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Topos Uranos
Português

Monotonia e teste da primeira derivada

Resumo

Esta aula converte o sinal da derivada em informação sobre um intervalo inteiro. Com o teorema do valor médio de Lagrange, demonstra que uma função com derivada positiva em um intervalo é estritamente crescente nele, e com derivada não negativa, crescente; reciprocamente, a derivada de uma função crescente não é negativa, embora a de uma estritamente crescente possa anular-se, e a aula caracteriza quando isso ocorre. Daí saem a invertibilidade de uma função de derivada positiva, o nome dos candidatos a extremos locais, os pontos críticos, e o teste da primeira derivada, que decide se há extremo pela mudança de sinal da derivada. O teorema de Darboux, demonstrado com os de Weierstrass e Fermat, mostra que uma derivada, ainda que não seja contínua, não salta valores: não tem descontinuidades removíveis nem de salto, e, se não se anula em um intervalo, não muda de sinal nele. A aula termina com desigualdades que se demonstram comparando funções por sua derivada, e cumpre o que a unidade sobre as derivadas anunciou várias vezes sem poder demonstrá-lo.

Objetivos de aprendizagem

  1. Demonstrar com o teorema do valor médio que o sinal da derivada em um intervalo decide a monotonia, e reconhecer quando uma função estritamente crescente tem derivada nula em alguns pontos.
  2. Encontrar os pontos críticos de uma função e decidir com o teste da primeira derivada quais são extremos locais, incluídos os pontos sem derivada.
  3. Demonstrar o teorema de Darboux e usá-lo para mostrar que uma função com um salto não é a derivada de nenhuma função em um intervalo.
  4. Demonstrar desigualdades entre funções estudando o sinal da derivada de sua diferença, e perceber quando esse argumento seria circular.

O sinal da derivada e a monotonia

A proposição do sinal da derivada em um ponto, da aula sobre as taxas de variação, compara cada valor próximo de aa com f(a)f(a), e nada mais: a função x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x}, completada com 00 em 00, tem derivada 11 em 00 e não é crescente em nenhum intervalo que contenha 00. Para obter informação sobre um intervalo inteiro, é preciso conhecer o sinal da derivada em todos os seus pontos, e o teorema do valor médio, da aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, traduz esse conhecimento em uma comparação de valores. Recordemos que, segundo a aula sobre as operações com funções, de Álgebra e Geometria I, uma função ff é crescente em um conjunto II se x<yx < y implica f(x)≤f(y)f(x) \leq f(y) para todos os seus pontos, e estritamente crescente se implica f(x)<f(y)f(x) < f(y):

(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)≤f(y)),(∀x∈I)(∀y∈I)(x<y→f(x)<f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) \leq f(y)\right), \qquad (\forall x \in I)(\forall y \in I)\left(x < y \rightarrow f(x) < f(y)\right)

e decrescente ou estritamente decrescente se implica f(x)≥f(y)f(x) \geq f(y) ou f(x)>f(y)f(x) > f(y).

TeoremaMonotonia pelo sinal da derivada

Seja ff contínua em um intervalo II e derivável em cada ponto interior de II.

  • Se f′(x)≥0f'(x) \geq 0 em cada ponto interior xx de II, então ff é crescente em II; se f′(x)>0f'(x) > 0 em cada um, é estritamente crescente em II.
  • Se f′(x)≤0f'(x) \leq 0 em cada ponto interior xx de II, então ff é decrescente em II; se f′(x)<0f'(x) < 0 em cada um, é estritamente decrescente em II.

Entre dois pontos quaisquer, o teorema do valor médio dá à diferença dos valores o sinal da derivada em um ponto intermediário.

