Aller au contenu
Topos Uranos
Français

Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass

Résumé

Cette leçon ouvre le passage du ponctuel au global. La continuité en un point ne contrôle la fonction qu’au voisinage de ce point ; le théorème de Weierstrass affirme que, si la fonction est continue en tous les points d’un intervalle fermé et borné, elle est bornée sur tout l’intervalle et y atteint une valeur maximale et une valeur minimale. Les deux affirmations se démontrent avec l’axiome de la borne supérieure, au moyen de la borne supérieure, comme le théorème de Bolzano : le caractère borné, avec la borne supérieure des points jusqu’auxquels la fonction est bornée et le caractère localement borné de la leçon sur la limite et la continuité ; l’existence du maximum, avec la borne supérieure des valeurs et une fonction auxiliaire qui serait continue et non bornée si cette borne supérieure n’était pas atteinte. La leçon montre par des contre-exemples qu’aucune hypothèse ne peut être supprimée, en déduit que l’image d’un intervalle fermé et borné est un autre intervalle du même type et que, si la fonction prend la même valeur aux extrémités, l’un de ses extremums est atteint à l’intérieur, et applique le théorème à des fonctions strictement positives, périodiques et définies sur toute la droite.

Objectifs d’apprentissage

  1. Distinguer la borne supérieure des valeurs d’une fonction de sa valeur maximale, et exprimer avec des quantificateurs qu’une fonction atteint son maximum ou son minimum sur un ensemble.
  2. Démontrer avec l’axiome de la borne supérieure qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est bornée et atteint son maximum et son minimum.
  3. Montrer par des contre-exemples que le théorème est en défaut si l’intervalle n’est pas fermé, s’il n’est pas borné ou si la fonction n’est pas continue, et reconnaître que ses hypothèses sont suffisantes, non nécessaires.
  4. Utiliser le théorème, avec celui des valeurs intermédiaires et les limites à l’infini, pour trouver l’image d’un intervalle fermé et borné et pour prouver qu’une fonction atteint ses extremums sur des domaines qui ne sont pas des intervalles fermés et bornés.

Maximum, minimum et borne supérieure d’une fonction

Les deux unités qui précèdent ont étudié les fonctions en un point : la limite, la continuité et la dérivée décrivent ce qui se passe au voisinage de aa. Beaucoup de questions, en revanche, portent sur tout un ensemble : quelle est la plus grande valeur que prend une fonction sur un intervalle, s’il en existe une, ou en quel point elle est atteinte. La fonction xx sur (0,1)\ioo{0}{1} n’a pas de valeur plus grande que toutes les autres : pour chaque xx de l’intervalle, le nombre x+12\frac{x + 1}{2} y est aussi, et il est plus grand. Ses valeurs s’approchent de 11 sans l’atteindre. Il convient donc de séparer deux notions : le plus petit majorant des valeurs, qui existe dès que les valeurs sont bornées, et la valeur maximale, qui est une valeur de la fonction.

DéfinitionFonction bornée ; maximum et minimum d’une fonction sur un ensemble

Soient ff une fonction définie sur un ensemble AA et SS une partie non vide de AA. On dit que ff est majorée sur SS s’il existe un nombre KK tel que f(x)≤Kf(x) \leq K pour tout xx de SS ; minorée, s’il existe KK tel que f(x)≥Kf(x) \geq K pour tout xx de SS ; et bornée, si elle l’est des deux façons, c’est-à-dire s’il existe KK tel que ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K pour tout xx de SS. On dit que ff atteint son maximum sur SS en un point x0x_0 de SS si la valeur f(x0)f(x_0) n’est dépassée par aucune autre valeur de ff sur SS, et qu’elle atteint son minimum en x0x_0 s’il n’y a pas sur SS de valeur plus petite :

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Le nombre f(x0)f(x_0) est la valeur maximale (ou la valeur minimale) de ff sur SS, et on écrit max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (ou min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)) ; le point x0x_0 est un point de maximum (ou de minimum).

La valeur maximale, si elle existe, est unique, car deux valeurs maximales seraient chacune supérieure ou égale à l’autre ; le point de maximum peut ne pas l’être : le cosinus atteint son maximum 11 sur [0,4π]\icc{0}{4\pi} en trois points, 00, 2π2\pi et 4π4\pi. La leçon sur les maxima et minima appellera ces extremums globaux, pour les distinguer des extremums locaux, qui ne comparent f(x0)f(x_0) qu’aux valeurs voisines.

Si ff est majorée sur SS, l’ensemble de ses valeurs, f(S)f(S), n’est pas vide et est majoré ; d’après l’axiome de la borne supérieure, rappelé dans la leçon sur la droite réelle, il a une borne supérieure, que l’on note sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). La relation entre les deux notions est simple : ff atteint son maximum sur SS si et seulement si la borne supérieure de ses valeurs est l’une d’elles, et alors les deux coïncident. En effet, si f(x0)f(x_0) est la valeur maximale, c’est un majorant de f(S)f(S) qui appartient à f(S)f(S), et aucun nombre plus petit ne peut être un majorant ; réciproquement, si la borne supérieure est une valeur f(x0)f(x_0), aucune valeur ne la dépasse. La fonction xx sur (0,1)\ioo{0}{1} est bornée, sa borne supérieure est 11 et elle ne l’atteint pas ; sa borne inférieure est 00 et elle ne l’atteint pas non plus. Le théorème de Weierstrass donne des conditions sous lesquelles cela n’arrive pas.