الانحناء ونصف قطر الانحناء

ملخص

يقيس هذا الدرس مقدار انحناء التمثيل البياني لدالة عند نقطة. المماس هو المستقيم الذي له عند النقطة القيمة نفسها والمشتقة نفسها اللتان للدالة؛ والدائرة اللاثمة هي التي لها، فوق ذلك، المشتقة الثانية نفسها. باشتقاق معادلة دائرة مرتين نحصل على أن تركيبًا ما من المشتقتين الأولى والثانية يساوي بالضبط نصف قطرها في كل نقطة من نقاطها؛ وبهذا يبرهن الدرس على أنه إذا كانت المشتقة الثانية للدالة لا تنعدم، فإن الدائرة اللاثمة موجودة ووحيدة، ويعطي مركزها ونصف قطرها، أي نصف قطر الانحناء. ومقلوبه هو الانحناء، الذي ينعدم حيث تنعدم المشتقة الثانية. ثم يبرهن على أن مركز الانحناء هو نهاية نقاط تقاطع الناظمات المتجاورة، كما رأى ذلك هويغنز، وعلى أن الانحناء لا يتغير بتبادل المحورين، مما يتيح قياسه حيث يكون المماس رأسيًا. وتحدد المسائل ما إذا كانت الدائرة اللاثمة تخترق التمثيل البياني، وتجد نقطة الانحناء الأعظم للدالة الأسية، ونقطتي الانحناء الأعظم والأصغر لقطع ناقص ونصف قطر الانحناء للمنحنى السلسلي، وتدرس قفزة الانحناء بين مستقيم وقوس.

أهداف التعلم

تعريف الدائرة اللاثمة للتمثيل البياني لدالة عند نقطة، والبرهان على أنها موجودة ووحيدة عندما لا تنعدم المشتقة الثانية، وحساب مركزها ونصف قطرها.
حساب الانحناء ونصف قطر الانحناء لتمثيل بياني عند نقطة، وتفسير الانحناء المنعدم، وإيجاد نقاط الانحناء الأعظم أو الأصغر لتمثيل بياني.
الحصول على مركز الانحناء كنهاية لنقاط تقاطع الناظمات، وقياس الانحناء حيث يكون المماس رأسيًا بتبادل دوري المحورين.
التحديد، باختبار المشتقات العليا، ما إذا كانت الدائرة اللاثمة تخترق التمثيل البياني أو تبقى في جهة واحدة منه.

الدائرة اللاثمة

المماس للتمثيل البياني لـ $f$ عند $(a, f(a))$ هو المستقيم الذي له عند $a$ القيمة نفسها والمشتقة نفسها اللتان لـ $f$ . وقد بيّن الدرس الخاص بـالتقعر والتحدب ونقاط الانعطاف أنه إذا كان $f''(a) \neq 0$ ، فإن التمثيل البياني يبقى قرب $a$ في جهة واحدة من مماسه: فوقه إذا كان $f''(a) > 0$ وتحته إذا كان $f''(a) < 0$ . لكنه لم يقل بأي مقدار يبتعد عنه، أي بأي مقدار ينحني. ولقياس ذلك يحسن أن نقارنه بالمنحنيات التي تنحني دائمًا بالمقدار نفسه، أي الدوائر: فالدائرة الصغيرة تنحني كثيرًا، والكبيرة قليلًا. والدائرة ليست تمثيلًا بيانيًا لدالة، لأن كل مستقيم رأسي يمر بداخلها يقطعها مرتين؛ لكن كل واحد من نصفيها، دون طرفيه، تمثيل بياني لدالة.

توطئةمشتقات نصف دائرة

لتكن $(h, k)$ نقطة من المستوي، و $r > 0$ ، و $\sigma$ مساويًا لـ $1$ أو لـ $-1$ ، و $u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ من أجل $x$ في $\ioo{h - r}{h + r}$ ، وتمثيلها البياني هو نصف الدائرة العلوي إذا كان $\sigma = 1$ ، أو السفلي إذا كان $\sigma = -1$ ، الذي مركزه $(h, k)$ ونصف قطره $r$ ، دون طرفيه. عندئذ تكون $u$ و $u'$ و $u''$ قابلة للاشتقاق على $\ioo{h - r}{h + r}$ ، ويكون $u(x) \neq k$ ، وفي كل نقطة $x$ من الفترة:

