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Topos Uranos
Français

Courbure et rayon de courbure

Résumé

Cette leçon mesure à quel point la courbe d’une fonction s’incurve en un point. La tangente est la droite qui a au point la même valeur et la même dérivée que la fonction ; le cercle osculateur est celui qui a, en outre, la même dérivée seconde. En dérivant deux fois l’équation d’un cercle, on obtient qu’en chacun de ses points une combinaison de la dérivée première et de la dérivée seconde vaut exactement son rayon ; avec cela, la leçon démontre que, si la dérivée seconde de la fonction ne s’annule pas, le cercle osculateur existe et est unique, et donne son centre et son rayon, le rayon de courbure. Son inverse est la courbure, qui s’annule là où s’annule la dérivée seconde. Elle démontre ensuite que le centre de courbure est la limite des points où se coupent des normales voisines, comme l’a vu Huygens, et que la courbure ne change pas quand on échange les axes, ce qui permet de la mesurer là où la tangente est verticale. Les problèmes décident si le cercle osculateur traverse la courbe, trouvent le point de courbure maximale de l’exponentielle, les points de courbure maximale et minimale d’une ellipse et le rayon de courbure de la chaînette, et étudient le saut de courbure entre une droite et un arc.

Objectifs d’apprentissage

  1. Définir le cercle osculateur à la courbe d’une fonction en un point, démontrer qu’il existe et est unique quand la dérivée seconde ne s’annule pas, et calculer son centre et son rayon.
  2. Calculer la courbure et le rayon de courbure d’une courbe en un point, interpréter la courbure nulle et trouver les points de courbure maximale ou minimale d’une courbe.
  3. Obtenir le centre de courbure comme limite des intersections des normales, et mesurer la courbure là où la tangente est verticale en échangeant les rôles des axes.
  4. Décider, avec le critère des dérivées successives, si le cercle osculateur traverse la courbe ou reste d’un seul côté de celle-ci.

Le cercle osculateur

La tangente à la courbe de ff en (a,f(a))(a, f(a)) est la droite qui a en aa la même valeur et la même dérivée que ff. La leçon sur concavité, convexité et points d’inflexion a montré que, si f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, la courbe reste près de aa d’un seul côté de sa tangente : au-dessus d’elle si f′′(a)>0f''(a) > 0 et au-dessous d’elle si f′′(a)<0f''(a) < 0. Mais elle n’a pas dit de combien elle s’en écarte, c’est-à-dire à quel point elle s’incurve. Pour le mesurer, il convient de la comparer aux courbes qui s’incurvent toujours de la même façon, les cercles : un petit cercle s’incurve beaucoup, et un grand, peu. Un cercle n’est pas la courbe d’une fonction, car chaque droite verticale qui passe par son intérieur le coupe deux fois ; mais chacune de ses deux moitiés, sans ses extrémités, l’est.

LemmeLes dérivées d’un demi-cercle

Soient (h,k)(h, k) un point du plan, r>0r > 0, σ\sigma égal à 11 ou à −1-1, et u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} pour xx dans (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, dont la courbe est le demi-cercle supérieur si σ=1\sigma = 1, ou l’inférieur si σ=−1\sigma = -1, de centre (h,k)(h, k) et de rayon rr, sans ses extrémités. Alors uu, u′u' et u′′u'' sont dérivables sur (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, u(x)≠ku(x) \neq k, et en chaque point xx de l’intervalle :

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Par conséquent, u′′(x)u''(x) ne s’annule pas et a le signe de −σ-\sigma, de sorte que le demi-cercle inférieur est strictement convexe et le supérieur strictement concave, et en tous ses points :

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Démonstration

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Si xx est dans l’intervalle, r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, de sorte que u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} ne s’annule pas, et uu est dérivable d’après le corollaire des dérivées des composées usuelles, de la leçon sur la règle de dérivation en chaîne. En élevant au carré, la courbe de uu se trouve sur le cercle :

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    Les deux membres sont la même fonction de xx sur l’intervalle, et leurs dérivées coïncident : c’est la dérivation implicite de la leçon sur la dérivée de la fonction réciproque et la dérivation implicite, appliquée à une fonction que l’on sait déjà dérivable. En isolant, u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} est un quotient de fonctions dérivables à dénominateur non nul, dérivable d’après la règle du quotient, de la leçon sur les règles de dérivation ; en dérivant encore une fois, on obtient la seconde égalité, d’où u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} est aussi un quotient de fonctions dérivables.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Comme 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0, la dérivée seconde ne s’annule pas et a le signe opposé à celui de u(x)−ku(x) - k, qui est celui de σ\sigma ; le corollaire de la convexité et de la dérivée seconde donne la convexité stricte ou la concavité stricte. D’après la première égalité, 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 est la somme de (x−h)2(x - h)^2 et de (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, qui vaut r2r^2, divisée par (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

Sur un cercle, la pente de la tangente et la dérivée seconde changent d’un point à l’autre, mais la combinaison du lemme ne change pas : elle vaut toujours le rayon. Cela suggère de mesurer avec elle à quel point s’incurve une courbe quelconque. Auparavant, il convient de trouver le cercle qui s’ajuste le mieux à la courbe en un point, celui qui coïncide avec elle jusqu’à la dérivée seconde.

