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Topos Uranos
Français

Concavité, convexité et points d’inflexion

Résumé

Cette leçon étudie comment s’incurve la courbe d’une fonction : si, entre deux de ses points, elle reste sous la corde qui les joint, la fonction est convexe ; si elle reste au-dessus, concave. Elle traduit la définition en une comparaison des pentes des cordes et, avec le théorème des accroissements finis et la monotonie, démontre qu’une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante, si et seulement si sa courbe reste au-dessus de toutes ses tangentes, et qu’une fonction deux fois dérivable l’est si et seulement si sa dérivée seconde est positive ou nulle. Elle définit les points d’inflexion, où la fonction passe de convexe à concave, et donne les critères pour les trouver : le changement de signe de la dérivée seconde, la condition nécessaire f′′(a)=0f''(a) = 0 et le critère de la dérivée troisième, qui compare la courbe à sa tangente comme le critère des dérivées successives l’a comparée à la droite horizontale. Avec les cordes du sinus, elle obtient l’inégalité de Jordan, et avec l’inégalité de Jensen, elle convertit la concavité du logarithme en l’inégalité entre les moyennes géométrique et arithmétique d’un nombre quelconque de nombres.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir avec des quantificateurs la fonction convexe et la fonction concave par leurs cordes, distinguer les deux conventions des manuels et traduire la définition en la comparaison des pentes des cordes.
  2. Démontrer qu’une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante et si et seulement si sa courbe reste au-dessus de ses tangentes, et décider avec la dérivée seconde sur quels intervalles une fonction est convexe ou concave.
  3. Trouver les points d’inflexion d’une fonction avec le changement de signe de la dérivée seconde et avec la dérivée troisième, et reconnaître les points de dérivée seconde nulle qui n’en sont pas.
  4. Démontrer des inégalités par la convexité : celle de Jordan par les cordes, celle de Jensen et celle des moyennes.

Fonctions convexes et concaves

La leçon sur la monotonie a étudié si une fonction monte ou descend ; celle-ci étudie comment elle le fait. Les fonctions x2x^2 et x\sqrt{x} sont strictement croissantes sur [0,∞)\ico{0}{\infty}, mais la première s’incurve vers le haut et la seconde vers le bas : le segment qui joint deux points de la courbe de x2x^2, sa corde, reste au-dessus de l’arc de la courbe compris entre eux, et celui de x\sqrt{x}, au-dessous. Si tt est dans [0,1]\icc{0}{1}, le point de la corde joignant (x,f(x))(x, f(x)) à (y,f(y))(y, f(y)) dont l’abscisse est tx+(1−t)ytx + (1 - t)y a pour ordonnée tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y) : la même combinaison des ordonnées.

DéfinitionFonction convexe et fonction concave

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. On dit que ff est convexe sur II si aucun point de sa courbe ne se trouve au-dessus de la corde qui joint deux points de la courbe dont les abscisses encadrent la sienne :

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

et strictement convexe si l’inégalité est stricte dès que x≠yx \neq y et 0<t<10 < t < 1. On dit que ff est concave (ou strictement concave) sur II si −f-f est convexe (ou strictement convexe), c’est-à-dire si l’inégalité opposée est vraie : aucun point de la courbe ne se trouve sous ces cordes.

Une fonction affine mx+nmx + n est à la fois convexe et concave : sa courbe coïncide avec ses cordes. La fonction x2x^2 est strictement convexe sur R\mathbb{R}, car la différence entre les deux membres de l’inégalité est t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2, strictement positive si x≠yx \neq y et 0<t<10 < t < 1. La valeur absolue est convexe, par l’inégalité triangulaire, ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}, bien qu’elle ne soit pas dérivable en 00 ; elle n’est pas strictement convexe, car sur [0,∞)\ico{0}{\infty} elle coïncide avec ses cordes.

Deux conventions. Dans ce cours, « convexe » désigne la fonction dont la courbe ne monte pas au-dessus de ses cordes, comme x2x^2, et « concave » celle qui ne descend pas au-dessous, comme x\sqrt{x}. C’est la convention de la plupart des manuels d’analyse et d’optimisation, et celle du fait admis de la concavité du sinus, dans la leçon sur les fonctions trigonométriques et leurs courbes, d’Algèbre et géométrie II. D’autres textes emploient les mots dans l’autre sens, et appellent concave x2x^2, parce qu’ils regardent la courbe d’en haut ; d’autres disent « à concavité tournée vers le haut » pour convexe et « à concavité tournée vers le bas » pour concave. Devant un texte nouveau, il convient de chercher sa définition ou de regarder comment il appelle x2x^2 : les inégalités ne changent pas, seulement les noms.

La définition compare un point de la courbe à une corde. Si x<z<yx < z < y, comparer (z,f(z))(z, f(z)) à la corde de xx à yy équivaut à comparer les pentes de trois cordes : quand on parcourt de gauche à droite la courbe d’une fonction convexe, les cordes se redressent. La figure le montre avec f(x)=x24−0,3x+0,6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6.

LemmeLes pentes des cordes

Soit ff une fonction définie sur un intervalle II, et soit S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} la pente de la corde entre deux abscisses distinctes uu et vv de II. Si x<z<yx < z < y sont des points de II, chacune des inégalités

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

équivaut à ce que le point (z,f(z))(z, f(z)) ne se trouve pas au-dessus de la corde qui joint (x,f(x))(x, f(x)) à (y,f(y))(y, f(y)), et chacune des inégalités strictes, à ce qu’il se trouve strictement au-dessous. Par conséquent, ff est convexe sur II si et seulement si les trois inégalités sont vraies pour tous les x<z<yx < z < y de II, et strictement convexe si et seulement si elles sont vraies au sens strict.

Démonstration

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    Posons t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x}, qui appartient à (0,1)\ioo{0}{1} ; alors 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} et z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y. Le point de la corde d’abscisse zz a pour ordonnée tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y), et la comparaison, multipliée par y−x>0y - x > 0, s’écrit sans fractions :

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    Retranchons (y−x)f(x)(y - x) f(x) aux deux membres ; comme y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x), le second membre devient (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right), et il suffit de diviser par (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0. De même, en retranchant (y−x)f(y)(y - x) f(y) et en divisant par (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0, nous obtenons la deuxième inégalité.

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    L’accroissement de xx à yy est la somme des accroissements de xx à zz et de zz à yy : la pente de la grande corde est une moyenne de celles des petites, avec des poids strictement positifs de somme 11, et sa différence avec S(x,z)S(x, z) a le signe de S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z). C’est pourquoi les trois inégalités sont équivalentes, et de même les inégalités strictes. Pour la définition, si x=yx = y, ou si tt vaut 00 ou 11, l’inégalité est une égalité, et si x>yx > y nous échangeons les rôles de xx et yy et ceux de tt et 1−t1 - t.