अवकलज: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ अवकलजों वाली इकाई को समाप्त करता है। यह एक ही निगमनात्मक शृंखला में वह सब एकत्र करता है जो इकाई के दस पाठों ने सिद्ध किया: अंतर-भागफल की सीमा के रूप में अवकलज, उसके तीन तुल्य अभिलक्षण और अवकलन के नियम, जो सभी काराथेओडोरी गुणनखंडन से, शून्य हो सकने वाली राशियों से भाग दिए बिना, प्राप्त होते हैं, और साथ में प्रारंभिक फलनों के अवकलज और शृंखला नियम; मध्यवर्ती मान प्रमेय और प्रतिलोम का सांतत्य, जिन पर प्रतिलोम फलन का अवकलज टिका है, और किसी भी आधार की घातों तथा चरघातांकी फलनों का प्राकृतिक चरघातांकी फलन में रूपांतरण; और उच्च कोटि के अवकलज, अवकल और परिवर्तन की दरें। यह समझाता है कि इकाई पूर्ववर्ती इकाई पर और बीजगणित और ज्यामिति I और II पर कैसे टिकी है, और अवकलजों के अनुप्रयोगों की तैयारी कैसे करती है। अंत में एक समापन मूल्यांकन है, जो प्रवेश मूल्यांकन के समानांतर है, और दस चुनौतियाँ हैं, जो पाठों की समस्याओं से कठिन हैं और जिनमें से प्रत्येक उनमें से कई पाठों के परिणामों को जोड़ती है।

अधिगम उद्देश्य

इकाई की मुख्य परिभाषाओं और प्रमेयों को तार्किक क्रम में प्रस्तुत करना, यह बताते हुए कि प्रत्येक किन पूर्ववर्ती परिणामों पर निर्भर है और किन प्रमाणों में काराथेओडोरी गुणनखंडन का फिर से उपयोग होता है।
इकाई जो स्वीकार करती है उसे उससे अलग करना जो वह सिद्ध करती है, और प्रत्येक परिणाम की परिकल्पनाओं को पहचानना, जैसे प्रतिलोम के अवकलज की परिकल्पना या वह जिसकी अस्पष्ट अवकलन को आवश्यकता होती है।
इकाई के परिणामों को सीमाओं और सांतत्य वाली इकाई से, बीजगणित और ज्यामिति I और II से और अवकलजों के अनुप्रयोगों से जोड़ना।
ऐसी गैर-नैत्यिक समस्याएँ हल करना जो अवकलज की परिभाषा, नियमों, शृंखला नियम, मध्यवर्ती मान, प्रतिलोम के अवकलज, चर घातांक वाली घातों, उच्च कोटि के अवकलजों, अवकल और परिवर्तन की दरों को जोड़ती हैं।

इकाई की उपलब्धियाँ

पूरी इकाई एक विचार पर टिकी है: अवकलज एक सीमा है, और पूर्ववर्ती इकाई उसकी गणना करने और उसे सँभालने के लिए आवश्यक सब कुछ पहले ही दे चुकी थी। परंतु अंतर-भागफल एक भाग है, और ऐसी वृद्धि से भाग देना जो शून्य हो सकती है, दोषपूर्ण प्रमाणों का स्रोत है। काराथेओडोरी अभिलक्षण भाग के स्थान पर एक गुणनफल रखता है, जिसमें एक गुणनखंड $\varphi$ है जो $a$ पर संतत है:

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

इसके साथ, यह सिद्ध करना कि कोई फलन अवकलनीय है, उसकी वृद्धि को एक संतत गुणनखंड के साथ गुणनखंडित करने में बदल जाता है, और गुणनखंड का सांतत्य पूर्ववर्ती इकाई के प्रमेय तय करते हैं। इसी प्रकार रैखिक संयोजन, गुणनफल और व्युत्क्रम के नियम, शृंखला नियम और प्रतिलोम फलन का अवकलज प्राप्त हुए, और प्रत्येक ने पहले वालों को दोबारा बनाने के बजाय उनका हवाला दिया।

