Problèmes d’optimisation

Résumé

Cette leçon résout des problèmes où il faut trouver la meilleure de nombreuses configurations possibles : le rectangle d’aire maximale, le cylindre de surface minimale, le chemin le plus court ou le plus rapide. Les leçons qui précèdent ont fourni les outils pour trouver les extremums globaux d’une fonction donnée ; ici la fonction n’est pas donnée, et l’essentiel du travail, et des erreurs, consiste à la construire. La leçon fixe une méthode en cinq temps (la variable, la fonction, l’ensemble de définition, les extremums globaux avec leur justification et la conclusion) et démontre qu’une fonction et sa composée avec une fonction strictement croissante atteignent leurs extremums aux mêmes points, ce qui permet, par exemple, de minimiser le carré d’une distance au lieu de la distance. Elle démontre ensuite que tout point admet un point le plus proche sur la courbe d’une fonction continue sur un intervalle fermé, et que, si celui-ci n’est pas au bord, le point donné est sur la normale ; et elle déduit du principe du temps minimal les lois de la réfraction, celle de Snell-Descartes, et de la réflexion, celle de Héron. Les problèmes trouvent la boîte de volume maximal, le cylindre de surface minimale, la barre la plus longue qui passe un angle de couloir, l’endroit d’où l’on voit un tableau sous le plus grand angle et la façon la plus rapide de traverser un canal.

Objectifs d’apprentissage

Traduire un problème géométrique ou physique en la recherche de l’extremum global d’une fonction d’une variable, sur un ensemble de définition fixé avec précision.
Justifier que l’extremum trouvé est global : par le théorème de Weierstrass si l’ensemble de définition est un intervalle fermé et borné, et sinon par le signe de la dérivée, la convexité ou les limites aux bornes de l’ensemble de définition.
Trouver le point d’une courbe le plus proche d’un point donné et reconnaître que la droite qui les joint est normale à la courbe.
Déduire du principe du temps minimal les lois de la réflexion et de la réfraction, et reconnaître quand l’optimum est au bord de l’ensemble de définition.

La méthode

Les leçons sur le théorème de Weierstrass et sur les maxima et minima ont appris à trouver les extremums globaux d’une fonction donnée sur un intervalle donné. Dans un problème d’optimisation, en revanche, on demande la meilleure configuration d’une figure ou d’un mouvement, et la fonction à étudier, avec son ensemble de définition, doit être construite à partir de l’énoncé. La méthode comporte cinq temps.

La variable. Choisir une quantité qui détermine la configuration (une longueur, un angle, une position) et exprimer en fonction d’elle, au moyen des conditions du problème, toutes les autres.
La fonction. Écrire la quantité que l’on veut rendre maximale ou minimale comme fonction de cette seule variable.
L’ensemble de définition. Fixer l’ensemble des valeurs que la variable peut prendre dans le problème, qui est en général un intervalle. Si la fonction se prolonge par continuité à des configurations dégénérées, comme un rectangle de hauteur nulle ou une boîte sans volume, il convient de les admettre pour obtenir un intervalle fermé, pourvu que l’extremum cherché n’y soit pas atteint.
Les extremums globaux. Les trouver sur l’ensemble de définition et justifier qu’ils sont globaux. Si l’ensemble de définition est un intervalle fermé et borné, le théorème de Weierstrass assure qu’ils existent, et la proposition des extremums globaux sur un intervalle fermé et borné, de la leçon sur les maxima et minima, les trouve en comparant des valeurs. Sinon, on utilise le signe de la dérivée (le théorème du critère de la dérivée première pour les extremums globaux, ou le corollaire d’un unique point critique, de la même leçon), la convexité (le corollaire des points critiques d’une fonction convexe, de la leçon sur la concavité et la convexité) ou les limites aux bornes de l’ensemble de définition (la proposition des extremums globaux sur un intervalle ouvert).
La conclusion. Revenir au problème : donner la configuration optimale, et pas seulement la valeur optimale, et vérifier qu’elle a un sens, quant aux grandeurs et dans les cas particuliers.

Le quatrième temps est celui que l’on omet le plus souvent : trouver un point où la dérivée s’annule ne suffit pas. Ce point peut être un minimum quand on cherche un maximum, un extremum seulement local ou un point hors de l’ensemble de définition ; et l’extremum global peut se trouver à une extrémité de l’intervalle, où la dérivée n’a aucune raison de s’annuler. La leçon sur les maxima et minima a montré, avec $\frac{1}{x} + x^2$ , qu’un unique point critique n’assure rien si l’ensemble de définition n’est pas un intervalle. Il convient souvent, de plus, de remplacer la fonction par une autre plus simple qui atteint ses extremums aux mêmes points.

