Ableitungen: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über Ableitungen ab. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was die zehn Lektionen der Einheit bewiesen haben: die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten, ihre drei äquivalenten Charakterisierungen und die Ableitungsregeln, die alle aus der Carathéodory-Faktorisierung gewonnen werden, ohne durch Größen zu dividieren, die verschwinden können, zusammen mit den Ableitungen der elementaren Funktionen und der Kettenregel; den Zwischenwertsatz und die Stetigkeit der Umkehrfunktion, auf denen die Ableitung der Umkehrfunktion beruht, und die Rückführung von Potenzen und Exponentialfunktionen zu beliebiger Basis in die natürliche Exponentialfunktion; und die höheren Ableitungen, das Differential und die Änderungsraten. Sie erklärt, wie die Einheit auf der vorigen Einheit und auf Algebra und Geometrie I und II aufbaut und wie sie die Anwendungen der Ableitungen vorbereitet. Sie endet mit einem Abschlusstest, parallel zum Eingangstest, und mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen und von denen jede Ergebnisse aus mehreren von ihnen verbindet.

Lernziele

Die wichtigsten Definitionen und Sätze der Einheit in logischer Ordnung darlegen und dabei angeben, von welchen früheren Ergebnissen jeder abhängt und in welchen Beweisen die Carathéodory-Faktorisierung wiederverwendet wird.
Unterscheiden, was die Einheit annimmt und was sie beweist, und die Voraussetzungen jedes Ergebnisses erkennen, etwa die der Ableitung der Umkehrfunktion oder die, die das implizite Differenzieren verlangt.
Die Ergebnisse der Einheit mit der Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit, mit Algebra und Geometrie I und II und mit den Anwendungen der Ableitungen in Beziehung setzen.
Nicht routinemäßige Aufgaben lösen, die die Definition der Ableitung, die Regeln, die Kettenregel, den Zwischenwertsatz, die Ableitung der Umkehrfunktion, die Potenzen mit variablem Exponenten, die höheren Ableitungen, das Differential und die Änderungsraten verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Die ganze Einheit beruht auf einer Idee: Die Ableitung ist ein Grenzwert, und die vorige Einheit hatte bereits alles bereitgestellt, was nötig ist, um ihn zu berechnen und mit ihm umzugehen. Doch der Differenzenquotient ist eine Division, und durch einen Zuwachs zu dividieren, der verschwinden kann, ist die Quelle fehlerhafter Beweise. Die Carathéodory-Charakterisierung ersetzt die Division durch ein Produkt, mit einem Faktor $\varphi$ , der an der Stelle $a$ stetig ist:

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Mit ihr läuft der Beweis, dass eine Funktion differenzierbar ist, darauf hinaus, ihren Zuwachs mit einem stetigen Faktor zu faktorisieren, und über die Stetigkeit des Faktors entscheiden die Sätze der vorigen Einheit. So wurden die Regeln für Linearkombinationen, Produkte und Kehrwerte, die Kettenregel und die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen, wobei jede die früheren Ergebnisse zitiert, statt sie neu herzuleiten.