(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

ومن ثم فإن $u''(x)$ لا تنعدم ولها إشارة $-\sigma$ ، بحيث يكون نصف الدائرة السفلي مقعّرًا تمامًا نحو الأعلى والعلوي مقعّرًا تمامًا نحو الأسفل، وفي جميع نقاطه:

\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

البرهان

$(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}$
إذا كانت $x$ في الفترة فإن $r^2 - (x - h)^2 > 0$ ، بحيث إن الفرق $u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ لا ينعدم، والدالة $u$ قابلة للاشتقاق بحسب نتيجة مشتقات التركيبات المألوفة، من الدرس الخاص بـقاعدة السلسلة. وبالتربيع يقع التمثيل البياني لـ $u$ على الدائرة:
$2(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}$
الطرفان هما الدالة نفسها في $x$ على الفترة، ومشتقتاهما متساويتان: هذا هو الاشتقاق الضمني من الدرس الخاص بـمشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني، مطبَّقًا على دالة نعلم مسبقًا أنها قابلة للاشتقاق. وبعزل المشتقة الأولى يكون $u'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k}$ خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق مقامه غير منعدم، فهو قابل للاشتقاق بقاعدة خارج القسمة، من الدرس الخاص بـقواعد الاشتقاق؛ وبالاشتقاق مرة أخرى نحصل على المساواة الثانية، التي منها يكون $u''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k}$ أيضًا خارج قسمة دالتين قابلتين للاشتقاق.
$1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}$
بما أن $1 + \left(u'(x)\right)^2 > 0$ ، فإن المشتقة الثانية لا تنعدم ولها إشارة معاكسة لإشارة الفرق $u(x) - k$ ، وهي إشارة $\sigma$ ؛ ونتيجة التقعر نحو الأعلى والمشتقة الثانية تعطي التقعر التام نحو الأعلى أو التقعر التام نحو الأسفل. ومن المساواة الأولى، فإن المقدار $1 + \left(u'(x)\right)^2$ هو مجموع $(x - h)^2$ و $\left(u(x) - k\right)^2$ ، الذي يساوي $r^2$ ، مقسومًا على $\left(u(x) - k\right)^2$ .

في الدائرة، يتغير ميل المماس والمشتقة الثانية من نقطة إلى أخرى، لكن تركيب التوطئة لا يتغير: فهو يساوي دائمًا نصف القطر. وهذا يوحي بأن نقيس به مقدار انحناء أي تمثيل بياني. وقبل ذلك يحسن إيجاد الدائرة التي توافق التمثيل البياني على أفضل وجه عند نقطة، وهي التي تتطابق معه حتى المشتقة الثانية.

تعريفالدائرة اللاثمة

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة $I$ وقابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة $a$ من $I$ . نقول إن دائرة مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $r > 0$ لاثمة للتمثيل البياني لـ $f$ عند $(a, f(a))$ إذا كانت تمر بهذه النقطة دون أن تكون هذه النقطة أقصى نقاطها يسارًا ولا أقصاها يمينًا، أي إذا كان $(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2$ و $f(a) \neq k$ ، وإذا كان نصف الدائرة الذي يحويها، وهو التمثيل البياني للدالة $u$ من التوطئة مع $\sigma$ مساويًا لإشارة $f(a) - k$ ، له عند $a$ القيمة نفسها والمشتقة نفسها والمشتقة الثانية نفسها التي لـ $f$ :

u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

ويسمى مركزها مركز الانحناء للتمثيل البياني عند تلك النقطة.

المستقيم المماس يحقق المساواتين الأوليين؛ والدائرة اللاثمة تحقق الثالثة أيضًا. والاسم مأخوذ من الفعل اللاتيني osculari، أي لثم: فالدائرة لا تمس التمثيل البياني فحسب، كسائر الدوائر المماسة له، بل تنحني مثله. ويُظهر الرسم، مع $f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1$ و $a = 1{,}2$ ، ثلاث دوائر مماسة للتمثيل البياني، ومن بينها الدائرة اللاثمة.

