التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف

الدوال المقعّرة نحو الأعلى ونحو الأسفل

درس الدرس الخاص بـالرتابة هل تصعد الدالة أم تنزل؛ وهذا الدرس يدرس كيف تفعل ذلك. فالدالتان $x^2$ و$\sqrt{x}$ متزايدتان تمامًا على $\ico{0}{\infty}$، لكن الأولى تنحني نحو الأعلى والثانية نحو الأسفل: القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين من التمثيل البياني لـ$x^2$، أي وترها، تقع فوق قوس التمثيل البياني بينهما، وتلك الخاصة بـ$\sqrt{x}$ تقع تحته. وإذا كان $t$ في $\icc{0}{1}$، فإن نقطة الوتر الواصل بين $(x, f(x))$ و$(y, f(y))$ التي فاصلتها $tx + (1 - t)y$ ترتيبتها $t f(x) + (1 - t) f(y)$: التركيب نفسه للترتيبتين.

الدالة الخطية $mx + n$ مقعّرة نحو الأعلى ونحو الأسفل في آن واحد: تمثيلها البياني ينطبق على أوتارها. والدالة $x^2$ مقعّرة تمامًا نحو الأعلى على $\mathbb{R}$، لأن الفرق بين طرفي المتباينة هو $t(1 - t)(x - y)^2$، وهو موجب إذا كان $x \neq y$ و$0 < t < 1$. والقيمة المطلقة مقعّرة نحو الأعلى، بفضل متباينة المثلث $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$، مع أنها غير قابلة للاشتقاق عند $0$؛ وليست مقعّرة تمامًا نحو الأعلى، لأنها على $\ico{0}{\infty}$ تنطبق على أوتارها.

اصطلاحان. في هذه الدورة، «المقعّرة نحو الأعلى» هي الدالة التي لا يرتفع تمثيلها البياني فوق أوتارها، مثل $x^2$، و«المقعّرة نحو الأسفل» هي التي لا ينزل تمثيلها البياني عنها، مثل $\sqrt{x}$. وهما ما تسمّيه أغلب كتب التحليل والأمثلية «محدّبة» و«مقعّرة» على الترتيب، وهذا هو اصطلاح الحقيقة المقبولة دون برهان عن تقعّر الجيب نحو الأسفل، في الدرس الخاص بـالدوال المثلثية وتمثيلاتها البيانية من مقرر الجبر والهندسة 2. غير أن الكلمتين «محدّبة» و«مقعّرة» وحدهما تُستعملان بمعنيين متعاكسين بحسب المدرسة: ففي المغرب العربي، تبعًا للكتب الفرنسية، «المحدّبة» هي المقعّرة نحو الأعلى، أما في مصر وفي جزء من المشرق فتُسمّى $x^2$ مقعّرة، لأن التمثيل البياني يُنظر إليه من أعلى؛ ولذلك تستعمل هذه الدورة دائمًا الصيغة المقرونة بالاتجاه. وأمام كتاب جديد، يحسن البحث عن تعريفه أو ملاحظة كيف يسمّي $x^2$: المتباينات لا تتغير، وإنما تتغير الأسماء.

يقارن التعريف نقطة من التمثيل البياني بوتر. فإذا كان $x < z < y$، فإن مقارنة $(z, f(z))$ بالوتر من $x$ إلى $y$ تكافئ مقارنة ميول ثلاثة أوتار: عند السير من اليسار إلى اليمين على التمثيل البياني لدالة مقعّرة نحو الأعلى، تزداد الأوتار انحدارًا. ويُظهر الرسم ذلك مع $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6$.