LemmeExtremums et fonctions strictement monotones

Soient $f$ une fonction définie sur un ensemble $A$ , $c$ un point de $A$ et $\varphi$ une fonction strictement croissante sur un ensemble qui contient les valeurs de $f$ . Alors $f$ atteint en $c$ son maximum global sur $A$ si et seulement si $\varphi \circ f$ l’y atteint, et il en va de même pour le minimum global, pour les extremums locaux et pour les extremums stricts. Si $\varphi$ est strictement décroissante, $f$ atteint en $c$ un maximum si et seulement si $\varphi \circ f$ atteint en $c$ un minimum du même type, et réciproquement. Une fonction strictement croissante ne modifie pas l’ordre entre les valeurs, et les extremums ne dépendent que de cet ordre.

Démonstration

$u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}$
Soient $u$ et $w$ dans l’ensemble de définition de $\varphi$ . Si $u < w$ , la monotonie stricte donne $\varphi(u) < \varphi(w)$ ; si $u = w$ , les valeurs coïncident ; et si $u > w$ , elle donne $\varphi(u) > \varphi(w)$ . Par conséquent, les inégalités entre les nombres et entre leurs images sont équivalentes.
$f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}$
Avec $u = f(x)$ et $w = f(c)$ , pour tout $x$ de $A$ , ou pour tout $x$ de $A$ dont la distance à $c$ est strictement inférieure à un certain $\delta$ , les inégalités qui définissent le maximum global, le local et les stricts, selon la leçon sur les maxima et minima et la définition d’extremum local de la leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy, sont vraies pour $f$ si et seulement si elles le sont pour $\varphi \circ f$ . Le minimum se traite de même, et si $\varphi$ est strictement décroissante, les inégalités entre les images changent de sens.

Les cas les plus utilisés sont au nombre de quatre. La racine carrée est strictement croissante sur $\ico{0}{\infty}$ : une distance et son carré sont minimaux aux mêmes points, et le carré n’a pas de radicaux. Le carré est strictement croissant sur $\ico{0}{\infty}$ : une quantité positive ou nulle et son carré sont maximaux aux mêmes points. Le logarithme est strictement croissant sur $\ioo{0}{\infty}$ : un produit de puissances strictement positives et son logarithme, qui est une somme, aussi. Et une fonction strictement positive atteint son maximum là où son inverse atteint son minimum, parce que $\frac{1}{u}$ est strictement décroissante sur $\ioo{0}{\infty}$ .

ExempleLe rectangle inscrit dans un demi-cercle

Parmi les rectangles inscrits dans un demi-cercle de rayon $R$ , avec un côté sur le diamètre, trouver celui d’aire maximale. Le raisonnement suit les temps de la méthode.

Démonstration

$A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$
La variable et la fonction. On place le centre à l’origine et le diamètre sur l’axe horizontal. Le rectangle est déterminé par $x$ , la moitié de sa base : ses sommets supérieurs sont sur le demi-cercle, en $\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ , et son aire est la fonction ci-contre.
$F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}$
L’ensemble de définition. Les vrais rectangles correspondent à $x$ dans $\ioo{0}{R}$ ; on admet aussi $0$ et $R$ , qui donnent des rectangles dégénérés, d’aire nulle, et on obtient un intervalle fermé et borné sur lequel $A$ est continue : par le théorème de Weierstrass, le maximum existe. Comme $A$ est positive ou nulle, d’après le lemme il suffit de maximiser son carré, qui est un polynôme et, à la différence de $A$ , est dérivable aussi en $R$ .
$F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}$
Les candidats. La dérivée de $F$ s’annule en un seul point de $\ioo{0}{R}$ .
$F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}$
La comparaison et la conclusion. D’après la proposition des extremums globaux sur un intervalle fermé et borné, le maximum de $F$ est la plus grande de ses valeurs en $0$ , en $R$ et au point critique. Le rectangle optimal a pour base $\sqrt{2}R$ et pour hauteur $\frac{R}{\sqrt{2}}$ , la moitié de la base, et pour aire $R^2$ .

En réfléchissant le rectangle optimal par rapport au diamètre, on obtient un carré de côté $\sqrt{2}R$ inscrit dans le cercle entier, d’aire $2R^2$ , qui est, par le même calcul, le rectangle d’aire maximale inscrit dans ce cercle. Les rectangles dégénérés n’ont pas modifié le résultat : le maximum est atteint en un vrai rectangle.