Demonstração

  1. f(y)−f(x)=f′(c)(y−x),x<c<yf(y) - f(x) = \dato{c}{f'(c)}(y - x), \qquad x < c < y

    Sejam x<yx < y dois pontos de II. Como II é um intervalo, contém [x,y]\icc{x}{y}, onde ff é contínua, e os pontos de (x,y)\ioo{x}{y} são pontos interiores de II, onde ff é derivável. Pelo teorema do valor médio de Lagrange, existe cc entre xx e yy tal que:

  2. f′(c)≥0→f(x)≤f(y),f′(c)>0→f(x)<f(y)f'(c) \geq 0 \rightarrow \resaltar{f(x) \leq f(y)}, \qquad f'(c) > 0 \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}

    O fator y−xy - x é positivo, de modo que a diferença tem o sinal de f′(c)f'(c): se f′(c)≥0f'(c) \geq 0, não é negativa, e se f′(c)>0f'(c) > 0, é positiva. Como xx e yy eram dois pontos quaisquer de II com x<yx < y, a função é crescente, ou estritamente crescente.

  3. −f(x)≤−f(y)→f(x)≥f(y)-f(x) \leq -f(y) \rightarrow \resaltar{f(x) \geq f(y)}

    Se a derivada não é positiva, aplica-se o que precede a −f-f, que é contínua em II e tem derivada −f′(x)-f'(x) em cada ponto interior, pelo teorema da derivada de uma combinação linear, da aula sobre as regras de derivação. Que −f-f seja crescente significa que ff é decrescente.

A derivada só é exigida nos pontos interiores; nos extremos que pertencem ao intervalo, basta a continuidade. Assim, x\sqrt{x} é estritamente crescente em [0,∞)\ico{0}{\infty}, embora não seja derivável em 00. O teorema cumpre três anúncios da unidade sobre as derivadas. A aula sobre as derivadas das funções elementares observou que a derivada da tangente, 1+tan⁡2x1 + \tan^2 x, é positiva, embora a tangente não seja crescente em seu domínio, que não é um intervalo; em cada intervalo (−π2+kπ,π2+kπ)\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}, com kk inteiro, o teorema a torna estritamente crescente. A aula sobre a variável no expoente calculou a derivada x1x⋅1−ln⁡xx2x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}, que é positiva em (0,e)\ioo{0}{e} e negativa em (e,∞)\ioo{e}{\infty}; como a função é contínua em (0,∞)\ioo{0}{\infty}, é estritamente crescente em (0,e]\ioc{0}{e} e estritamente decrescente em [e,∞)\ico{e}{\infty}. Isso recupera a proposição do máximo de xx elevado a 1x\frac{1}{x}, daquela aula, e além disso compara dois números do mesmo lado de ee: como e<3<4e < 3 < 4, tem-se 313>4143^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}, isto é, 34>433^4 > 4^3. A mesma aula demonstrou que a derivada de (1+1x)x\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x é positiva em todo x>0x > 0: a função é estritamente crescente em (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

ProposiçãoO sinal da derivada de uma função monótona

Seja ff crescente em um intervalo II e derivável em um ponto interior aa de II. Então f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Se ff é decrescente, f′(a)≤0f'(a) \leq 0. Se a derivada fosse negativa, a proposição do sinal da derivada em um ponto poria à direita de aa valores menores que f(a)f(a).

Demonstração

  1. x∈J, a<x<a+δ→f(x)<f(a)x \in J, \ a < x < a + \delta \rightarrow \dato{menor}{f(x) < f(a)}

    Seja r>0r > 0 tal que J=(a−r,a+r)J = \ioo{a - r}{a + r} esteja contido em II, e seja FF a restrição de ff a JJ; pelo lema do caráter local da derivada, da aula sobre as regras de derivação, FF é derivável em aa e F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a). Suponhamos que f′(a)<0f'(a) < 0. Pela proposição do sinal da derivada em um ponto, aplicada a FF no intervalo aberto JJ, existe δ>0\delta > 0 tal que:

  2. f(a)≤f(a+ρ2)<f(a)→f′(a)≥0f(a) \leq f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) < f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) \geq 0}

    Seja ρ\rho o menor entre δ\delta e rr. O ponto a+ρ2a + \frac{\rho}{2} está em JJ e é maior que aa; como ff é crescente, seu valor não é menor que f(a)f(a), em contradição com o primeiro momento. Portanto, f′(a)≥0f'(a) \geq 0. Se ff é decrescente, −f-f é crescente, e −f′(a)≥0-f'(a) \geq 0.