परिभाषा और नियम

सीमा के रूप में अवकलज वाला पाठ स्पर्श रेखा से और वेग से एक ही परिभाषा पर पहुँचा, और तय किया कि उसका अर्थ कहाँ है: प्रांत के किसी ऐसे बिंदु पर जो प्रांत का संचय बिंदु हो। उसने अवकलज को परिमाणित कथन के रूप में लिखा, एकपक्षीय अवकलजों को अंतर-भागफल की एकपक्षीय सीमाओं के रूप में परिभाषित किया, स्पर्श रेखा और अभिलंब, अवकलज फलन और लाइबनिज़ संकेतन को परिभाषित किया, और सिद्ध किया कि अवकलज के तीन तुल्य सूत्रण हैं: अंतर-भागफल की सीमा, सन्निकटन $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ और काराथेओडोरी गुणनखंडन। इस अंतिम से दो पंक्तियों में निकला कि अवकलनीयता से सांतत्य मिलता है; निरपेक्ष मान और घनमूल ने दिखाया कि उलटा नहीं। अवकलन के नियम वाले पाठ ने पहले सिद्ध किया कि अवकलज केवल उस पर निर्भर करता है जो बिंदु के निकट घटता है, और फिर, गुणनखंडनों को जोड़कर, रैखिक संयोजन, गुणनफल, व्युत्क्रम और भागफल के नियम; उनसे उसने पूर्णांक घातांक वाली घातों, बहुपदों और परिमेय फलनों का अवकलन किया, और दो भागों के संधि बिंदु पर अवकलनीयता तय की, जहाँ सूत्रों के अवकलज पर्याप्त नहीं होते। प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ ने ज्या और कोज्या के अवकलज आधारभूत त्रिकोणमितीय सीमा और योग सूत्रों से, प्राकृतिक चरघातांकी फलन और $\ln \abs{x}$ के अवकलज महत्वपूर्ण सीमाओं से, शृंखला नियम या प्रतिलोम के नियम के बिना, और शेष त्रिकोणमितीय तथा अतिपरवलयिक फलनों के अवकलज नियमों से प्राप्त किए। शृंखला नियम वाले पाठ ने दो गुणनखंडनों को एक के बाद एक जोड़ा, समझाया कि $g(x) - g(a)$ से भाग देने वाला प्रमाण तब क्यों विफल होता है जब आंतरिक फलन अपना मान दोहराता है, संघटन के प्रांत का ध्यान रखा और नियम को लाइबनिज़ संकेतन में लिखा, जहाँ वह भिन्नों के निरसन जैसा दिखता है, यद्यपि वह ऐसा नहीं है।

सांतत्य, प्रतिलोम फलन और घातांक

मध्यवर्ती मान प्रमेय वाले पाठ ने बोलत्सानो प्रमेय को उन बिंदुओं के सुप्रीमम से, जहाँ फलन ऋणात्मक है, और चिह्न के संरक्षण से सिद्ध किया, और उससे मध्यवर्ती मान प्रमेय प्राप्त किया, यह कि संतत फलन के अंतर्गत किसी अंतराल का प्रतिबिंब अंतराल होता है, और यह कि किसी अंतराल पर संतत और दृढ़तः एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम संतत होता है; द्विभाजन विधि ने प्रमाण को एक प्रक्रिया में बदल दिया। प्रतिलोम फलन का अवकलज वाले पाठ ने काराथेओडोरी गुणनखंडन को उलटी ओर से पढ़ा: यदि $f'(a) \neq 0$ , तो गुणनखंड शून्य नहीं होता, और उसका व्युत्क्रम, संतत प्रतिलोम के साथ संघटित होकर, प्रतिलोम की वृद्धि को गुणनखंडित करता है; यदि $f'(a) = 0$ , तो शृंखला नियम प्रतिलोम को अवकलनीय होने से रोकता है। उस प्रमेय से उसने प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों, प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों, मूलों और परिमेय घातांक वाली घातों का अवकलन किया, और अस्पष्ट फलनों का अवकलन किया, हर स्थिति में यह मानकर कि वे विद्यमान और अवकलनीय हैं। घातांक में चर वाले पाठ ने सब कुछ प्राकृतिक चरघातांकी फलन में रूपांतरित किया, $a^x = e^{x \ln a}$ और $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ के द्वारा: उसने किसी भी आधार वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक, वास्तविक घातांक वाली घातों और चर आधार तथा चर घातांक वाली घातों का अवकलन किया, लघुगणक लेने से पहले अवकलनीयता सिद्ध करके लघुगणकीय अवकलन का औचित्य दिया, और मूल बिंदु से होकर जाने वाली लघुगणक की स्पर्श रेखा से तय किया कि $\pi^e < e^\pi$ ।