مبرهنةوجود الدائرة اللاثمة ووحدانيتها

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة $I$ وقابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة $a$ من $I$ ، وليكن $m = f'(a)$ و $q = f''(a)$ . إذا كان $q \neq 0$ ، فإن للتمثيل البياني لـ $f$ عند $(a, f(a))$ دائرة لاثمة واحدة بالضبط، مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $\rho$ :

h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

يقع مركزها على المستقيم الناظم للتمثيل البياني عند النقطة، فوق النقطة إذا كان $q > 0$ وتحتها إذا كان $q < 0$ . وإذا كان $q = 0$ ، فليس للتمثيل البياني دائرة لاثمة عند $(a, f(a))$ .

البرهان

$(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}$
لنفترض أن دائرة مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $r$ لاثمة، ونصف دائرتها $u$ . المساواة الأولى من التوطئة، عند $x = a$ ، مع $u(a) = f(a)$ و $u'(a) = m$ ، تقول إن المركز يحقق معادلة المستقيم الناظم للتمثيل البياني عند النقطة، بحسب تعريف المستقيم المماس والمستقيم الناظم من الدرس الخاص بـالمشتقة بوصفها نهاية، سواء كان $m \neq 0$ أو كان الناظم رأسيًا.
$1 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}$
المساواة الثانية من التوطئة، عند $x = a$ ، مع $u''(a) = q$ ، مستحيلة إذا كان $q = 0$ ، لأن $1 + m^2 > 0$ : فلا توجد دائرة لاثمة. وإذا كان $q \neq 0$ ، فإنها تحدد الفرق $f(a) - k$ ؛ وتعطي المساواة الأولى عندئذ الفرق $a - h$ ، وتعطي معادلة الدائرة نصف القطر. إذن توجد دائرة لاثمة واحدة على الأكثر، ومركزها ونصف قطرها هما المذكوران في نص المبرهنة.
$u'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}$
وبالعكس، لتكن $h$ و $k$ و $\rho$ المذكورة في نص المبرهنة. الدائرة التي مركزها $(h, k)$ ونصف قطرها $\rho$ تمر بـ $(a, f(a))$ ، بحسب الحساب الذي أُجري أعلاه، والفرق $f(a) - k$ لا ينعدم وله إشارة $-q$ ، بحيث يكون $\sigma = -1$ إذا كان $q > 0$ ، ويقع المركز فوق النقطة، و $\sigma = 1$ إذا كان $q < 0$ . والدالة $u$ من التوطئة تحقق $u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a)$ ، والمساواتان من التوطئة، عند $x = a$ ، تعطيان مشتقتيها: فالدائرة لاثمة.

إذا كان $q > 0$ ، فإن الدائرة اللاثمة تستند إلى التمثيل البياني من الأعلى بنصفها السفلي، وهو مقعّر نحو الأعلى؛ وإذا كان $q < 0$ ، فبنصفها العلوي، وهو مقعّر نحو الأسفل. وفي الحالتين، فإن قضية التمثيل البياني ومماسه، من الدرس الخاص بالتقعر، مع $n = 2$ ، مطبَّقةً على $f$ وعلى $u$ ، اللتين لهما المماس نفسه ومشتقتان ثانيتان من الإشارة نفسها، تضع التمثيل البياني والدائرة، قرب $a$ ، في الجهة نفسها من ذلك المماس. وإذا كان $f''(a) = 0$ ، فلا تصلح أي دائرة، لأن المشتقة الثانية لنصف دائرة لا تنعدم أبدًا؛ والمستقيم المماس، الذي مشتقته الثانية منعدمة، يحقق المساواات الثلاث، ويؤدي دور دائرة نصف قطرها لانهائي.

في بقية هذا الدرس

الانحناء
الناظمات المتجاورة
تبادل المحورين
مسائل محلولة
القطع المكافئ ودوائره اللاثمة
الانحناء الأعظم للدالة الأسية
رؤوس القطع الناقص
نصف قطر الانحناء للمنحنى السلسلي
مستقيم يعقبه قوس
مسائل مقترحة
ذرى الجيب
الانحناء الأعظم للوغاريتم
تغيير المقياس
المنحنى المنشور للقطع المكافئ
الدوائر وحدها ذات انحناء ثابت