Die Definition und die Regeln

Die Lektion über die Ableitung als Grenzwert gelangte von der Tangente und von der Geschwindigkeit aus zur selben Definition und legte fest, wo sie sinnvoll ist: an einer Stelle des Definitionsbereichs, die Häufungspunkt desselben ist. Sie schrieb die Ableitung als quantifizierte Aussage, definierte die einseitigen Ableitungen als einseitige Grenzwerte des Differenzenquotienten, die Tangente und die Normale, die Ableitungsfunktion und die Leibniz-Notation und bewies, dass die Ableitung drei äquivalente Formulierungen zulässt: den Grenzwert des Differenzenquotienten, die Approximation $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ und die Carathéodory-Faktorisierung. Aus der letzten folgte in zwei Zeilen, dass differenzierbar stetig impliziert; der Betrag und die Kubikwurzel zeigten, dass die Umkehrung nicht gilt. Die Lektion über die Ableitungsregeln bewies zuerst, dass die Ableitung nur davon abhängt, was in der Nähe der Stelle geschieht, und danach, durch Kombination von Faktorisierungen, die Regeln für Linearkombinationen, Produkte, Kehrwerte und Quotienten; mit ihnen leitete sie die Potenzen mit ganzzahligem Exponenten, die Polynome und die rationalen Funktionen ab und entschied über die Differenzierbarkeit an der Nahtstelle zweier Stücke, wo die Ableitungen der Formeln nicht genügen. Die Lektion über die Ableitungen der elementaren Funktionen gewann die von Sinus und Kosinus aus dem trigonometrischen Fundamentalgrenzwert und den Additionstheoremen, die der natürlichen Exponentialfunktion und von $\ln \abs{x}$ aus den Standardgrenzwerten, ohne die Kettenregel und ohne die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion, und die der übrigen trigonometrischen Funktionen und der Hyperbelfunktionen mit den Regeln. Die Lektion über die Kettenregel setzte zwei Faktorisierungen ineinander ein, erklärte, warum der Beweis, der durch $g(x) - g(a)$ dividiert, scheitert, wenn die innere Funktion ihren Wert wiederholt, achtete auf den Definitionsbereich der Verkettung und schrieb die Regel in der Leibniz-Notation, wo sie wie ein Kürzen von Brüchen aussieht, ohne es zu sein.

Die Stetigkeit, die Umkehrfunktionen und die Exponenten

Die Lektion über den Zwischenwertsatz bewies den Satz von Bolzano mit dem Supremum der Stellen, an denen die Funktion negativ ist, und der Vorzeichenerhaltung, und gewann aus ihm den Zwischenwertsatz, die Aussage, dass das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion ein Intervall ist, und die Aussage, dass die Umkehrfunktion einer auf einem Intervall stetigen und streng monotonen Funktion stetig ist; das Bisektionsverfahren machte aus dem Beweis ein Verfahren. Die Lektion über die Ableitung der Umkehrfunktion las die Carathéodory-Faktorisierung in umgekehrter Richtung: Ist $f'(a) \neq 0$ , so verschwindet der Faktor nicht, und sein Kehrwert, verkettet mit der stetigen Umkehrfunktion, faktorisiert den Zuwachs der Umkehrfunktion; ist $f'(a) = 0$ , so verhindert die Kettenregel, dass die Umkehrfunktion differenzierbar ist. Mit diesem Satz leitete sie die Arkusfunktionen, die Areafunktionen, die Wurzeln und die Potenzen mit rationalem Exponenten ab, und sie leitete implizit definierte Funktionen ab, wobei sie jeweils voraussetzte, dass diese existieren und differenzierbar sind. Die Lektion über die Variable im Exponenten reduzierte alles auf die natürliche Exponentialfunktion, mit $a^x = e^{x \ln a}$ und $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : Sie leitete die Exponentialfunktion und den Logarithmus zu beliebiger Basis ab, die Potenzen mit reellem Exponenten und die mit variabler Basis und variablem Exponenten, begründete das logarithmische Differenzieren, indem sie die Differenzierbarkeit vor dem Logarithmieren bewies, und entschied, dass $\pi^e < e^\pi$ gilt, mit der Tangente an den Logarithmus, die durch den Ursprung geht.

