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Topos Uranos
Português

Curvatura e raio de curvatura

Resumo

Esta aula mede quanto se curva o gráfico de uma função em um ponto. A tangente é a reta que tem no ponto o mesmo valor e a mesma derivada que a função; a circunferência osculadora é a que tem, além disso, a mesma segunda derivada. Ao derivar duas vezes a equação de uma circunferência, obtém-se que, em cada um de seus pontos, uma combinação da primeira e da segunda derivada vale exatamente seu raio; com isso, a aula demonstra que, se a segunda derivada da função não se anula, a circunferência osculadora existe e é única, e dá seu centro e seu raio, o raio de curvatura. Seu inverso é a curvatura, que se anula onde se anula a segunda derivada. Demonstra depois que o centro de curvatura é o limite dos pontos em que se cortam normais próximas, como o viu Huygens, e que a curvatura não muda ao trocar os eixos, o que permite medi-la onde a tangente é vertical. Os problemas decidem se a circunferência osculadora atravessa o gráfico, acham o ponto de curvatura máxima da exponencial, os pontos de curvatura máxima e mínima de uma elipse e o raio de curvatura da catenária, e estudam o salto de curvatura entre uma reta e um arco.

Objetivos de aprendizagem

  1. Definir a circunferência osculadora ao gráfico de uma função em um ponto, demonstrar que existe e é única quando a segunda derivada não se anula, e calcular seu centro e seu raio.
  2. Calcular a curvatura e o raio de curvatura de um gráfico em um ponto, interpretar a curvatura nula e achar os pontos de curvatura máxima ou mínima de um gráfico.
  3. Obter o centro de curvatura como limite das interseções das normais, e medir a curvatura onde a tangente é vertical trocando os papéis dos eixos.
  4. Decidir, com o teste das derivadas sucessivas, se a circunferência osculadora atravessa o gráfico ou fica de um só lado dele.

A circunferência osculadora

A tangente ao gráfico de ff em (a,f(a))(a, f(a)) é a reta que tem em aa o mesmo valor e a mesma derivada que ff. A aula sobre concavidade, convexidade e pontos de inflexão mostrou que, se f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, o gráfico fica perto de aa de um só lado de sua tangente: acima dela se f′′(a)>0f''(a) > 0 e abaixo dela se f′′(a)<0f''(a) < 0. Mas não disse quanto se afasta dela, isto é, quanto se curva. Para medi-lo, convém compará-lo com as curvas que se curvam sempre do mesmo modo, as circunferências: uma pequena se curva muito, e uma grande, pouco. Uma circunferência não é o gráfico de uma função, porque cada reta vertical que passa por seu interior a corta duas vezes; mas cada uma de suas duas metades, sem seus extremos, o é.

LemaAs derivadas de uma semicircunferência

Sejam (h,k)(h, k) um ponto do plano, r>0r > 0, σ\sigma igual a 11 ou a −1-1, e u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} para xx em (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, cujo gráfico é a semicircunferência superior se σ=1\sigma = 1, ou a inferior se σ=−1\sigma = -1, de centro (h,k)(h, k) e raio rr, sem seus extremos. Então uu, u′u' e u′′u'' são deriváveis em (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, u(x)≠ku(x) \neq k, e em cada ponto xx do intervalo:

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Em consequência, u′′(x)u''(x) não se anula e tem o sinal de −σ-\sigma, de modo que a semicircunferência inferior é estritamente convexa e a superior estritamente côncava, e em todos os seus pontos:

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Demonstração

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Se xx está no intervalo, r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, de modo que u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} não se anula, e uu é derivável pelo corolário das derivadas de composições usuais, da aula sobre a regra da cadeia. Ao elevar ao quadrado, o gráfico de uu fica na circunferência:

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    Os dois membros são a mesma função de xx no intervalo, e suas derivadas coincidem: é a derivação implícita da aula sobre a derivada da função inversa e a derivação implícita, aplicada a uma função que já sabemos derivável. Ao isolar, u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} é um quociente de funções deriváveis com denominador não nulo, derivável pela regra do quociente, da aula sobre as regras de derivação; ao derivar outra vez obtém-se a segunda igualdade, da qual u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} é também um quociente de funções deriváveis.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Como 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0, a segunda derivada não se anula e tem o sinal oposto ao de u(x)−ku(x) - k, que é o de σ\sigma; o corolário da convexidade e da segunda derivada dá a convexidade estrita ou a concavidade estrita. Pela primeira igualdade, 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 é a soma de (x−h)2(x - h)^2 e (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, que vale r2r^2, dividida por (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

Em uma circunferência, o coeficiente angular da tangente e a segunda derivada mudam de um ponto para outro, mas a combinação do lema não muda: vale sempre o raio. Isso sugere medir com ela quanto se curva qualquer gráfico. Antes, convém achar a circunferência que melhor se ajusta ao gráfico em um ponto, a que coincide com ele até a segunda derivada.

