Problemas de otimização

Resumo

Esta aula resolve problemas em que é preciso encontrar a melhor de muitas configurações possíveis: o retângulo de maior área, o cilindro de menor superfície, o caminho mais curto ou o mais rápido. As aulas precedentes deram as ferramentas para encontrar os extremos absolutos de uma função dada; aqui a função não é dada, e a maior parte do trabalho, e dos erros, está em construí-la. A aula fixa um método em cinco etapas (a variável, a função, o domínio, os extremos absolutos com sua justificativa e a conclusão) e demonstra que uma função e sua composição com uma função estritamente crescente atingem seus extremos nos mesmos pontos, o que permite, por exemplo, minimizar o quadrado de uma distância em vez da distância. Demonstra depois que todo ponto tem um ponto mais próximo no gráfico de uma função contínua em um intervalo fechado, e que, se este não está na borda, o ponto dado está na reta normal; e deduz do princípio do tempo mínimo as leis da refração, a de Snell, e da reflexão, a de Herão. Os problemas encontram a caixa de maior volume, o cilindro de menor superfície, a barra mais longa que dobra uma esquina, o lugar de onde um quadro é visto sob o maior ângulo e o modo mais rápido de atravessar um canal.

Objetivos de aprendizagem

Traduzir um problema geométrico ou físico na busca do extremo absoluto de uma função de uma variável, em um domínio fixado com precisão.
Justificar que o extremo encontrado é absoluto: com o teorema de Weierstrass se o domínio é um intervalo fechado e limitado, e, se não o é, com o sinal da derivada, a convexidade ou os limites nos extremos do domínio.
Encontrar o ponto de um gráfico mais próximo de um ponto dado e reconhecer que a reta que os une é normal ao gráfico.
Deduzir do princípio do tempo mínimo as leis da reflexão e da refração, e reconhecer quando o ótimo está na borda do domínio.

O método

As aulas sobre o teorema de Weierstrass e sobre os máximos e mínimos ensinaram a encontrar os extremos absolutos de uma função dada em um intervalo dado. Em um problema de otimização, por outro lado, pede-se a melhor configuração de uma figura ou de um movimento, e a função que se deve estudar, com seu domínio, precisa ser construída a partir do enunciado. O método tem cinco etapas.

A variável. Escolher uma quantidade que determine a configuração (um comprimento, um ângulo, uma posição) e expressar por meio dela, mediante as condições do problema, todas as demais.
A função. Escrever a quantidade que se quer tornar máxima ou mínima como função dessa única variável.
O domínio. Fixar o conjunto dos valores que a variável pode assumir no problema, que costuma ser um intervalo. Se a função se estende com continuidade a configurações degeneradas, como um retângulo de altura nula ou uma caixa sem volume, convém admiti-las para obter um intervalo fechado, desde que o extremo procurado não seja atingido nelas.
Os extremos absolutos. Encontrá-los no domínio e justificar que o são. Se o domínio é um intervalo fechado e limitado, o teorema de Weierstrass garante que existem, e a proposição dos extremos absolutos em um intervalo fechado e limitado, da aula sobre máximos e mínimos, os encontra comparando valores. Se não o é, usa-se o sinal da derivada (o teorema do teste da primeira derivada para extremos absolutos, ou o corolário de um único ponto crítico, da mesma aula), a convexidade (o corolário dos pontos críticos de uma função convexa, da aula sobre concavidade e convexidade) ou os limites nos extremos do domínio (a proposição dos extremos absolutos em um intervalo aberto).
A conclusão. Voltar ao problema: dar a configuração ótima, não só o valor ótimo, e verificar que ela faz sentido, dimensionalmente e nos casos particulares.

A quarta etapa é a mais omitida: encontrar um ponto em que a derivada se anula não basta. Esse ponto pode ser um mínimo quando se procura um máximo, um extremo apenas local ou um ponto fora do domínio; e o extremo absoluto pode estar em um extremo do intervalo, onde a derivada não precisa se anular. A aula sobre máximos e mínimos mostrou, com $\frac{1}{x} + x^2$ , que um único ponto crítico não garante nada se o domínio não é um intervalo. Muitas vezes convém, além disso, substituir a função por outra mais simples que atinja seus extremos nos mesmos pontos.

