Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Выпуклость вверх и вниз, точки перегиба

Краткое содержание

В этом уроке изучается, как изгибается график функции: если между двумя своими точками он лежит под соединяющей их хордой, функция выпукла вниз; если над ней, выпукла вверх. Определение переводится на язык сравнения угловых коэффициентов хорд, а затем с помощью теоремы о среднем значении и монотонности доказывается, что дифференцируемая функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда её производная возрастает, и тогда и только тогда, когда её график лежит над всеми своими касательными, а дважды дифференцируемая функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна. Вводятся точки перегиба, где выпуклость вниз сменяется выпуклостью вверх, и даются признаки для их нахождения: смена знака второй производной, необходимое условие f′′(a)=0f''(a) = 0 и признак точки перегиба по третьей производной, который сравнивает график с его касательной так же, как признак экстремума по производным высших порядков сравнивал его с горизонтальной прямой. По хордам синуса получается неравенство Жордана, а неравенство Йенсена превращает выпуклость вверх логарифма в неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим любого количества чисел.

Цели обучения

  1. Давать с помощью кванторов определения функции, выпуклой вниз, и функции, выпуклой вверх, через их хорды, различать две терминологии, принятые в литературе, и переводить определение на язык сравнения угловых коэффициентов хорд.
  2. Доказывать, что дифференцируемая функция выпукла вниз тогда и только тогда, когда её производная возрастает, и тогда и только тогда, когда её график лежит над её касательными, и определять по второй производной, на каких промежутках функция выпукла вниз или вверх.
  3. Находить точки перегиба функции по смене знака второй производной и по третьей производной и распознавать точки с нулевой второй производной, которые точками перегиба не являются.
  4. Доказывать неравенства с помощью направления выпуклости: неравенство Жордана по хордам, неравенство Йенсена и неравенство между средними.

Функции, выпуклые вниз и вверх

Урок о монотонности выяснял, поднимается функция или опускается; этот урок выясняет, как именно она это делает. Функции x2x^2 и x\sqrt{x} строго возрастают на [0,∞)\ico{0}{\infty}, но первая изгибается вверх, а вторая вниз: отрезок, соединяющий две точки графика x2x^2, его хорда, лежит над дугой графика между ними, а у x\sqrt{x} под ней. Если tt лежит в [0,1]\icc{0}{1}, то точка хорды, соединяющей (x,f(x))(x, f(x)) с (y,f(y))(y, f(y)), абсцисса которой равна tx+(1−t)ytx + (1 - t)y, имеет ординату tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y): ту же комбинацию ординат.

ОпределениеФункция, выпуклая вниз, и функция, выпуклая вверх

Пусть ff есть функция, определённая на промежутке II. Говорят, что ff выпукла вниз на II, если ни одна точка её графика не лежит выше хорды, соединяющей две точки графика, между абсциссами которых находится её абсцисса:

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

и строго выпукла вниз, если неравенство строгое всякий раз, когда x≠yx \neq y и 0<t<10 < t < 1. Говорят, что ff выпукла вверх (или строго выпукла вверх) на II, если −f-f выпукла вниз (или строго выпукла вниз), то есть если выполняется противоположное неравенство: ни одна точка графика не лежит ниже этих хорд.

Линейная функция mx+nmx + n выпукла одновременно вниз и вверх: её график совпадает со своими хордами. Функция x2x^2 строго выпукла вниз на R\mathbb{R}, потому что разность двух частей неравенства равна t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2 и положительна, если x≠yx \neq y и 0<t<10 < t < 1. Модуль выпукл вниз в силу неравенства треугольника ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}, хотя и не дифференцируем в 00; строго выпуклым вниз он не является, потому что на [0,∞)\ico{0}{\infty} совпадает со своими хордами.

Две терминологии. В этом курсе «выпуклой вниз» называется функция, график которой не поднимается выше своих хорд, как x2x^2, а «выпуклой вверх» функция, график которой не опускается ниже них, как x\sqrt{x}. Это соглашение большинства книг по анализу и оптимизации, где такую функцию называют просто выпуклой, и соглашение факта о выпуклости вверх синуса, принятого без доказательства в уроке о тригонометрических функциях и их графиках из курса «Алгебра и геометрия II». Однако слова «выпуклая» и «вогнутая» без уточнения встречаются в двух противоположных смыслах: у Фихтенгольца и Зорича «выпуклой» называется функция, выпуклая вниз, а у Пискунова, Демидовича и во многих школьных учебниках, где на график смотрят сверху, «вогнутой» называют x2x^2, а «выпуклой» функцию, выпуклую вверх; поэтому в этом курсе слово всегда стоит с наречием. Встретив новую книгу, полезно найти в ней определение или посмотреть, как в ней называется x2x^2: неравенства не меняются, меняются только названия.

Определение сравнивает точку графика с хордой. Если x<z<yx < z < y, то сравнение (z,f(z))(z, f(z)) с хордой от xx до yy равносильно сравнению угловых коэффициентов трёх хорд: при движении слева направо по графику функции, выпуклой вниз, хорды становятся всё круче. Рисунок показывает это на функции f(x)=x24−0,3x+0,6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6.

ЛеммаУгловые коэффициенты хорд

Пусть ff есть функция, определённая на промежутке II, и пусть S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} есть угловой коэффициент хорды между двумя различными абсциссами uu и vv из II. Если x<z<yx < z < y суть точки из II, то каждое из неравенств

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

равносильно тому, что точка (z,f(z))(z, f(z)) не лежит выше хорды, соединяющей (x,f(x))(x, f(x)) с (y,f(y))(y, f(y)), а каждое из строгих неравенств равносильно тому, что она лежит строго ниже. Следовательно, ff выпукла вниз на II тогда и только тогда, когда три неравенства выполняются для всех x<z<yx < z < y из II, и строго выпукла вниз тогда и только тогда, когда они выполняются как строгие.

Доказательство

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    Пусть t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x}; это число лежит в (0,1)\ioo{0}{1}, и тогда 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} и z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y. Точка хорды с абсциссой zz имеет ординату tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y), и сравнение, умноженное на y−x>0y - x > 0, записывается без дробей:

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    Вычтем (y−x)f(x)(y - x) f(x) из обеих частей; так как y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x), правая часть становится равной (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right), и остаётся разделить на (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0. Точно так же, вычитая (y−x)f(y)(y - x) f(y) и деля на (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0, получаем второе неравенство.

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    Приращение от xx до yy есть сумма приращений от xx до zz и от zz до yy: угловой коэффициент длинной хорды есть среднее угловых коэффициентов коротких с положительными весами, сумма которых равна 11, а его разность с S(x,z)S(x, z) имеет знак S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z). Поэтому три неравенства равносильны, и то же верно для строгих. Что касается определения, то при x=yx = y, а также если tt равно 00 или 11, неравенство выполняется как равенство, а если x>yx > y, то меняются ролями xx и yy, а также tt и 1−t1 - t.