導関数：まとめと挑戦課題

1. 第 1 区間 定義と微分法

   • 定義域の集積点における微分係数を平均変化率の極限として、片側微分係数とともに定義し、量化された命題として書く。
   • 平均変化率、一次近似、カラテオドリの分解の同値性を証明し、微分可能ならば連続であるが逆は成り立たないことを導く。
   • 増分で割らずに分解によって一次結合、積、逆数、商の微分法を得て、多項式、有理関数、区分的に定義された関数を微分する。
   • 前の単元の極限を用いて三角関数、指数関数、対数関数、双曲線関数を微分し、合成関数の微分法でそれらの合成を微分する。

   1. 微分係数の定義. $a$ が定義域 $A$（$f$ の定義域）の要素で $A$ の集積点であるとき、$f'(a) = L$ であるとは $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ が成り立つことをいう。同値な言い方では $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ である。

      支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極限としての導関数.

   2. 片側微分係数. 片側微分係数 $f'_+(a)$ と $f'_-(a)$ は平均変化率の片側極限である。$a$ が両側から定義域の集積点であれば、$f$ が $a$ で微分可能であるのは両者が存在して等しいときに限り、片側からだけ集積点であれば、微分係数はその側のものである。

      使う結果: 1. 微分係数の定義. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極限としての導関数.

   3. 三つの特徴づけ. 次は同値である。$f'(a) = L$。$f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$（$h$ が $0$ に近づくとき）。そして関数 $\varphi$ で、$a$ で連続、$\varphi(a) = L$ であり、$f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ が定義域のすべての $x$ に対して成り立つものが存在すること。

      使う結果: 1. 微分係数の定義. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 関数の極限としての導関数.

   4. 微分可能ならば連続. $f$ が $a$ で微分可能ならば、$a$ で連続である。逆は成り立たない。$\abs{x}$ と $\sqrt[3]{x}$ は $0$ で連続だが、$0$ で微分可能でない。

      使う結果: 2. 片側微分係数, 3. 三つの特徴づけ. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), E (カラテオドリの分解). 証明される授業: 関数の極限としての導関数.

   5. 微分係数の局所性. $F$ が $f$ の集合 $B$ への制限で、この集合が $a$ を含み $a$ がその集積点であり、$f$ が $a$ で微分可能ならば、$F'(a) = f'(a)$ である。また $B$ が $a$ の近くの定義域の点をすべて含むならば、$f$ が $a$ で微分可能であるのは $F$ がそうであるときに限る。

      使う結果: 1. 微分係数の定義. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 微分法の公式.

   6. 一次結合と積. $f$ と $g$ が $a$ で微分可能ならば、$\alpha f + g$ と $fg$ も微分可能で、$(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$、$(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ である。

      使う結果: 3. 三つの特徴づけ, 4. 微分可能ならば連続. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), E (カラテオドリの分解), F (微分可能ならば連続). 証明される授業: 微分法の公式.

   7. 逆数と商. $f$ と $g$ が $a$ で微分可能で $g(a) \neq 0$ ならば、$a$ は $\frac{f}{g}$ の定義域の集積点であり、$\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ と $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ が成り立つ。

      使う結果: 3. 三つの特徴づけ, 4. 微分可能ならば連続, 5. 微分係数の局所性, 6. 一次結合と積. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), C (符号の保存), E (カラテオドリの分解), F (微分可能ならば連続), G (局所性). 証明される授業: 微分法の公式.

   8. 累乗、多項式と有理関数. すべての整数 $m \neq 0$ について、$x^m$ の導関数はその定義域全体で $m x^{m - 1}$ である。すべての多項式は $\mathbb{R}$ で微分可能で、項ごとに微分でき、すべての有理関数はその定義域で微分可能である。

      使う結果: 1. 微分係数の定義, 6. 一次結合と積, 7. 逆数と商. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 微分法の公式.

   9. つなぎ目の点での微分係数. $f$ が $g$（$c$ の左側）および $h$（右側）と一致し、$g$ と $h$ が $c$ で微分可能ならば、$f$ が $c$ で微分可能であるのは $g(c) = f(c) = h(c)$ かつ $g'(c) = h'(c)$ のときに限る。各式の導関数を比べるだけでは足りない。

      使う結果: 2. 片側微分係数, 4. 微分可能ならば連続. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), F (微分可能ならば連続). 証明される授業: 微分法の公式.

   10. 三角関数. すべての実数 $x$ について $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ かつ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ である。$\cos x \neq 0$ となるところでは $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ である。余接、正割、余割は商と逆数の微分法で微分する。

       使う結果: 1. 微分係数の定義, 6. 一次結合と積, 7. 逆数と商. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 初等関数の導関数.

   11. 指数関数・対数関数・双曲線関数. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ が $\mathbb{R}$ で、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ が $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ で成り立ち、$\sinh x$、$\cosh x$、$\tanh x$ の導関数はそれぞれ $\cosh x$、$\sinh x$、$\frac{1}{\cosh^2 x}$ である。

       使う結果: 1. 微分係数の定義, 6. 一次結合と積, 7. 逆数と商. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 初等関数の導関数.