LemaExtremos e funções estritamente monótonas

Sejam $f$ uma função definida em um conjunto $A$ , $c$ um ponto de $A$ e $\varphi$ uma função estritamente crescente em um conjunto que contém os valores de $f$ . Então $f$ atinge em $c$ seu máximo absoluto em $A$ se e somente se $\varphi \circ f$ o atinge, e o mesmo vale para o mínimo absoluto, para os extremos locais e para os extremos estritos. Se $\varphi$ é estritamente decrescente, $f$ atinge em $c$ um máximo se e somente se $\varphi \circ f$ atinge em $c$ um mínimo do mesmo tipo, e reciprocamente. Uma função estritamente crescente não altera a ordem entre os valores, e os extremos só dependem dessa ordem.

Demonstração

$u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}$
Sejam $u$ e $w$ no domínio de $\varphi$ . Se $u < w$ , a monotonia estrita dá $\varphi(u) < \varphi(w)$ ; se $u = w$ , os valores coincidem; e se $u > w$ , dá $\varphi(u) > \varphi(w)$ . Portanto, as desigualdades entre os números e entre suas imagens são equivalentes.
$f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}$
Com $u = f(x)$ e $w = f(c)$ , para cada $x$ de $A$ , ou para cada $x$ de $A$ que dista de $c$ menos que um $\delta$ , as desigualdades que definem o máximo absoluto, o local e os estritos, segundo a aula sobre máximos e mínimos e a definição de extremo local da aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, valem para $f$ se e somente se valem para $\varphi \circ f$ . O mínimo é análogo, e, se $\varphi$ é estritamente decrescente, as desigualdades entre as imagens se invertem.

Os casos mais usados são quatro. A raiz quadrada é estritamente crescente em $\ico{0}{\infty}$ : uma distância e seu quadrado se minimizam nos mesmos pontos, e o quadrado não tem radicais. O quadrado é estritamente crescente em $\ico{0}{\infty}$ : uma quantidade não negativa e seu quadrado se maximizam nos mesmos pontos. O logaritmo é estritamente crescente em $\ioo{0}{\infty}$ : um produto de potências positivas e seu logaritmo, que é uma soma, também. E uma função positiva atinge seu máximo onde seu inverso atinge seu mínimo, porque $\frac{1}{u}$ é estritamente decrescente em $\ioo{0}{\infty}$ .

ExemploO retângulo inscrito em uma semicircunferência

Entre os retângulos inscritos em uma semicircunferência de raio $R$ , com um lado sobre o diâmetro, encontrar o de maior área. O raciocínio segue as etapas do método.

Demonstração

$A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$
A variável e a função. Coloquemos o centro na origem e o diâmetro no eixo horizontal. O retângulo fica determinado por $x$ , a metade de sua base: seus vértices superiores estão na semicircunferência, em $\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ , e sua área é a função dada abaixo.
$F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}$
O domínio. Os retângulos verdadeiros correspondem a $x$ em $\ioo{0}{R}$ ; admitimos também $0$ e $R$ , que dão retângulos degenerados, de área nula, e obtemos um intervalo fechado e limitado em que $A$ é contínua: pelo teorema de Weierstrass, o máximo existe. Como $A$ não é negativa, pelo lema basta maximizar seu quadrado, que é um polinômio e, diferentemente de $A$ , é derivável também em $R$ .
$F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}$
Os candidatos. A derivada de $F$ se anula em um só ponto de $\ioo{0}{R}$ .
$F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}$
A comparação e a conclusão. Pela proposição dos extremos absolutos em um intervalo fechado e limitado, o máximo de $F$ é o maior de seus valores em $0$ , em $R$ e no ponto crítico. O retângulo ótimo tem base $\sqrt{2}R$ e altura $\frac{R}{\sqrt{2}}$ , a metade da base, e área $R^2$ .

Ao refletir o retângulo ótimo em relação ao diâmetro obtém-se um quadrado de lado $\sqrt{2}R$ inscrito na circunferência completa, de área $2R^2$ , que é, pelo mesmo cálculo, o retângulo de maior área inscrito nela. Os retângulos degenerados não alteraram o resultado: o máximo é atingido em um retângulo verdadeiro.