Concavidade, convexidade e pontos de inflexão

Funções convexas e côncavas

A aula sobre monotonia estudou se uma função sobe ou desce; esta estuda como o faz. As funções $x^2$ e $\sqrt{x}$ são estritamente crescentes em $\ico{0}{\infty}$, mas a primeira se curva para cima e a segunda para baixo: o segmento que une dois pontos do gráfico de $x^2$, sua corda, fica acima do arco do gráfico entre eles, e o de $\sqrt{x}$, abaixo dele. Se $t$ está em $\icc{0}{1}$, o ponto da corda que une $(x, f(x))$ a $(y, f(y))$ cuja abscissa é $tx + (1 - t)y$ tem ordenada $t f(x) + (1 - t) f(y)$: a mesma combinação das ordenadas.

Uma função linear $mx + n$ é ao mesmo tempo convexa e côncava: seu gráfico coincide com suas cordas. A função $x^2$ é estritamente convexa em $\mathbb{R}$, porque a diferença entre os dois membros da desigualdade é $t(1 - t)(x - y)^2$, positiva se $x \neq y$ e $0 < t < 1$. O valor absoluto é convexo, pela desigualdade triangular, $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$, embora não seja derivável em $0$; não é estritamente convexo, porque em $\ico{0}{\infty}$ coincide com suas cordas.

Duas convenções. Neste curso, «convexa» é a função cujo gráfico não sobe acima de suas cordas, como $x^2$, e «côncava» a que não desce abaixo delas, como $\sqrt{x}$. É a convenção da maioria dos textos de análise e de otimização, e a do fato admitido da concavidade do seno, na aula sobre as funções trigonométricas e seus gráficos, de Álgebra e Geometria II. Outros textos usam as palavras ao contrário, e chamam côncava a $x^2$, porque olham o gráfico de cima; outros dizem «côncava para cima» por convexa e «côncava para baixo» por côncava. Diante de um texto novo, convém procurar sua definição ou reparar em como ele chama $x^2$: as desigualdades não mudam, só os nomes.

A definição compara um ponto do gráfico com uma corda. Se $x < z < y$, comparar $(z, f(z))$ com a corda de $x$ a $y$ equivale a comparar os coeficientes angulares de três cordas: ao percorrer da esquerda para a direita o gráfico de uma função convexa, as cordas ficam mais íngremes. A figura o mostra com $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6$.