   12. 合成関数の微分法. $g$ が $a$ で微分可能で、$f$（$g$ の値を含む集合で定義される）が $g(a)$ で微分可能ならば、$(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ である。$g(x) - g(a)$ で割る証明は $g'(a) \neq 0$ のときにしか通用しない。

       使う結果: 3. 三つの特徴づけ, 4. 微分可能ならば連続. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), C (符号の保存), E (カラテオドリの分解), F (微分可能ならば連続). 証明される授業: 合成関数の微分法.

   13. よく現れる合成関数. この公式は、$f \circ g$ の定義域で、$a$ がその集積点であるときに成り立つ。これは $f$ の定義域が $g(a)$ を中心とする区間を含むときに起こる。これにより、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$（すべての整数 $m \neq 0$ について）、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$（$g(a) > 0$ のとき）、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ が成り立つ。

       使う結果: 1. 微分係数の定義, 5. 微分係数の局所性, 8. 累乗、多項式と有理関数, 10. 三角関数, 12. 合成関数の微分法. 支え: C (符号の保存), F (微分可能ならば連続), G (局所性). 証明される授業: 合成関数の微分法.

2. 第 2 区間 連続性、逆関数と指数

   • 上限を用いてボルツァーノの定理を証明し、それによって中間値の定理、連続関数による区間の像が区間であること、連続かつ狭義単調な関数の逆関数が連続であることを証明する。
   • カラテオドリの分解を逆向きに読んで逆関数の微分法を証明し、逆三角関数、逆双曲線関数、累乗根、有理数乗の累乗を微分する。
   • 導関数の計算とその存在の証明を区別して、陰関数を微分する。
   • 任意の底の指数関数と対数、実数乗の累乗、底と指数がともに変化する累乗を自然指数関数に帰着させ、対数微分法を正当化する。

   14. ボルツァーノの定理. $f$ が $\icc{a}{b}$ で連続で、$f(a) < 0 < f(b)$ または $f(a) > 0 > f(b)$ ならば、ある点 $c$（$\ioo{a}{b}$ の点）で $f(c) = 0$ となるものが存在する。

       支え: A (完備性公理), C (符号の保存). 証明される授業: 中間値の定理.

   15. 中間値の定理. $f$ が $\icc{a}{b}$ で連続ならば、$f(a)$ と $f(b)$ の間にあるすべての値をとる。したがって、連続関数による区間の像は区間である。

       使う結果: 14. ボルツァーノの定理. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 中間値の定理.

   16. 逆関数の連続性. $f$ が区間 $I$ で連続かつ狭義単調ならば、その逆関数は区間 $f(I)$ で連続である。

       使う結果: 15. 中間値の定理. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 中間値の定理.

   17. 逆関数の微分法. $f$ が区間 $I$（2 点以上を含む）で連続かつ狭義単調で、$a$ で微分可能で $f'(a) \neq 0$ ならば、$f^{-1}$ は $b = f(a)$ で微分可能で $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ である。$f'(a) = 0$ ならば、$f^{-1}$ は $b$ で微分可能でない。

       使う結果: 1. 微分係数の定義, 3. 三つの特徴づけ, 12. 合成関数の微分法, 15. 中間値の定理, 16. 逆関数の連続性. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), E (カラテオドリの分解). 証明される授業: 逆関数の微分法と陰関数の微分法.

   18. 初等関数の逆関数と累乗根. それぞれの微分可能な範囲で $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ である。$\sqrt[n]{x}$ はその定義域のすべての $x \neq 0$ で微分可能で、$0$ では微分可能でない。そして $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ が $\ioo{0}{\infty}$ で成り立つ。

       使う結果: 8. 累乗、多項式と有理関数, 10. 三角関数, 11. 指数関数・対数関数・双曲線関数, 13. よく現れる合成関数, 17. 逆関数の微分法. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの), D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 逆関数の微分法と陰関数の微分法.

   19. 底が a の指数関数と対数. $a > 0$ かつ $a \neq 1$ ならば、$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ かつ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ である。$u$ がある点で微分可能ならば $e^{u(x)}$ もそこで微分可能で、導関数は $e^{u(x)} u'(x)$ である。さらに $u$ がそこで 0 にならなければ、$\ln \abs{u(x)}$ もそこで微分可能で、導関数は $\frac{u'(x)}{u(x)}$ である。

       使う結果: 6. 一次結合と積, 11. 指数関数・対数関数・双曲線関数, 12. 合成関数の微分法, 13. よく現れる合成関数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 指数にある変数と対数微分法.

   20. 実数乗と変数乗の累乗. すべての実数 $r$ について $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ が $\ioo{0}{\infty}$ で成り立つ。$f$（正の値をとる）と $g$ が $a$ で微分可能ならば、$F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ は $a$ で微分可能で、$F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ である。

       使う結果: 6. 一次結合と積, 11. 指数関数・対数関数・双曲線関数, 12. 合成関数の微分法, 19. 底が a の指数関数と対数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 指数にある変数と対数微分法.

