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Topos Uranos
Deutsch

Konkavität, Konvexität und Wendepunkte

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht, wie sich der Graph einer Funktion krümmt: Liegt er zwischen zwei seiner Punkte unter der Sehne, die sie verbindet, so ist die Funktion konvex; liegt er über ihr, konkav. Sie übersetzt die Definition in einen Vergleich der Steigungen der Sehnen und beweist mit dem Mittelwertsatz und der Monotonie, dass eine differenzierbare Funktion genau dann konvex ist, wenn ihre Ableitung monoton wachsend ist, genau dann, wenn ihr Graph über allen seinen Tangenten liegt, und dass eine zweimal differenzierbare Funktion genau dann konvex ist, wenn ihre zweite Ableitung nicht negativ ist. Sie definiert die Wendepunkte, in denen die Funktion von konvex zu konkav übergeht, und gibt die Kriterien an, um sie zu finden: den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung, die notwendige Bedingung f′′(a)=0f''(a) = 0 und das Kriterium der dritten Ableitung, das den Graphen mit seiner Tangente vergleicht, wie das Kriterium der höheren Ableitungen ihn mit der waagerechten Geraden verglichen hat. Mit den Sehnen des Sinus gewinnt sie die jordansche Ungleichung, und mit der jensenschen Ungleichung verwandelt sie die Konkavität des Logarithmus in die Ungleichung zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel beliebig vieler Zahlen.

Lernziele

  1. Die konvexe und die konkave Funktion mit Quantoren über ihre Sehnen definieren, die beiden Konventionen der Lehrbücher unterscheiden und die Definition in den Vergleich der Steigungen der Sehnen übersetzen.
  2. Beweisen, dass eine differenzierbare Funktion genau dann konvex ist, wenn ihre Ableitung monoton wachsend ist, und genau dann, wenn ihr Graph über ihren Tangenten liegt, und mit der zweiten Ableitung entscheiden, auf welchen Intervallen eine Funktion konvex oder konkav ist.
  3. Die Wendepunkte einer Funktion mit dem Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung und mit der dritten Ableitung bestimmen und die Punkte mit verschwindender zweiter Ableitung erkennen, die keine Wendepunkte sind.
  4. Ungleichungen mit der Konvexität beweisen: die jordansche über die Sehnen, die jensensche und die Mittelungleichung.

Konvexe und konkave Funktionen

Die Lektion über Monotonie hat untersucht, ob eine Funktion steigt oder fällt; diese untersucht, wie sie es tut. Die Funktionen x2x^2 und x\sqrt{x} sind auf [0,∞)\ico{0}{\infty} streng monoton wachsend, aber die erste krümmt sich nach oben und die zweite nach unten: Die Strecke, die zwei Punkte des Graphen von x2x^2 verbindet, seine Sehne, liegt über dem Bogen des Graphen zwischen ihnen, und die von x\sqrt{x} darunter. Liegt tt in [0,1]\icc{0}{1}, so hat der Punkt der Sehne, die (x,f(x))(x, f(x)) mit (y,f(y))(y, f(y)) verbindet, dessen Abszisse tx+(1−t)ytx + (1 - t)y ist, die Ordinate tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y): dieselbe Kombination der Ordinaten.

DefinitionKonvexe Funktion und konkave Funktion

Sei ff eine auf einem Intervall II definierte Funktion. Man sagt, ff ist konvex auf II, wenn kein Punkt ihres Graphen über der Sehne liegt, die zwei Punkte des Graphen verbindet, zwischen deren Abszissen seine eigene liegt:

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

und streng konvex, wenn die Ungleichung streng ist, sobald x≠yx \neq y und 0<t<10 < t < 1. Man sagt, ff ist konkav (bzw. streng konkav) auf II, wenn −f-f konvex (bzw. streng konvex) ist, das heißt, wenn die umgekehrte Ungleichung gilt: Kein Punkt des Graphen liegt unter diesen Sehnen.