उच्च कोटि के अवकलज और परिवर्तन की दरें

उच्च कोटि के अवकलज और अवकल वाले पाठ ने उच्च कोटि के अवकलजों को, उनके प्रांत सहित, पुनरावर्तन से परिभाषित किया, और आगमन से घातों, चरघातांकी फलन, ज्या और कोज्या के कोटि $n$ के अवकलजों के सूत्र सिद्ध किए, और लाइबनिज़ नियम, जिसके गुणांक न्यूटन के द्विपद प्रमेय वाले हैं। उसने $\mathrm{d}y$ और $\mathrm{d}x$ को अलग-अलग अर्थ दिया: अवकल $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ वृद्धि का वह एकमात्र रैखिक भाग है जो उससे $\Delta x$ की तुलना में नगण्य राशि से अलग होता है; उसने इसका उपयोग मानों के सन्निकटन और त्रुटियों के संचरण के आकलन के लिए किया, सन्निकटन की त्रुटि का परिबंध दिए बिना, जिसके लिए बाद के उपकरण चाहिए। परिवर्तन की दरें वाले पाठ ने अवकलज को उस गति के रूप में पढ़ा जिससे कोई राशि बदलती है: उसने औसत, तात्क्षणिक और सापेक्ष दर में अंतर किया, स्थिर सापेक्ष दर वाली वृद्धि का अभिलक्षण दिया, सरल रेखा पर गति का वर्णन वेग, चाल और त्वरण से किया, सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न निकटवर्ती मानों के बारे में क्या कहता है, और उससे अधिक नहीं, और संबंधित दरों के लिए एक स्पष्ट विधि शृंखला नियम पर स्थापित की।

क्या स्वीकार किया जाता है, क्या सिद्ध किया जाता है और क्या शेष रहता है

इकाई का लेखा-जोखा इस प्रकार संक्षेप में कहा जा सकता है:

स्वीकार किए जाते हैं पूर्णता अभिगृहीत, जिसका इस इकाई में प्रत्यक्ष उपयोग केवल बोलत्सानो प्रमेय करता है, सीमाओं और सांतत्य वाली इकाई के प्रमेय, और बीजगणित और ज्यामिति में सिद्ध परिणाम: योग सूत्र, आधारभूत सर्वसमिकाएँ, घातांकों और लघुगणकों के नियम, असमिका $e^x \geq 1 + x$ , उन फलनों की एकदिष्टता जो प्रतिलोमों को परिभाषित करते हैं, आगमन और न्यूटन का द्विपद प्रमेय। इसके अतिरिक्त, हर स्थिति में यह माना जाता है कि जब किसी समीकरण का अस्पष्ट अवकलन किया जाता है, तो वह एक अवकलनीय फलन परिभाषित करता है।
वे तथ्य सिद्ध किए जाते हैं जिन्हें बीजगणित और ज्यामिति ने स्वीकार या घोषित किया था: मध्यवर्ती मान प्रमेय, यह कि $e^x$ के आलेख की $(0, 1)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $1$ है, और यह कि $e$ वह एकमात्र आधार है जिसके चरघातांकी फलन की यह प्रवणता है; और स्पर्श रेखा, जो शंकु परिच्छेदों के लिए उस रेखा के रूप में परिभाषित थी जो वक्र को छूती है पर काटती नहीं, अब किसी भी आलेख के लिए परिभाषित होती है।
युक्तियों को दोहराने के बजाय चार उपकरणों का फिर से उपयोग होता है: काराथेओडोरी गुणनखंडन, यह प्रमेय कि अवकलनीयता से सांतत्य मिलता है, अवकलज की स्थानीय प्रकृति और चिह्न का संरक्षण।
बाद के लिए वह शेष रहता है जिसके लिए किसी बिंदु पर अवकलज से अधिक चाहिए: माध्यमान प्रमेय और जो उससे निकलता है, अवकलज के चिह्न से एकदिष्टता, चरम मान, लोपिताल नियम और अवकल की त्रुटि के परिबंध, आगे की इकाई में; टेलर बहुपद और समाकल, कलन II में; और वह प्रमेय जो अस्पष्ट फलनों की गारंटी देता है, अनेक चरों के कलन में।

निम्नलिखित आरेख तीनों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ता है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप द्वारा उन पूर्ववर्ती कड़ियों से जुड़ी है जिनका उसका प्रमाण प्रयोग करता है; उसके चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिन पर शृंखला बार-बार लौटती है, और प्रत्येक एक ठोस रेखा द्वारा उन कड़ियों से जुड़ा है जो उस पर टिकी हैं और एक बिंदुदार रेखा द्वारा उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो पूर्ववर्ती इकाई से या बीजगणित और ज्यामिति से आते हैं, जिन्हें वलयों के रूप में खींचा गया है। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका प्रयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जहाँ वह सिद्ध की गई है।

