de candidats, les extrémités de l’intervalle et les points critiques, entre lesquels il suffit de comparer des valeurs. Sur un intervalle ouvert ou non borné, ils peuvent ne pas exister, et on en décide avec la monotonie ou avec les limites aux extrémités de l’intervalle ; en particulier, si une fonction continue sur un intervalle a un unique point critique et y atteint un extremum local, cet extremum est global.

Objectifs d’apprentissage

  1. Distinguer à l’aide de quantificateurs les extremums globaux des extremums locaux, et les extremums stricts de ceux qui ne le sont pas, et reconnaître chaque cas sur des exemples.
  2. Démontrer le critère de la dérivée seconde et celui des dérivées successives, et décider avec eux si un point où la dérivée est nulle est un maximum local, un minimum local ou ni l’un ni l’autre, même lorsque la dérivée seconde s’annule.
  3. Trouver les extremums globaux d’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné en comparant ses valeurs aux extrémités de l’intervalle et aux points critiques.
  4. Décider si une fonction atteint ses extremums globaux sur un intervalle ouvert ou non borné, avec la monotonie, avec un unique point critique ou avec les limites aux extrémités de l’intervalle.

Extremums globaux, locaux et stricts

La leçon sur le théorème de Weierstrass a défini le maximum et le minimum d’une fonction sur un ensemble, et la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy, les extremums locaux, qui ne comparent la valeur en un point qu’avec les valeurs voisines. Il convient maintenant de donner aux premiers un nom qui les distingue des seconds, et de préciser quand la valeur au point est strictement supérieure à toutes les autres valeurs auxquelles on la compare, et pas seulement supérieure ou égale.

DéfinitionExtremums globaux et extremums stricts

Soient ff une fonction définie sur un ensemble AA et x0x_0 un élément de AA. On dit que ff atteint en x0x_0 un maximum global si elle atteint en x0x_0 son maximum sur AA, et un minimum global si elle atteint en x0x_0 son minimum sur AA, au sens de la leçon sur le théorème de Weierstrass ; un extremum global est un maximum ou un minimum global. Un maximum global ou local est strict si f(x0)f(x_0) est strictement supérieur à chacune des autres valeurs auxquelles on le compare :

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

La première formule définit le maximum global strict, et la seconde, le maximum local strict ; les minimums stricts se définissent de la même façon, avec f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Les extremums globaux s’appellent aussi absolus, et les extremums locaux, relatifs. Tout extremum global est local, avec n’importe quel δ\delta, et tout extremum strict est un extremum ; les implications dans l’autre sens sont fausses. La fonction x3−3xx^3 - 3x atteint en −1-1 un maximum local qui n’est pas global, comme on l’a vu dans la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy. Le cosinus atteint son maximum global sur R\mathbb{R} en chaque multiple de 2π2\pi ; aucun de ces maximums n’est un maximum global strict, parce que la valeur 11 se répète, et chacun est un maximum local strict, parce que cos⁡x<1\cos x < 1 si 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Une fonction constante atteint en chaque point un maximum et un minimum globaux, et aucun n’est strict. En général, si ff atteint en x0x_0 à la fois un maximum et un minimum local, elle est constante près de x0x_0. La valeur maximale globale, si elle existe, est unique ; un maximum global strict, de plus, est atteint en un seul point.

Les extremums dépendent de l’ensemble de définition. Si ff atteint un extremum en x0x_0 et si BB est un sous-ensemble de AA qui contient x0x_0, la restriction de ff à BB l’atteint aussi, parce qu’on la compare avec moins de valeurs ; l’implication dans l’autre sens est fausse : x2x^2 atteint sur [1,2]\icc{1}{2} son minimum global en 11, et sur R\mathbb{R} elle n’a en 11 aucun extremum.