Die höheren Ableitungen und die Änderungsraten

Die Lektion über höhere Ableitungen und das Differential definierte die höheren Ableitungen rekursiv, mit ihrem Definitionsbereich, und bewies durch Induktion die Formeln für die Ableitungen $n$ -ter Ordnung der Potenzen, der Exponentialfunktion, des Sinus und des Kosinus sowie die Leibniz-Regel, die die Koeffizienten des binomischen Lehrsatzes hat. Sie gab $\mathrm{d}y$ und $\mathrm{d}x$ je für sich einen Sinn: Das Differential $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ ist der einzige lineare Anteil des Zuwachses, der sich von diesem um eine gegenüber $\Delta x$ vernachlässigbare Größe unterscheidet; sie verwendete es, um Werte zu nähern und die Fehlerfortpflanzung abzuschätzen, ohne den Fehler der Näherung zu beschränken, was spätere Werkzeuge verlangt. Die Lektion über Änderungsraten las die Ableitung als das Maß dafür, wie schnell sich eine Größe ändert: Sie unterschied die mittlere, die momentane und die relative Änderungsrate, charakterisierte das Wachstum mit konstanter relativer Rate, beschrieb die geradlinige Bewegung mit der Geschwindigkeit, dem Geschwindigkeitsbetrag und der Beschleunigung, bewies, was das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle über die benachbarten Werte aussagt, und nicht mehr, und gründete auf die Kettenregel eine explizite Methode für gekoppelte Änderungsraten.

Was angenommen, was bewiesen wird und was bleibt

Die Bilanz der Einheit lässt sich so zusammenfassen:

Angenommen werden das Vollständigkeitsaxiom, das in dieser Einheit nur der Satz von Bolzano direkt verwendet, die Sätze der Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit und in Algebra und Geometrie bewiesene Ergebnisse: die Additionstheoreme, die grundlegenden Identitäten, die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze, die Ungleichung $e^x \geq 1 + x$ , die Monotonie der Funktionen, die die Umkehrfunktionen definieren, die Induktion und der binomische Lehrsatz. Außerdem wird jeweils vorausgesetzt, dass eine Gleichung eine differenzierbare Funktion definiert, wenn man sie implizit differenziert.
Bewiesen werden Tatsachen, die Algebra und Geometrie angenommen oder angekündigt hatte: der Zwischenwertsatz, die Aussage, dass die Tangente an den Graphen von $e^x$ im Punkt $(0, 1)$ die Steigung $1$ hat und dass $e$ die einzige Basis ist, deren Exponentialfunktion diese Steigung hat; und die Tangente, die für die Kegelschnitte als die Gerade definiert wurde, die die Kurve berührt, ohne sie zu schneiden, wird nun für jeden Graphen definiert.
Vier Werkzeuge werden wiederverwendet, statt Argumente zu wiederholen: die Carathéodory-Faktorisierung, der Satz, dass differenzierbar stetig impliziert, der lokale Charakter der Ableitung und die Vorzeichenerhaltung.
Für später bleibt, was mehr verlangt als die Ableitung an einer Stelle: der Mittelwertsatz und was aus ihm folgt, die Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, die Extrema, die Regel von L’Hospital und die Fehlerschranken für das Differential, in der nächsten Einheit; das Taylorpolynom und das Integral, in Analysis II; und der Satz, der die implizit definierten Funktionen sichert, in der Analysis mehrerer Veränderlicher.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die aus der vorigen Einheit oder aus Algebra und Geometrie stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AVollständigkeitsaxiom. Seit Algebra und Geometrie I wird angenommen, dass die reellen Zahlen einen vollständigen angeordneten Körper bilden: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BErbe aus Einheit 1. In der Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit bewiesene Ergebnisse: die Rechenregeln für Grenzwerte, mit dem Grenzwert einer Einschränkung und dem einer Verkettung; die einseitigen Grenzwerte; die Stetigkeit, die der Rechenoperationen und die der Verkettung; die Stetigkeit der elementaren Funktionen und der Umkehrfunktion einer monotonen Funktion, deren Bild ein Intervall ist; die Grenzwerte von $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ und $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ an der Stelle $0$ ; und das klein- $\operatorname{o}$ und die asymptotische Gleichheit. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CVorzeichenerhaltung. Bewiesen in der Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit: Strebt $f$ an der Stelle $a$ gegen einen Grenzwert $L \neq 0$ , so hat die Funktion nahe $a$ das Vorzeichen von $L$ ; und ist $f$ an der Stelle $a$ stetig mit $f(a) \neq 0$ , so hat sie nahe $a$ das Vorzeichen von $f(a)$ und verschwindet nicht. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DErbe aus Algebra und Geometrie. In Algebra und Geometrie I und II bewiesene Ergebnisse: die Induktion, der binomische Lehrsatz und die pascalsche Regel; die Additionstheoreme und die grundlegenden trigonometrischen und hyperbolischen Identitäten; die Potenz- und Logarithmengesetze, der Basiswechsel und die Ungleichung $e^x \geq 1 + x$ ; und die Monotonie der Einschränkungen, die die Arkusfunktionen definieren, und der Hyperbelfunktionen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
ECarathéodory-Faktorisierung. $f$ ist an der Stelle $a$ differenzierbar mit $f'(a) = L$ genau dann, wenn es eine Funktion $\varphi$ gibt, die an der Stelle $a$ stetig ist, mit $\varphi(a) = L$ und $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ auf dem ganzen Definitionsbereich: Zum Ableiten genügt es, den Zuwachs zu faktorisieren, ohne zu dividieren. Begründet in: 3. Drei Charakterisierungen.