शृंखला के आधार

Aपूर्णता अभिगृहीत. बीजगणित और ज्यामिति I से यह स्वीकार किया जाता है कि वास्तविक संख्याएँ एक पूर्ण क्रमित क्षेत्र बनाती हैं: वास्तविक संख्याओं के हर अरिक्त, ऊपर से परिबद्ध समुच्चय का सुप्रीमम होता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Bइकाई 1 की विरासत. सीमाओं और सांतत्य वाली इकाई में सिद्ध परिणाम: सीमाओं का बीजगणित, प्रतिबंध की सीमा और संघटन की सीमा सहित; एकपक्षीय सीमाएँ; सांतत्य, संक्रियाओं का सांतत्य और संघटन का सांतत्य; प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और ऐसे एकदिष्ट फलन के प्रतिलोम का सांतत्य जिसका प्रतिबिंब एक अंतराल है; $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ और $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ की $0$ पर सीमाएँ; और छोटा $\operatorname{o}$ तथा तुल्यता। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Cचिह्न का संरक्षण. सीमाओं और सांतत्य वाली इकाई में सिद्ध: यदि $f$ , $a$ पर, किसी सीमा $L \neq 0$ की ओर अग्रसर हो, तो $a$ के निकट फलन का चिह्न $L$ वाला होता है; और यदि $f$ , $a$ पर संतत हो और $f(a) \neq 0$ , तो $a$ के निकट उसका चिह्न $f(a)$ वाला होता है और वह शून्य नहीं होता। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Dबीजगणित और ज्यामिति की विरासत. बीजगणित और ज्यामिति I और II में सिद्ध परिणाम: आगमन, न्यूटन का द्विपद प्रमेय और पास्कल नियम; त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक योग सूत्र और आधारभूत सर्वसमिकाएँ; घातांकों और लघुगणकों के नियम, आधार परिवर्तन और असमिका $e^x \geq 1 + x$ ; और उन प्रतिबंधों की एकदिष्टता जो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करते हैं, तथा अतिपरवलयिक फलनों की एकदिष्टता। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Eकाराथेओडोरी गुणनखंडन. $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, $f'(a) = L$ के साथ, यदि और केवल यदि कोई $\varphi$ विद्यमान है, जो $a$ पर संतत है, जिसके लिए $\varphi(a) = L$ और पूरे प्रांत में $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ : अवकलन के लिए भाग दिए बिना वृद्धि को गुणनखंडित करना पर्याप्त है। स्थापित होता है: 3. तीन अभिलक्षण.
Fअवकलनीयता से सांतत्य. किसी बिंदु पर अवकलनीय हर फलन उस बिंदु पर संतत होता है; नियम इसका उपयोग करते हैं ताकि काराथेओडोरी गुणनखंड संतत हो। स्थापित होता है: 4. अवकलनीयता से सांतत्य.
Gस्थानीय प्रकृति. $a$ पर अवकलज तब नहीं बदलता जब फलन को ऐसे समुच्चय तक प्रतिबंधित किया जाए जिसका $a$ संचय बिंदु बना रहे, और वह केवल $a$ के निकट के मानों पर निर्भर करता है; इसीलिए प्रांतों के सर्वनिष्ठ में या किसी विवृत अंतराल में काम किया जाता है। स्थापित होता है: 5. अवकलज की स्थानीय प्रकृति.