   21. 対数微分法. $f_1, \ldots, f_k$ が $a$ で微分可能で $a$ で 0 にならず、$f_j$ が正（$r_j$ が整数でないとき）ならば、$F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ は $a$ で微分可能で、$\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ である。微分可能性は対数をとる前に証明する。

       使う結果: 4. 微分可能ならば連続, 5. 微分係数の局所性, 6. 一次結合と積, 13. よく現れる合成関数, 19. 底が a の指数関数と対数, 20. 実数乗と変数乗の累乗. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの), F (微分可能ならば連続), G (局所性). 証明される授業: 指数にある変数と対数微分法.

   22. π の e 乗と e の π 乗. すべての $x > 0$ について $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ が成り立ち、等号は $x = e$ のときに限る。対数関数がその接線 $y = \frac{x}{e}$ の下にあるからである。特に $\pi^e < e^\pi$ である。

       使う結果: 11. 指数関数・対数関数・双曲線関数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 指数にある変数と対数微分法.

3. 第 3 区間 高階導関数と変化率

   • 高階導関数を定義し、累乗、指数関数、正弦、余弦の $n$ 階導関数の公式とライプニッツの公式を帰納法で証明する。
   • $\mathrm{d}y$ と $\mathrm{d}x$ にそれぞれ別々に意味を与え、微分が増分の主要部であることを証明し、微分を近似と誤差の見積もりに用いる。ただし誤差の上界は与えない。
   • 微分係数を平均変化率、瞬間の変化率、相対変化率として読み、それを用いて直線上の運動を記述する。
   • 合成関数の微分法と明示的な方法で、関連する変化率の問題を解く。

   23. 高階導関数. $f^{(0)} = f$ かつ $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ であり、それぞれの定義域は一つ手前の導関数が微分可能な点からなる。$f$ と $g$ が開区間で $n$ 回微分可能ならば、$\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ である。

       使う結果: 6. 一次結合と積. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの), G (局所性). 証明される授業: 高階導関数と微分.

   24. n 階導関数. $\ioo{0}{\infty}$ で $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ である。すべての実数 $x$ について $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ かつ $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ である。多項式 $f$ の係数は数 $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ である。

       使う結果: 8. 累乗、多項式と有理関数, 13. よく現れる合成関数, 19. 底が a の指数関数と対数, 20. 実数乗と変数乗の累乗, 23. 高階導関数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 高階導関数と微分.

   25. ライプニッツの公式. $f$ と $g$ が開区間で $n$ 回微分可能ならば、$fg$ もそうであり、$(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ である。

       使う結果: 6. 一次結合と積, 23. 高階導関数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 高階導関数と微分.

   26. 微分. $f$ が $a$ で微分可能ならば、増分 $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ は $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$（ただし $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$）をみたし、$\Delta x$ の他のどの一次関数もこれをみたさない。$f'(a) \neq 0$ ならば $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ である。$w = f(u)$ ならば $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ である。

       使う結果: 3. 三つの特徴づけ, 6. 一次結合と積, 7. 逆数と商, 12. 合成関数の微分法. 支え: B (単元 1 から受け継いだもの). 証明される授業: 高階導関数と微分.

   27. 一定の相対変化率. $y(t) = y_0 e^{kt}$（$y_0 > 0$、$k \neq 0$）ならば、相対変化率 $\frac{y'(t)}{y(t)}$ はあらゆる時刻で $k$ に等しく、$y(t + T) = e^{kT} y(t)$ である。量は、長さ $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ の各時間区間ごとに 2 倍になるか半分になる。

       使う結果: 19. 底が a の指数関数と対数. 支え: D (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 変化率と関連する変化率.

   28. 1 点での微分係数の符号. $f$ が開区間 $I$ で定義され、点 $a$（$I$ の点）で微分可能で $f'(a) > 0$ ならば、$\delta > 0$ が存在して、$x$（$I$ の点）すべてについて、$f(x) < f(a)$（$a - \delta < x < a$ のとき）および $f(x) > f(a)$（$a < x < a + \delta$ のとき）となる。$f$ が $a$ の近くで増加することは導かれない。ここから、速度と加速度が同じ符号をもつとき速さが増すことが従う。

       使う結果: 1. 微分係数の定義, 6. 一次結合と積. 支え: C (符号の保存). 証明される授業: 変化率と関連する変化率.

   29. 関連する変化率. $u$ が $t_0$ で微分可能で $y(t) = g(u(t))$、ただし $g$ は $u(t_0)$ で微分可能であるならば、$y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ である。また、ある区間のあらゆる時刻で等しく、$t_0$ で微分可能な二つの式は、$t_0$ で同じ導関数をもつ。

       使う結果: 12. 合成関数の微分法. 証明される授業: 変化率と関連する変化率.

応用へ. 鎖は、微分係数が研究の対象であることをやめて道具になるところで止まる。続く単元はワイエルシュトラスの最大値・最小値定理から始まる。1 点での微分係数の符号を用いてフェルマーの定理を証明し、そこからロルの定理と平均値の定理を証明する。これらは導関数の符号を単調性に変え、ロピタルの定理、極値、凹凸、そして微分がもたない誤差の上界を与える。最後は、曲線をその接線で置き換えるニュートン・ラフソン法である。