FDifferenzierbar impliziert stetig. Jede an einer Stelle differenzierbare Funktion ist dort stetig; die Regeln verwenden dies, damit der Carathéodory-Faktor stetig wird. Begründet in: 4. Differenzierbar impliziert stetig.
GLokaler Charakter. Die Ableitung an der Stelle $a$ ändert sich nicht, wenn man die Funktion auf eine Menge einschränkt, für die $a$ noch Häufungspunkt ist, und sie hängt nur von den Werten nahe $a$ ab; deshalb arbeitet man auf dem Durchschnitt der Definitionsbereiche oder auf einem offenen Intervall. Begründet in: 5. Lokaler Charakter der Ableitung.

Abschnitt 1 Die Definition und die Regeln
- Die Ableitung an einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs als Grenzwert des Differenzenquotienten definieren, mit ihren einseitigen Ableitungen, und sie als quantifizierte Aussage schreiben.
- Die Äquivalenz von Differenzenquotient, linearer Approximation und Carathéodory-Faktorisierung beweisen und folgern, dass differenzierbar stetig impliziert, aber nicht umgekehrt.
- Mit Faktorisierungen, ohne durch Zuwächse zu dividieren, die Regeln für Linearkombinationen, Produkte, Kehrwerte und Quotienten gewinnen und Polynome, rationale Funktionen und stückweise definierte Funktionen ableiten.
- Die trigonometrischen Funktionen, die Exponentialfunktion, den Logarithmus und die Hyperbelfunktionen mit den Grenzwerten der vorigen Einheit ableiten, und ihre Verkettungen mit der Kettenregel.
1. Definition der Ableitung. Ist $a$ ein Element des Definitionsbereichs $A$ von $f$ , das Häufungspunkt von $A$ ist, so gilt $f'(a) = L$ , wenn $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; äquivalent dazu $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion.
2. Einseitige Ableitungen. Die einseitigen Ableitungen $f'_+(a)$ und $f'_-(a)$ sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten; ist $a$ von beiden Seiten Häufungspunkt des Definitionsbereichs, so ist $f$ an der Stelle $a$ genau dann differenzierbar, wenn beide existieren und gleich sind, und ist es das nur von einer Seite, so ist die Ableitung die dieser Seite.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion.
3. Drei Charakterisierungen. Äquivalent sind: $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ , wenn $h$ gegen $0$ strebt; und die Existenz einer Funktion $\varphi$ , die an der Stelle $a$ stetig ist, mit $\varphi(a) = L$ derart, dass $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ für jedes $x$ des Definitionsbereichs gilt.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion.
4. Differenzierbar impliziert stetig. Ist $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so ist sie an der Stelle $a$ stetig; die Umkehrung ist falsch: $\abs{x}$ und $\sqrt[3]{x}$ sind an der Stelle $0$ stetig und an der Stelle $0$ nicht differenzierbar.