Eine lineare Funktion mx+nmx + n ist zugleich konvex und konkav: Ihr Graph stimmt mit ihren Sehnen überein. Die Funktion x2x^2 ist auf R\mathbb{R} streng konvex, weil die Differenz der beiden Seiten der Ungleichung gleich t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2 ist, und diese ist positiv, wenn x≠yx \neq y und 0<t<10 < t < 1. Der Betrag ist konvex, nach der Dreiecksungleichung ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}, obwohl er an der Stelle 00 nicht differenzierbar ist; er ist nicht streng konvex, weil er auf [0,∞)\ico{0}{\infty} mit seinen Sehnen übereinstimmt.

Zwei Konventionen. In diesem Kurs heißt „konvex“ die Funktion, deren Graph nicht über seine Sehnen steigt, wie x2x^2, und „konkav“ die, deren Graph nicht unter sie sinkt, wie x\sqrt{x}. Es ist die Konvention der meisten Lehrbücher der Analysis und der Optimierung, und die der vorausgesetzten Tatsache der Konkavität des Sinus in der Lektion über die trigonometrischen Funktionen und ihre Graphen aus Algebra und Geometrie II. Andere Texte verwenden die Wörter umgekehrt und nennen x2x^2 konkav, weil sie den Graphen von oben betrachten; wieder andere sagen „linksgekrümmt“ für konvex und „rechtsgekrümmt“ für konkav. Vor einem neuen Text empfiehlt es sich, seine Definition zu suchen oder darauf zu achten, wie er x2x^2 nennt: Die Ungleichungen ändern sich nicht, nur die Namen.

Die Definition vergleicht einen Punkt des Graphen mit einer Sehne. Ist x<z<yx < z < y, so ist der Vergleich von (z,f(z))(z, f(z)) mit der Sehne von xx bis yy gleichbedeutend mit dem Vergleich der Steigungen dreier Sehnen: Durchläuft man den Graphen einer konvexen Funktion von links nach rechts, so werden die Sehnen steiler. Die Abbildung zeigt es mit f(x)=x24−0,3x+0,6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6.

LemmaDie Steigungen der Sehnen

Sei ff eine auf einem Intervall II definierte Funktion, und sei S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} die Steigung der Sehne zwischen zwei verschiedenen Abszissen uu und vv von II. Sind x<z<yx < z < y Punkte von II, so ist jede der Ungleichungen

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

gleichbedeutend damit, dass der Punkt (z,f(z))(z, f(z)) nicht über der Sehne liegt, die (x,f(x))(x, f(x)) mit (y,f(y))(y, f(y)) verbindet, und jede der strengen Ungleichungen damit, dass er streng darunter liegt. Folglich ist ff auf II genau dann konvex, wenn die drei Ungleichungen für alle x<z<yx < z < y aus II gelten, und genau dann streng konvex, wenn sie streng gelten.

Beweis

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    Sei t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x}; dieser Wert liegt in (0,1)\ioo{0}{1}, und es gilt 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} und z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y. Der Punkt der Sehne mit der Abszisse zz hat die Ordinate tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y), und der Vergleich, mit y−x>0y - x > 0 multipliziert, schreibt sich ohne Brüche:

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    Man subtrahiert (y−x)f(x)(y - x) f(x) auf beiden Seiten; da y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x), wird die rechte Seite zu (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right), und es genügt, durch (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0 zu dividieren. Ebenso erhält man durch Subtraktion von (y−x)f(y)(y - x) f(y) und Division durch (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0 die zweite Ungleichung.

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    Der Zuwachs von xx bis yy ist die Summe der Zuwächse von xx bis zz und von zz bis yy: Die Steigung der langen Sehne ist ein Mittelwert der Steigungen der kurzen, mit positiven Gewichten der Summe 11, und ihre Differenz zu S(x,z)S(x, z) hat das Vorzeichen von S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z). Daher sind die drei Ungleichungen äquivalent, ebenso die strengen. Für die Definition gilt: Ist x=yx = y oder nimmt tt den Wert 00 oder 11 an, so gilt die Ungleichung mit Gleichheit, und ist x>yx > y, so vertauscht man die Rollen von xx und yy sowie die von tt und 1−t1 - t.