DefiniçãoCircunferência osculadora

Sejam ff uma função derivável em um intervalo aberto II e duas vezes derivável em um ponto aa de II. Uma circunferência de centro (h,k)(h, k) e raio r>0r > 0 é osculadora ao gráfico de ff em (a,f(a))(a, f(a)) se passa por esse ponto sem que ele seja seu ponto mais à esquerda nem o mais à direita, isto é, se (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 e f(a)≠kf(a) \neq k, e se a semicircunferência que o contém, o gráfico da função uu do lema com σ\sigma igual ao sinal de f(a)−kf(a) - k, tem em aa o mesmo valor, a mesma derivada e a mesma segunda derivada que ff:

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Seu centro se chama centro de curvatura do gráfico nesse ponto.

A reta tangente cumpre as duas primeiras igualdades; a circunferência osculadora, também a terceira. O nome vem do latim osculari, beijar: a circunferência não só toca o gráfico, como as demais circunferências tangentes, mas se curva como ele. A figura mostra, com f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 e a=1,2a = 1{,}2, três circunferências tangentes ao gráfico e, entre elas, a osculadora.

TeoremaExistência e unicidade da circunferência osculadora

Sejam ff uma função derivável em um intervalo aberto II e duas vezes derivável em um ponto aa de II, e sejam m=f′(a)m = f'(a) e q=f′′(a)q = f''(a). Se q≠0q \neq 0, o gráfico de ff tem em (a,f(a))(a, f(a)) exatamente uma circunferência osculadora, de centro (h,k)(h, k) e raio ρ\rho:

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Seu centro está na reta normal ao gráfico no ponto, acima do ponto se q>0q > 0 e abaixo dele se q<0q < 0. Se q=0q = 0, o gráfico não tem circunferência osculadora em (a,f(a))(a, f(a)).

Demonstração

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Suponhamos que uma circunferência de centro (h,k)(h, k) e raio rr seja osculadora, com sua semicircunferência uu. A primeira igualdade do lema, em x=ax = a, com u(a)=f(a)u(a) = f(a) e u′(a)=mu'(a) = m, diz que o centro cumpre a equação da reta normal ao gráfico no ponto, segundo a definição de reta tangente e reta normal da aula sobre a derivada como limite, tanto se m≠0m \neq 0 como se a normal é vertical.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    A segunda igualdade do lema, em x=ax = a, com u′′(a)=qu''(a) = q, é impossível se q=0q = 0, porque 1+m2>01 + m^2 > 0: não há circunferência osculadora. Se q≠0q \neq 0, ela determina f(a)−kf(a) - k; a primeira igualdade dá então a−ha - h, e a equação da circunferência, o raio. Portanto, há no máximo uma circunferência osculadora, e seu centro e seu raio são os do enunciado.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Reciprocamente, sejam hh, kk e ρ\rho os do enunciado. A circunferência de centro (h,k)(h, k) e raio ρ\rho passa por (a,f(a))(a, f(a)), pelo cálculo acima, e f(a)−kf(a) - k não se anula e tem o sinal de −q-q, de modo que σ=−1\sigma = -1 se q>0q > 0, e o centro fica acima do ponto, e σ=1\sigma = 1 se q<0q < 0. A função uu do lema cumpre u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), e as duas igualdades do lema, em x=ax = a, dão suas derivadas: a circunferência é osculadora.

Se q>0q > 0, a circunferência osculadora se apoia no gráfico por cima com sua semicircunferência inferior, que é convexa; se q<0q < 0, com a superior, que é côncava. Em ambos os casos, a proposição do gráfico e sua tangente, da aula sobre concavidade e convexidade, com n=2n = 2, aplicada a ff e a uu, que têm a mesma tangente e segundas derivadas do mesmo sinal, põe o gráfico e a circunferência, perto de aa, do mesmo lado dessa tangente. Se f′′(a)=0f''(a) = 0, nenhuma circunferência serve, porque a segunda derivada de uma semicircunferência nunca se anula; a reta tangente, cuja segunda derivada é nula, cumpre as três igualdades, e faz o papel de uma circunferência de raio infinito.