  Verwendet: 2. Einseitige Ableitungen, 3. Drei Charakterisierungen. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), E (Carathéodory-Faktorisierung). Bewiesen in: Die Ableitung als Grenzwert einer Funktion.
5. Lokaler Charakter der Ableitung. Ist $F$ die Einschränkung von $f$ auf eine Menge $B$ , die $a$ enthält und für die $a$ Häufungspunkt ist, und ist $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so gilt $F'(a) = f'(a)$ ; und enthält $B$ alle Punkte des Definitionsbereichs nahe $a$ , so ist $f$ an der Stelle $a$ genau dann differenzierbar, wenn $F$ es ist.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Ableitungsregeln.
6. Linearkombination und Produkt. Sind $f$ und $g$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so sind es auch $\alpha f + g$ und $fg$ , mit $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ und $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  Verwendet: 3. Drei Charakterisierungen, 4. Differenzierbar impliziert stetig. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), E (Carathéodory-Faktorisierung), F (Differenzierbar impliziert stetig). Bewiesen in: Ableitungsregeln.
7. Kehrwert und Quotient. Sind $f$ und $g$ an der Stelle $a$ differenzierbar und ist $g(a) \neq 0$ , so ist $a$ Häufungspunkt des Definitionsbereichs von $\frac{f}{g}$ , und es gelten $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ und $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  Verwendet: 3. Drei Charakterisierungen, 4. Differenzierbar impliziert stetig, 5. Lokaler Charakter der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), C (Vorzeichenerhaltung), E (Carathéodory-Faktorisierung), F (Differenzierbar impliziert stetig), G (Lokaler Charakter). Bewiesen in: Ableitungsregeln.
8. Potenzen, Polynome und rationale Funktionen. Für jede ganze Zahl $m \neq 0$ ist die Ableitung von $x^m$ gleich $m x^{m - 1}$ auf dem ganzen Definitionsbereich; jedes Polynom ist auf $\mathbb{R}$ differenzierbar, mit der Ableitung Term für Term, und jede rationale Funktion ist auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt, 7. Kehrwert und Quotient. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Ableitungsregeln.
9. Ableitung an einer Nahtstelle. Stimmt $f$ mit $g$ links von $c$ und mit $h$ rechts davon überein, wobei $g$ und $h$ an der Stelle $c$ differenzierbar sind, so ist $f$ an der Stelle $c$ genau dann differenzierbar, wenn $g(c) = f(c) = h(c)$ und $g'(c) = h'(c)$ gelten; die Ableitungen der Formeln zu vergleichen genügt nicht.
  Verwendet: 2. Einseitige Ableitungen, 4. Differenzierbar impliziert stetig. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), F (Differenzierbar impliziert stetig). Bewiesen in: Ableitungsregeln.
10. Trigonometrische Funktionen. Für jede reelle Zahl $x$ gelten $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ und $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; wo $\cos x \neq 0$ ist, gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; und Kotangens, Sekans und Kosekans werden mit der Quotienten- und der Kehrwertregel abgeleitet.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt, 7. Kehrwert und Quotient. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Ableitungen der elementaren Funktionen.
11. Exponentialfunktion, Logarithmus und Hyperbelfunktionen. Es gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ auf $\mathbb{R}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ auf $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , und die Ableitungen von $\sinh x$ , $\cosh x$ und $\tanh x$ sind $\cosh x$ , $\sinh x$ und $\frac{1}{\cosh^2 x}$ .
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt, 7. Kehrwert und Quotient. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Ableitungen der elementaren Funktionen.
12. Kettenregel. Ist $g$ an der Stelle $a$ differenzierbar und ist $f$ , definiert auf einer Menge, die die Werte von $g$ enthält, an der Stelle $g(a)$ differenzierbar, so gilt $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; der Beweis, der durch $g(x) - g(a)$ dividiert, gilt nur, wenn $g'(a) \neq 0$ ist.