DéfinitionCercle osculateur

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle ouvert II et deux fois dérivable en un point aa de II. Un cercle de centre (h,k)(h, k) et de rayon r>0r > 0 est osculateur à la courbe de ff en (a,f(a))(a, f(a)) s’il passe par ce point sans que celui-ci soit son point le plus à gauche ni le plus à droite, c’est-à-dire si (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 et f(a)≠kf(a) \neq k, et si le demi-cercle qui le contient, la courbe de la fonction uu du lemme avec σ\sigma égal au signe de f(a)−kf(a) - k, a en aa la même valeur, la même dérivée et la même dérivée seconde que ff :

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Son centre s’appelle le centre de courbure de la courbe en ce point.

La droite tangente vérifie les deux premières égalités ; le cercle osculateur, aussi la troisième. Le nom vient du latin osculari, donner un baiser : le cercle ne se contente pas de toucher la courbe, comme les autres cercles tangents, il s’incurve comme elle. La figure montre, avec f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 et a=1,2a = 1{,}2, trois cercles tangents à la courbe et, parmi eux, le cercle osculateur.

ThéorèmeExistence et unicité du cercle osculateur

Soient ff une fonction dérivable sur un intervalle ouvert II et deux fois dérivable en un point aa de II, et soient m=f′(a)m = f'(a) et q=f′′(a)q = f''(a). Si q≠0q \neq 0, la courbe de ff a en (a,f(a))(a, f(a)) exactement un cercle osculateur, de centre (h,k)(h, k) et de rayon ρ\rho :

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Son centre est sur la normale à la courbe au point, au-dessus du point si q>0q > 0 et au-dessous si q<0q < 0. Si q=0q = 0, la courbe n’a pas de cercle osculateur en (a,f(a))(a, f(a)).

Démonstration

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Supposons qu’un cercle de centre (h,k)(h, k) et de rayon rr soit osculateur, avec son demi-cercle uu. La première égalité du lemme, en x=ax = a, avec u(a)=f(a)u(a) = f(a) et u′(a)=mu'(a) = m, dit que le centre vérifie l’équation de la normale à la courbe au point, selon la définition de la tangente et de la normale de la leçon sur la dérivée comme limite, aussi bien si m≠0m \neq 0 que si la normale est verticale.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    La seconde égalité du lemme, en x=ax = a, avec u′′(a)=qu''(a) = q, est impossible si q=0q = 0, car 1+m2>01 + m^2 > 0 : il n’y a pas de cercle osculateur. Si q≠0q \neq 0, elle détermine f(a)−kf(a) - k ; la première égalité donne alors a−ha - h, et l’équation du cercle, le rayon. Par conséquent, il y a au plus un cercle osculateur, et son centre et son rayon sont ceux de l’énoncé.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Réciproquement, soient hh, kk et ρ\rho ceux de l’énoncé. Le cercle de centre (h,k)(h, k) et de rayon ρ\rho passe par (a,f(a))(a, f(a)), d’après le calcul ci-dessus, et f(a)−kf(a) - k ne s’annule pas et a le signe de −q-q, de sorte que σ=−1\sigma = -1 si q>0q > 0, et le centre est au-dessus du point, et σ=1\sigma = 1 si q<0q < 0. La fonction uu du lemme vérifie u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), et les deux égalités du lemme, en x=ax = a, donnent ses dérivées : le cercle est osculateur.

Si q>0q > 0, le cercle osculateur repose sur la courbe par-dessus avec son demi-cercle inférieur, qui est convexe ; si q<0q < 0, avec le supérieur, qui est concave. Dans les deux cas, la proposition de la courbe et sa tangente, de la leçon sur la concavité et la convexité, avec n=2n = 2, appliquée à ff et à uu, qui ont la même tangente et des dérivées secondes de même signe, place la courbe et le cercle, près de aa, du même côté de cette tangente. Si f′′(a)=0f''(a) = 0, aucun cercle ne convient, car la dérivée seconde d’un demi-cercle ne s’annule jamais ; la droite tangente, dont la dérivée seconde est nulle, vérifie les trois égalités, et joue le rôle d’un cercle de rayon infini.