Para uma função derivável em todos os pontos de um intervalo aberto, ser crescente equivale, portanto, a ter derivada não negativa. A recíproca não se estende à monotonia estrita: x3x^3 é estritamente crescente em R\mathbb{R}, e sua derivada se anula em 00. A proposição explica também o exemplo do começo: a aula sobre as taxas de variação encontrou, arbitrariamente perto de 00, pontos em que a derivada de x+2x2sin⁡1xx + 2x^2 \sin \frac{1}{x} é negativa, e em nenhum intervalo que os contenha a função pode ser crescente. O defeito está em que essa derivada não é contínua em 00; se o for, o sinal em um ponto se estende a um intervalo.

CorolárioDerivada positiva e contínua em um ponto

Seja ff derivável em cada ponto de um intervalo aberto II, e seja aa um ponto de II em que f′f' é contínua, com f′(a)>0f'(a) > 0. Então existe um δ>0\delta > 0 tal que ff é estritamente crescente em (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta}. A derivada conserva seu sinal perto de aa, e o teorema se aplica no intervalo em que o conserva.

Demonstração

  1. ∣x−a∣<δ→f′(x)>0\abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{f'(x) > 0}

    Como f′f' é contínua em aa, seu limite em aa é f′(a)>0f'(a) > 0. Pela proposição da limitação local e da conservação do sinal, da aula sobre o limite de uma função, existe um δ>0\delta > 0, que se pode tomar tal que (a−δ,a+δ)\ioo{a - \delta}{a + \delta} esteja contido em II, com f′(x)>0f'(x) > 0 nesse intervalo. Ali ff é derivável, e portanto contínua; pelo teorema, é estritamente crescente.

Quando é estritamente crescente uma função de derivada não negativa? O exemplo de x3x^3 mostra que a derivada pode anular-se em algum ponto; o que não pode é anular-se em todo um intervalo.

ProposiçãoMonotonia estrita com derivada não negativa

Seja ff contínua em um intervalo II e derivável em cada ponto interior de II, com f′(x)≥0f'(x) \geq 0 em cada um. Então ff é estritamente crescente em II se e somente se não existe nenhum intervalo (p,q)\ioo{p}{q}, com p<qp < q, contido em II, em todos cujos pontos f′f' se anule. Em particular, se f′f' se anula somente em um número finito de pontos, ff é estritamente crescente em II. Uma função crescente que não é estritamente crescente repete um valor, e entre os dois pontos em que o repete é constante.

Demonstração

  1. f′(x)=0,s<x<t→f(s)=f(t)f'(x) = 0, \quad s < x < t \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f(s) = f(t)}

    Suponhamos que f′f' se anule em todos os pontos de um intervalo (p,q)\ioo{p}{q} contido em II, e sejam p<s<t<qp < s < t < q. Em [s,t]\icc{s}{t}, a função é contínua e tem derivada nula nos pontos de (s,t)\ioo{s}{t}; pelo corolário da derivada nula em um intervalo, da aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy, é constante em [s,t]\icc{s}{t}, e não é estritamente crescente.

  2. s<x<t→f(s)≤f(x)≤f(t)=f(s)→f(x)=f(s)s < x < t \rightarrow f(s) \leq f(x) \leq f(t) = f(s) \rightarrow \dato{cte}{f(x) = f(s)}

    Reciprocamente, suponhamos que ff não seja estritamente crescente. Pelo teorema, é crescente, de modo que existem s<ts < t em II com f(s)=f(t)f(s) = f(t); todo valor intermediário fica encerrado entre dois valores iguais, e ff é constante em [s,t]\icc{s}{t}.