  Verwendet: 3. Drei Charakterisierungen, 4. Differenzierbar impliziert stetig. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), C (Vorzeichenerhaltung), E (Carathéodory-Faktorisierung), F (Differenzierbar impliziert stetig). Bewiesen in: Kettenregel für die Ableitung verketteter Funktionen.
13. Gebräuchliche Verkettungen. Die Regel gilt auf dem Definitionsbereich von $f \circ g$ , wenn $a$ Häufungspunkt desselben ist, was eintritt, wenn der Definitionsbereich von $f$ ein Intervall mit dem Mittelpunkt $g(a)$ enthält; mit ihr gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ für jede ganze Zahl $m \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ , falls $g(a) > 0$ , und $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 5. Lokaler Charakter der Ableitung, 8. Potenzen, Polynome und rationale Funktionen, 10. Trigonometrische Funktionen, 12. Kettenregel. Stützt sich auf: C (Vorzeichenerhaltung), F (Differenzierbar impliziert stetig), G (Lokaler Charakter). Bewiesen in: Kettenregel für die Ableitung verketteter Funktionen.
Abschnitt 2 Die Stetigkeit, die Umkehrfunktionen und die Exponenten
- Mit dem Supremum den Satz von Bolzano beweisen und mit ihm den Zwischenwertsatz, die Aussage, dass das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion ein Intervall ist, und die Aussage, dass die Umkehrfunktion einer stetigen und streng monotonen Funktion stetig ist.
- Die Ableitung der Umkehrfunktion beweisen, indem man die Carathéodory-Faktorisierung in umgekehrter Richtung liest, und die Arkusfunktionen, die Areafunktionen, die Wurzeln und die Potenzen mit rationalem Exponenten ableiten.
- Implizit definierte Funktionen ableiten und dabei die Berechnung der Ableitung vom Beweis ihrer Existenz unterscheiden.
- Die Exponentialfunktionen und Logarithmen zu beliebiger Basis und die Potenzen mit reellem Exponenten oder mit variabler Basis und variablem Exponenten auf die natürliche Exponentialfunktion reduzieren und das logarithmische Differenzieren begründen.
1. Satz von Bolzano. Ist $f$ auf $\icc{a}{b}$ stetig und gilt $f(a) < 0 < f(b)$ oder $f(a) > 0 > f(b)$ , so gibt es ein $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $f(c) = 0$ .
  Stützt sich auf: A (Vollständigkeitsaxiom), C (Vorzeichenerhaltung). Bewiesen in: Zwischenwertsatz.
2. Zwischenwertsatz. Ist $f$ auf $\icc{a}{b}$ stetig, so nimmt sie jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an; folglich ist das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion ein Intervall.
  Verwendet: 14. Satz von Bolzano. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Zwischenwertsatz.
3. Stetigkeit der Umkehrfunktion. Ist $f$ auf einem Intervall $I$ stetig und streng monoton, so ist ihre Umkehrfunktion auf dem Intervall $f(I)$ stetig.
  Verwendet: 15. Zwischenwertsatz. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Zwischenwertsatz.
4. Ableitung der Umkehrfunktion. Ist $f$ auf einem Intervall $I$ mit mehr als einem Punkt stetig und streng monoton und an der Stelle $a$ differenzierbar mit $f'(a) \neq 0$ , so ist $f^{-1}$ an der Stelle $b = f(a)$ differenzierbar, und es gilt $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; ist $f'(a) = 0$ , so ist $f^{-1}$ an der Stelle $b$ nicht differenzierbar.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 3. Drei Charakterisierungen, 12. Kettenregel, 15. Zwischenwertsatz, 16. Stetigkeit der Umkehrfunktion. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), E (Carathéodory-Faktorisierung). Bewiesen in: Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren.
5. Elementare Umkehrfunktionen und Wurzeln. Auf ihren Differenzierbarkeitsbereichen gelten $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ und $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ ist in jedem $x \neq 0$ ihres Definitionsbereichs differenzierbar und nicht in $0$ ; und es gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ auf $\ioo{0}{\infty}$ .