खंड 1 परिभाषा और नियम
- प्रांत के संचय बिंदु पर अवकलज को अंतर-भागफल की सीमा के रूप में, उसके एकपक्षीय अवकलजों सहित, परिभाषित करना, और उसे परिमाणित कथन के रूप में लिखना।
- अंतर-भागफल, रैखिक सन्निकटन और काराथेओडोरी गुणनखंडन की तुल्यता सिद्ध करना, और निष्कर्ष निकालना कि अवकलनीयता से सांतत्य मिलता है, पर उलटा नहीं।
- वृद्धियों से भाग दिए बिना, गुणनखंडनों से रैखिक संयोजन, गुणनफल, व्युत्क्रम और भागफल के नियम प्राप्त करना, और बहुपदों, परिमेय फलनों और भागों में परिभाषित फलनों का अवकलन करना।
- पूर्ववर्ती इकाई की सीमाओं से त्रिकोणमितीय फलनों, चरघातांकी फलन, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलनों का अवकलन करना, और शृंखला नियम से उनके संघटनों का।
1. अवकलज की परिभाषा. यदि $a$ , प्रांत $A$ का अवयव है ( $f$ का प्रांत) और $A$ का संचय बिंदु है, तो $f'(a) = L$ का अर्थ है कि $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; तुल्य रूप से, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ ।
  आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: फलन की सीमा के रूप में अवकलज.
2. एकपक्षीय अवकलज. एकपक्षीय अवकलज $f'_+(a)$ और $f'_-(a)$ अंतर-भागफल की एकपक्षीय सीमाएँ हैं; यदि $a$ दोनों पक्षों से प्रांत का संचय बिंदु है, तो $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि दोनों विद्यमान और बराबर हों, और यदि वह केवल एक पक्ष से ऐसा है, तो अवकलज उसी पक्ष का होता है।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: फलन की सीमा के रूप में अवकलज.
3. तीन अभिलक्षण. निम्नलिखित तुल्य हैं: $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ जब $h$ , $0$ की ओर अग्रसर हो; और ऐसे फलन $\varphi$ का अस्तित्व, जो $a$ पर संतत है, जिसके लिए $\varphi(a) = L$ , और $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ प्रांत के हर $x$ के लिए।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: फलन की सीमा के रूप में अवकलज.
4. अवकलनीयता से सांतत्य. यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो वह $a$ पर संतत है; विलोम असत्य है: $\abs{x}$ और $\sqrt[3]{x}$ , $0$ पर संतत हैं और $0$ पर अवकलनीय नहीं हैं।
  उपयोग करती है: 2. एकपक्षीय अवकलज, 3. तीन अभिलक्षण. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), E (काराथेओडोरी गुणनखंडन). सिद्ध किया गया: फलन की सीमा के रूप में अवकलज.
5. अवकलज की स्थानीय प्रकृति. यदि $F$ , $f$ का ऐसे समुच्चय $B$ तक प्रतिबंध है जिसमें $a$ है और जिसका $a$ संचय बिंदु है, और $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो $F'(a) = f'(a)$ ; और यदि $B$ में प्रांत के वे सभी बिंदु हैं जो $a$ के निकट हैं, तो $f$ , $a$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि $F$ ऐसा है।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: अवकलन के नियम.
6. रैखिक संयोजन और गुणनफल. यदि $f$ और $g$ , $a$ पर अवकलनीय हैं, तो $\alpha f + g$ और $fg$ भी हैं, और $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ तथा $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ ।
  उपयोग करती है: 3. तीन अभिलक्षण, 4. अवकलनीयता से सांतत्य. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), E (काराथेओडोरी गुणनखंडन), F (अवकलनीयता से सांतत्य). सिद्ध किया गया: अवकलन के नियम.
7. व्युत्क्रम और भागफल. यदि $f$ और $g$ , $a$ पर अवकलनीय हैं और $g(a) \neq 0$ , तो $a$ , $\frac{f}{g}$ के प्रांत का संचय बिंदु है, और $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ तथा $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ सत्य हैं।
  उपयोग करती है: 3. तीन अभिलक्षण, 4. अवकलनीयता से सांतत्य, 5. अवकलज की स्थानीय प्रकृति, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), C (चिह्न का संरक्षण), E (काराथेओडोरी गुणनखंडन), F (अवकलनीयता से सांतत्य), G (स्थानीय प्रकृति). सिद्ध किया गया: अवकलन के नियम.
8. घातें, बहुपद और परिमेय फलन. प्रत्येक पूर्णांक $m \neq 0$ के लिए, $x^m$ का अवकलज उसके पूरे प्रांत में $m x^{m - 1}$ है; हर बहुपद $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, अवकलज पद-दर-पद लेकर, और हर परिमेय फलन अपने प्रांत पर अवकलनीय है।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 7. व्युत्क्रम और भागफल. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: अवकलन के नियम.
9. संधि बिंदु पर अवकलज. यदि $f$ , $g$ के साथ $c$ के बाईं ओर और $h$ के साथ दाईं ओर संपाती है, जहाँ $g$ और $h$ , $c$ पर अवकलनीय हैं, तो $f$ , $c$ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि $g(c) = f(c) = h(c)$ और $g'(c) = h'(c)$ ; सूत्रों के अवकलजों की तुलना पर्याप्त नहीं है।
  उपयोग करती है: 2. एकपक्षीय अवकलज, 4. अवकलनीयता से सांतत्य. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), F (अवकलनीयता से सांतत्य). सिद्ध किया गया: अवकलन के नियम.
10. त्रिकोणमितीय फलन. प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ और $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; जहाँ $\cos x \neq 0$ , वहाँ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; और कोटिस्पर्शज्या, छेदक और व्युत्क्रमज्या का अवकलन भागफल और व्युत्क्रम से होता है।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 7. व्युत्क्रम और भागफल. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों के अवकलज.
11. चरघातांकी, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ , $\mathbb{R}$ पर, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ , $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ पर, और $\sinh x$ , $\cosh x$ और $\tanh x$ के अवकलज क्रमशः $\cosh x$ , $\sinh x$ और $\frac{1}{\cosh^2 x}$ हैं।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 7. व्युत्क्रम और भागफल. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: प्रारंभिक फलनों के अवकलज.