  3. s<x<t→f′(x)=0s < x < t \rightarrow \resaltar{f'(x) = 0}

    Seja xx de (s,t)\ioo{s}{t}. A restrição de ff a (s,t)\ioo{s}{t} é constante, com derivada nula em xx; pelo lema do caráter local da derivada, f′(x)=0f'(x) = 0. A derivada se anula em todo o intervalo (s,t)\ioo{s}{t}, contido em II. Se f′f' se anula somente em um número finito de pontos, não há tal intervalo, porque todo intervalo (p,q)\ioo{p}{q} com p<qp < q tem infinitos pontos.

A função x+sin⁡xx + \sin x, do problema resolvido 1 da aula sobre a derivada da função inversa, tem derivada 1+cos⁡x≥01 + \cos x \geq 0, que se anula nos infinitos pontos π+2kπ\pi + 2k\pi; entre dois deles consecutivos a derivada é positiva, e nenhum intervalo é formado por zeros. A proposição a torna estritamente crescente em R\mathbb{R}, o que aquela aula obteve com a fórmula da diferença de dois senos e ali parecia surpreendente. O mesmo raciocínio admite um número finito de pontos sem derivada: se ff é contínua em II e tem derivada positiva em todos os seus pontos interiores exceto em x1<⋯<xkx_1 < \dots < x_k, o teorema a torna estritamente crescente em cada intervalo entre dois desses pontos consecutivos (e nos intervalos extremos), e as desigualdades se combinam. Assim, x3\sqrt[3]{x} é estritamente crescente em R\mathbb{R}, embora não seja derivável em 00. A continuidade não pode ser suprimida (problema proposto 1).

CorolárioDerivada positiva e função inversa

Seja ff contínua em um intervalo II com mais de um ponto e derivável em cada ponto interior de II, com f′(x)>0f'(x) > 0 em cada um, ou com f′(x)<0f'(x) < 0 em cada um. Então ff é estritamente monótona em II, sua imagem J=f(I)J = f(I) é um intervalo e a inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I é contínua; em cada ponto b=f(a)b = f(a), com aa interior a II, a inversa é derivável, e (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}. O teorema dá a monotonia estrita, que é a hipótese do teorema da derivada da função inversa.

Demonstração

  1. x<y→f(x)<f(y),J=f(I)x < y \rightarrow \resaltar{f(x) < f(y)}, \qquad J = f(I)

    Pelo teorema, ff é estritamente crescente, ou estritamente decrescente, em II. Pelos corolários da imagem de um intervalo e da continuidade da inversa, da aula sobre o teorema do valor intermediário, JJ é um intervalo e f−1f^{-1} é contínua em JJ.

  2. (f−1)′(b)=1f′(a)\left(f^{-1}\right)'(b) = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Se aa é interior, ff é derivável em aa com f′(a)≠0f'(a) \neq 0, e o teorema da derivada da função inversa, da aula sobre a derivada da função inversa, dá a derivada de f−1f^{-1} em b=f(a)b = f(a).

As avaliações da unidade sobre as derivadas davam por sabido que x5+xx^5 + x e x3+2x+1x^3 + 2x + 1 são estritamente crescentes em R\mathbb{R}; agora basta observar que suas derivadas, 5x4+15x^4 + 1 e 3x2+23x^2 + 2, são positivas. E o desafio da inversa de xexx e^x, na síntese daquela unidade, que pedia demonstrar sem o sinal da derivada que essa função é estritamente crescente em [−1,∞)\ico{-1}{\infty}, resolve-se agora em uma linha: é contínua ali e sua derivada, (1+x)ex(1 + x) e^x, é positiva em (−1,∞)\ioo{-1}{\infty}.