  Verwendet: 8. Potenzen, Polynome und rationale Funktionen, 10. Trigonometrische Funktionen, 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und Hyperbelfunktionen, 13. Gebräuchliche Verkettungen, 17. Ableitung der Umkehrfunktion. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Ableitung der Umkehrfunktion und implizites Differenzieren.
6. Exponentialfunktion und Logarithmus zur Basis a. Ist $a > 0$ und $a \neq 1$ , so gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ und $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; und ist $u$ an einer Stelle differenzierbar, so ist es auch $e^{u(x)}$ , mit der Ableitung $e^{u(x)} u'(x)$ , und verschwindet $u$ dort außerdem nicht, so ist es auch $\ln \abs{u(x)}$ , mit der Ableitung $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  Verwendet: 6. Linearkombination und Produkt, 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und Hyperbelfunktionen, 12. Kettenregel, 13. Gebräuchliche Verkettungen. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren.
7. Potenzen mit reellem und variablem Exponenten. Für jede reelle Zahl $r$ gilt $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ auf $\ioo{0}{\infty}$ ; und sind $f$ , mit positiven Werten, und $g$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so ist $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ an der Stelle $a$ differenzierbar, mit $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  Verwendet: 6. Linearkombination und Produkt, 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und Hyperbelfunktionen, 12. Kettenregel, 19. Exponentialfunktion und Logarithmus zur Basis a. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren.
8. Logarithmisches Differenzieren. Sind $f_1, \ldots, f_k$ an der Stelle $a$ differenzierbar und verschwinden sie an der Stelle $a$ nicht, und ist $f_j$ positiv, wenn $r_j$ nicht ganzzahlig ist, so ist $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ an der Stelle $a$ differenzierbar, und es gilt $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; die Differenzierbarkeit wird vor dem Logarithmieren bewiesen.
  Verwendet: 4. Differenzierbar impliziert stetig, 5. Lokaler Charakter der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt, 13. Gebräuchliche Verkettungen, 19. Exponentialfunktion und Logarithmus zur Basis a, 20. Potenzen mit reellem und variablem Exponenten. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie), F (Differenzierbar impliziert stetig), G (Lokaler Charakter). Bewiesen in: Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren.
9. Pi hoch e und e hoch pi. Für jedes $x > 0$ gilt $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ , mit Gleichheit nur für $x = e$ , weil der Logarithmus unterhalb seiner Tangente $y = \frac{x}{e}$ bleibt; insbesondere ist $\pi^e < e^\pi$ .
  Verwendet: 11. Exponentialfunktion, Logarithmus und Hyperbelfunktionen. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Die Variable im Exponenten und logarithmisches Differenzieren.
Abschnitt 3 Die höheren Ableitungen und die Änderungsraten
- Die höheren Ableitungen definieren und durch Induktion die Formeln für die Ableitungen $n$ -ter Ordnung der Potenzen, der Exponentialfunktion, des Sinus und des Kosinus sowie die Leibniz-Regel beweisen.
- $\mathrm{d}y$ und $\mathrm{d}x$ je für sich einen Sinn geben, beweisen, dass das Differential der Hauptteil des Zuwachses ist, und es verwenden, um zu nähern und Fehler abzuschätzen, ohne sie zu beschränken.
- Die Ableitung als mittlere, momentane und relative Änderungsrate lesen und mit ihr die geradlinige Bewegung beschreiben.
- Aufgaben zu gekoppelten Änderungsraten mit der Kettenregel und einer expliziten Methode lösen.
1. Höhere Ableitungen. $f^{(0)} = f$ und $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , wobei der Definitionsbereich jeder Ableitung aus den Punkten besteht, in denen die vorhergehende differenzierbar ist; sind $f$ und $g$ auf einem offenen Intervall $n$ -mal differenzierbar, so gilt $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  Verwendet: 6. Linearkombination und Produkt. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie), G (Lokaler Charakter). Bewiesen in: Höhere Ableitungen und Differential.