12. शृंखला नियम. यदि $g$ , $a$ पर अवकलनीय है और $f$ , जो ऐसे समुच्चय पर परिभाषित है जिसमें $g$ के मान हैं, $g(a)$ पर अवकलनीय है, तो $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; $g(x) - g(a)$ से भाग देने वाला प्रमाण केवल तब मान्य है जब $g'(a) \neq 0$ ।
  उपयोग करती है: 3. तीन अभिलक्षण, 4. अवकलनीयता से सांतत्य. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), C (चिह्न का संरक्षण), E (काराथेओडोरी गुणनखंडन), F (अवकलनीयता से सांतत्य). सिद्ध किया गया: फलनों के संघटन के अवकलज के लिए शृंखला नियम.
13. प्रचलित संघटन. नियम $f \circ g$ के प्रांत पर तब मान्य है जब $a$ उसका संचय बिंदु हो, जो तब होता है जब $f$ के प्रांत में केंद्र $g(a)$ वाला कोई अंतराल हो; उससे, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ प्रत्येक पूर्णांक $m \neq 0$ के लिए, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ यदि $g(a) > 0$ , और $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ ।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 5. अवकलज की स्थानीय प्रकृति, 8. घातें, बहुपद और परिमेय फलन, 10. त्रिकोणमितीय फलन, 12. शृंखला नियम. आधार: C (चिह्न का संरक्षण), F (अवकलनीयता से सांतत्य), G (स्थानीय प्रकृति). सिद्ध किया गया: फलनों के संघटन के अवकलज के लिए शृंखला नियम.
खंड 2 सांतत्य, प्रतिलोम फलन और घातांक
- सुप्रीमम से बोलत्सानो प्रमेय सिद्ध करना और उससे मध्यवर्ती मान प्रमेय, यह कि संतत फलन के अंतर्गत अंतराल का प्रतिबिंब अंतराल है, और यह कि संतत और दृढ़तः एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम संतत है।
- काराथेओडोरी गुणनखंडन को उलटी ओर से पढ़कर प्रतिलोम फलन का अवकलज सिद्ध करना, और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों, प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों, मूलों और परिमेय घातांक वाली घातों का अवकलन करना।
- अस्पष्ट फलनों का अवकलन करना, अवकलज की गणना को उसके अस्तित्व के प्रमाण से अलग रखते हुए।
- किसी भी आधार वाले चरघातांकी फलनों और लघुगणकों तथा वास्तविक घातांक वाली या चर आधार और चर घातांक वाली घातों को प्राकृतिक चरघातांकी फलन में रूपांतरित करना, और लघुगणकीय अवकलन का औचित्य देना।
1. बोलत्सानो प्रमेय. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है और $f(a) < 0 < f(b)$ या $f(a) > 0 > f(b)$ , तो कोई $c$ विद्यमान है, जो $\ioo{a}{b}$ में है, जिसके लिए $f(c) = 0$ ।
  आधार: A (पूर्णता अभिगृहीत), C (चिह्न का संरक्षण). सिद्ध किया गया: मध्यवर्ती मान प्रमेय.
2. मध्यवर्ती मान प्रमेय. यदि $f$ , $\icc{a}{b}$ पर संतत है, तो वह $f(a)$ और $f(b)$ के बीच का हर मान ग्रहण करता है; अतः संतत फलन के अंतर्गत किसी अंतराल का प्रतिबिंब अंतराल होता है।
  उपयोग करती है: 14. बोलत्सानो प्रमेय. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: मध्यवर्ती मान प्रमेय.
3. प्रतिलोम का सांतत्य. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत और दृढ़तः एकदिष्ट है, तो उसका प्रतिलोम अंतराल $f(I)$ पर संतत है।
  उपयोग करती है: 15. मध्यवर्ती मान प्रमेय. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: मध्यवर्ती मान प्रमेय.
4. प्रतिलोम फलन का अवकलज. यदि $f$ किसी अंतराल $I$ पर, जिसमें एक से अधिक बिंदु हैं, संतत और दृढ़तः एकदिष्ट है और $a$ पर अवकलनीय है, $f'(a) \neq 0$ के साथ, तो $f^{-1}$ , $b = f(a)$ पर अवकलनीय है, और $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; यदि $f'(a) = 0$ , तो $f^{-1}$ , $b$ पर अवकलनीय नहीं है।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 3. तीन अभिलक्षण, 12. शृंखला नियम, 15. मध्यवर्ती मान प्रमेय, 16. प्रतिलोम का सांतत्य. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), E (काराथेओडोरी गुणनखंडन). सिद्ध किया गया: प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन.
5. प्रारंभिक प्रतिलोम फलन और मूल. अपने अवकलनीयता के प्रांतों में, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ और $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ अपने प्रांत के हर $x \neq 0$ पर अवकलनीय है और $0$ पर नहीं; और $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ , $\ioo{0}{\infty}$ पर।
  उपयोग करती है: 8. घातें, बहुपद और परिमेय फलन, 10. त्रिकोणमितीय फलन, 11. चरघातांकी, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन, 13. प्रचलित संघटन, 17. प्रतिलोम फलन का अवकलज. आधार: B (इकाई 1 की विरासत), D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन.
6. आधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक. यदि $a > 0$ और $a \neq 1$ , तो $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ और $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; और यदि $u$ किसी बिंदु पर अवकलनीय है, तो $e^{u(x)}$ भी, अवकलज $e^{u(x)} u'(x)$ के साथ, और यदि इसके अतिरिक्त $u$ वहाँ शून्य नहीं होता, तो $\ln \abs{u(x)}$ भी, अवकलज $\frac{u'(x)}{u(x)}$ के साथ।
  उपयोग करती है: 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 11. चरघातांकी, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन, 12. शृंखला नियम, 13. प्रचलित संघटन. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन.
7. वास्तविक और चर घातांक वाली घातें. प्रत्येक वास्तविक $r$ के लिए, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ , $\ioo{0}{\infty}$ पर; और यदि $f$ , धनात्मक मानों वाला, और $g$ , $a$ पर अवकलनीय हैं, तो $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , $a$ पर अवकलनीय है, और $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ ।
  उपयोग करती है: 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 11. चरघातांकी, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन, 12. शृंखला नियम, 19. आधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन.
8. लघुगणकीय अवकलन. यदि $f_1, \ldots, f_k$ , $a$ पर अवकलनीय हैं और $a$ पर शून्य नहीं होते, और $f_j$ धनात्मक है जब $r_j$ पूर्णांक नहीं है, तो $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ , $a$ पर अवकलनीय है, और $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; अवकलनीयता लघुगणक लेने से पहले सिद्ध की जाती है।
  उपयोग करती है: 4. अवकलनीयता से सांतत्य, 5. अवकलज की स्थानीय प्रकृति, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 13. प्रचलित संघटन, 19. आधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक, 20. वास्तविक और चर घातांक वाली घातें. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), F (अवकलनीयता से सांतत्य), G (स्थानीय प्रकृति). सिद्ध किया गया: घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन.
9. पाई घात e और e घात पाई. प्रत्येक $x > 0$ के लिए $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ सत्य है, समता केवल तब जब $x = e$ , क्योंकि लघुगणक अपनी स्पर्श रेखा $y = \frac{x}{e}$ के नीचे रहता है; विशेष रूप से, $\pi^e < e^\pi$ ।
  उपयोग करती है: 11. चरघातांकी, लघुगणक और अतिपरवलयिक फलन. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन.
खंड 3 उच्च कोटि के अवकलज और परिवर्तन की दरें
- उच्च कोटि के अवकलजों को परिभाषित करना और आगमन से घातों, चरघातांकी फलन, ज्या और कोज्या के कोटि $n$ के अवकलजों के सूत्र और लाइबनिज़ नियम सिद्ध करना।
- $\mathrm{d}y$ और $\mathrm{d}x$ को अलग-अलग अर्थ देना, सिद्ध करना कि अवकल वृद्धि का मुख्य भाग है, और उसका उपयोग सन्निकटन और त्रुटियों के आकलन के लिए करना, उनका परिबंध दिए बिना।
- अवकलज को औसत, तात्क्षणिक और सापेक्ष परिवर्तन दर के रूप में पढ़ना, और उससे सरल रेखा पर गति का वर्णन करना।
- शृंखला नियम और एक स्पष्ट विधि से संबंधित दरों की समस्याएँ हल करना।
1. उच्च कोटि के अवकलज. $f^{(0)} = f$ और $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , जहाँ प्रत्येक का प्रांत उन बिंदुओं से बना है जिन पर उससे ठीक पहले वाला अवकलज अवकलनीय है; यदि $f$ और $g$ किसी विवृत अंतराल पर $n$ बार अवकलनीय हैं, तो $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ ।
  उपयोग करती है: 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत), G (स्थानीय प्रकृति). सिद्ध किया गया: उच्च कोटि के अवकलज और अवकल.
2. कोटि n के अवकलज. $\ioo{0}{\infty}$ पर, $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; प्रत्येक वास्तविक $x$ के लिए, $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ और $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; और बहुपद $f$ के गुणांक संख्याएँ $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ हैं।
  उपयोग करती है: 8. घातें, बहुपद और परिमेय फलन, 13. प्रचलित संघटन, 19. आधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक, 20. वास्तविक और चर घातांक वाली घातें, 23. उच्च कोटि के अवकलज. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: उच्च कोटि के अवकलज और अवकल.
3. लाइबनिज़ नियम. यदि $f$ और $g$ किसी विवृत अंतराल पर $n$ बार अवकलनीय हैं, तो $fg$ भी है, और $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ ।
  उपयोग करती है: 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 23. उच्च कोटि के अवकलज. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: उच्च कोटि के अवकलज और अवकल.
4. अवकल. यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय है, तो वृद्धि $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ , $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ को संतुष्ट करती है, जहाँ $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , और $\Delta x$ का कोई अन्य रैखिक फलन इसे संतुष्ट नहीं करता; यदि $f'(a) \neq 0$ , तो $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; और यदि $w = f(u)$ , तो $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ ।
  उपयोग करती है: 3. तीन अभिलक्षण, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल, 7. व्युत्क्रम और भागफल, 12. शृंखला नियम. आधार: B (इकाई 1 की विरासत). सिद्ध किया गया: उच्च कोटि के अवकलज और अवकल.
5. स्थिर सापेक्ष दर. यदि $y(t) = y_0 e^{kt}$ , जहाँ $y_0 > 0$ और $k \neq 0$ , तो सापेक्ष परिवर्तन दर $\frac{y'(t)}{y(t)}$ हर क्षण $k$ के बराबर है, और $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : राशि अवधि $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ के हर समय-अंतराल में दोगुनी हो जाती है, या आधी रह जाती है।
  उपयोग करती है: 19. आधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक. आधार: D (बीजगणित और ज्यामिति की विरासत). सिद्ध किया गया: परिवर्तन की दरें और संबंधित दरें.
6. किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न. यदि $f$ किसी विवृत अंतराल $I$ पर परिभाषित है, किसी बिंदु $a$ पर, जो $I$ में है, अवकलनीय है और $f'(a) > 0$ , तो कोई $\delta > 0$ विद्यमान है जिसके लिए, हर $x$ के लिए जो $I$ में है, $f(x) < f(a)$ यदि $a - \delta < x < a$ , और $f(x) > f(a)$ यदि $a < x < a + \delta$ ; इससे यह नहीं निकलता कि $f$ , $a$ के निकट वर्धमान है। इसी से चाल तब बढ़ती है जब वेग और त्वरण का चिह्न एक ही हो।
  उपयोग करती है: 1. अवकलज की परिभाषा, 6. रैखिक संयोजन और गुणनफल. आधार: C (चिह्न का संरक्षण). सिद्ध किया गया: परिवर्तन की दरें और संबंधित दरें.
7. संबंधित दरें. यदि $u$ , $t_0$ पर अवकलनीय है और $y(t) = g(u(t))$ , जहाँ $g$ , $u(t_0)$ पर अवकलनीय है, तो $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; और किसी अंतराल के हर क्षण बराबर दो व्यंजकों का, जो $t_0$ पर अवकलनीय हों, $t_0$ पर एक ही अवकलज होता है।
  उपयोग करती है: 12. शृंखला नियम. सिद्ध किया गया: परिवर्तन की दरें और संबंधित दरें.