2. Ableitungen n-ter Ordnung. Auf $\ioo{0}{\infty}$ gilt $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; für jede reelle Zahl $x$ gelten $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ und $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; und die Koeffizienten eines Polynoms $f$ sind die Zahlen $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  Verwendet: 8. Potenzen, Polynome und rationale Funktionen, 13. Gebräuchliche Verkettungen, 19. Exponentialfunktion und Logarithmus zur Basis a, 20. Potenzen mit reellem und variablem Exponenten, 23. Höhere Ableitungen. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Höhere Ableitungen und Differential.
3. Leibniz-Regel. Sind $f$ und $g$ auf einem offenen Intervall $n$ -mal differenzierbar, so ist es auch $fg$ , und es gilt $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  Verwendet: 6. Linearkombination und Produkt, 23. Höhere Ableitungen. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Höhere Ableitungen und Differential.
4. Das Differential. Ist $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so erfüllt der Zuwachs $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ die Beziehung $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ , mit $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , und keine andere lineare Funktion von $\Delta x$ erfüllt sie; ist $f'(a) \neq 0$ , so gilt $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; und ist $w = f(u)$ , so gilt $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  Verwendet: 3. Drei Charakterisierungen, 6. Linearkombination und Produkt, 7. Kehrwert und Quotient, 12. Kettenregel. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Höhere Ableitungen und Differential.
5. Konstante relative Rate. Ist $y(t) = y_0 e^{kt}$ mit $y_0 > 0$ und $k \neq 0$ , so hat die relative Änderungsrate $\frac{y'(t)}{y(t)}$ zu jedem Zeitpunkt den Wert $k$ , und es gilt $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : Die Größe verdoppelt sich, oder halbiert sich, in jedem Zeitintervall der Länge $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  Verwendet: 19. Exponentialfunktion und Logarithmus zur Basis a. Stützt sich auf: D (Erbe aus Algebra und Geometrie). Bewiesen in: Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten.
6. Das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle. Ist $f$ auf einem offenen Intervall $I$ definiert, an einer Stelle $a$ von $I$ differenzierbar und gilt $f'(a) > 0$ , so gibt es ein $\delta > 0$ derart, dass für jedes $x$ aus $I$ gilt: $f(x) < f(a)$ , falls $a - \delta < x < a$ , und $f(x) > f(a)$ , falls $a < x < a + \delta$ ; daraus folgt nicht, dass $f$ nahe $a$ wachsend ist. Daher nimmt der Geschwindigkeitsbetrag zu, wenn Geschwindigkeit und Beschleunigung dasselbe Vorzeichen haben.
  Verwendet: 1. Definition der Ableitung, 6. Linearkombination und Produkt. Stützt sich auf: C (Vorzeichenerhaltung). Bewiesen in: Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten.
7. Gekoppelte Änderungsraten. Ist $u$ an der Stelle $t_0$ differenzierbar und $y(t) = g(u(t))$ , mit $g$ differenzierbar an der Stelle $u(t_0)$ , so gilt $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; und zwei Ausdrücke, die zu jedem Zeitpunkt eines Intervalls gleich und an der Stelle $t_0$ differenzierbar sind, haben an der Stelle $t_0$ dieselbe Ableitung.
  Verwendet: 12. Kettenregel. Bewiesen in: Änderungsraten und gekoppelte Änderungsraten.

Hin zu den Anwendungen. Die Kette endet dort, wo die Ableitung aufhört, Gegenstand der Untersuchung zu sein, und zu einem Werkzeug wird: Die nächste Einheit beginnt mit dem Satz von Weierstraß über die Extremwerte; sie beweist den Satz von Fermat mit dem Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle und aus ihm den Satz von Rolle und den Mittelwertsatz, die das Vorzeichen der Ableitung in Monotonie verwandeln und die Regel von L’Hospital, die Extrema, die Krümmungsrichtung und die Schranken liefern, die das Differential nicht hat; und sie endet mit dem Newton-Raphson-Verfahren, das die Kurve durch ihre Tangente ersetzt.