अनुप्रयोगों की ओर. शृंखला वहाँ रुकती है जहाँ अवकलज अध्ययन का विषय नहीं रहता और उपकरण बन जाता है: आगे की इकाई वायरस्ट्रास के चरम मान प्रमेय से आरंभ होती है; किसी बिंदु पर अवकलज के चिह्न से फ़र्मा प्रमेय सिद्ध करती है, और उससे रोल प्रमेय और माध्यमान प्रमेय, जो अवकलज के चिह्न को एकदिष्टता में बदलते हैं और लोपिताल नियम, चरम मान, अवतलता और वे परिबंध देते हैं जो अवकल के पास नहीं हैं; और न्यूटन-रैफ़सन विधि के साथ समाप्त होती है, जो वक्र के स्थान पर उसकी स्पर्श रेखा रखती है।

इस पाठ के शेष भाग में

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई
समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
दो प्रवणताओं वाला एक मूल
एक मीनार की ऊँचाई
एक सीमा जो लघुगणकीय अवकलज है
वह वक्र जिस पर x घात y बराबर है y घात x के
दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ
लिफ़्ट से क्षितिज
x के वर्ग घटा एक की एक घात के अवकलज
मूल बिंदु पर व्युत्क्रम ज्या के अवकलज
x गुणा x के चरघातांकी फलन का प्रतिलोम
माध्यमान प्रमेय के बिना एक फलनीय समीकरण

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