導関数の応用：導入

単元を始める前に、自分の出発点を測りましょう。短い自己評価です。採点はされず、結果はあなたのブラウザーにだけ保存されます。

1. 問 1ワイエルシュトラスの定理が、関数が指定された集合で最大値をとることを保証するのは、以下のうちどの場合か。

   $f(x) = \abs{x^2 - 1}$、$\icc{0}{2}$ において

   $f(x) = \arctan x$、$\mathbb{R}$ において

   $f(x) = x^2$、$\ico{0}{1}$ において

   値が $x$（$\ico{0}{1}$ において）と $0$（$1$ において）である関数、区間 $\icc{0}{1}$ において

2. 問 2関数 $f$ は $\mathbb{R}$ で微分可能であり、$f(0) = 1$ かつ $\abs{f'(x)} \leq 2$（すべての $x$ について）である。$f(3)$ について何が言えるか。

   $-5 \leq f(3) \leq 7$

   $f(3) = 7$

   $\abs{f(3)} \leq 6$

   何も言えない。どの点の導関数の値もわからないから。

3. 問 3$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ を求めよ。

   $0$

   存在しない。導関数の比が極限をもたないから。

   存在しない。$\sin\frac{1}{x}$ は極限をもたないから（$x \to 0$ のとき）。

   $1$

4. 問 4$\mathbb{R}$ で関数 $f(x) = x + \cos x$ は狭義単調増加か。

   はい。その導関数 $1 - \sin x$ は負にならず、どの開区間でもそのすべての点で零になることはない。

   いいえ。その導関数は無限に多くの点で零になる。

   単調増加であるが、狭義ではない。導関数がすべての点で正とは限らないから。

   単調ではない。余弦は上がったり下がったりするから。

5. 問 5関数 $f$ は $\icc{0}{4}$ で連続であり、$\ioo{0}{4}$ の各点で微分可能（ただし $1$ を除く）で、その導関数は $3$ でのみ零になる。$f(0) = 2$、$f(1) = -1$、$f(2) = 3$、$f(3) = 5$、$f(4) = 4$ のとき、$\icc{0}{4}$ における最大値と最小値は何か。

   最大値は $5$、最小値は $-1$ である。

   最大値は $5$、最小値は $2$ である。

   最大値は $4$、最小値は $2$ である。

   $f$ の式がなければわからない。

6. 問 6$f(x) = x^5 - 5x^4$ の変曲点はどれか。

   $3$ のみ。

   $0$ と $3$。そこで 2 階導関数が零になるから。

   $0$ と $4$。そこで導関数が零になるから。

   ない。$0$ で 3 階導関数が零になるから。

7. 問 7$f(x) = \frac{1}{x}$ のグラフの点 $(1, 1)$ における接触円はどれか。

   中心 $(2, 2)$、半径 $\sqrt{2}$ の円。

   中心 $(0, 0)$、半径 $\sqrt{2}$ の円。

   中心 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$、半径 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ の円。

   中心 $\left(1, \frac{3}{2}\right)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円。

8. 問 8放物線 $y = x^2$ の点のうち、点 $(0, 2)$ に最も近いものはどれか。

   $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ と $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$

   頂点 $(0, 0)$。

   $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ のみ。

   ない。放物線は有界でないので、距離は最小値をとらないかもしれない。

9. 問 9関数 $f(x) = e^x - 3$ は $\mathbb{R}$ で単調増加かつ下に凸であり、その根は $\ln 3$ で、$1.0986$ に近い。$x_0 = 0$ から始めると、ニュートン・ラフソン法の反復値はどうなるか。

   最初の反復値は根の反対側の $x_1 = 2$ に跳び、そこから $\ln 3$ を越えずに減少しながら近づく。

   根の左側から始まるので、$\ln 3$ を越えずに増加しながら近づく。

   収束しない。$f(x_0) < 0$ は定理の仮定を満たさないから。

   根の両側に交互に現れながら、しだいに近づく。

10. 問 10前の単元から関数 $f$ は $\icc{0}{1}$ で連続であり、$f(0) = 1$、$f(1) = -1$ である。何が言えるか。

    $\ioo{0}{1}$ のある点で零になる。

    $\ioo{0}{1}$ のちょうど一点で零になる。

    $\icc{0}{1}$ で単調減少である。

    $\frac{1}{2}$ で零になる。

11. 問 11前の単元から関数 $f$ は $a$ を含む開区間で定義され、$f'(a) > 0$ である。何が言えるか。

    ある $\delta > 0$ が存在して、$f(x) < f(a)$（ただし $a - \delta < x < a$）、$f(x) > f(a)$（ただし $a < x < a + \delta$）となる。

    $f$ は $a$ を含むある開区間で単調増加である。

    $f(x) > f(a)$（区間のすべての $x > a$ について）。

    $f'(x) > 0$（すべての $x$ について、ただし $a$ の近く）。

12. 問 12前の単元から$f''(1)$ を求めよ。ただし $f(x) = x^2 \ln x$ とする。

    $3$

    $1$

    $2$

    $-2$

13. 問 13前の単元から方程式 $x^2 + xy + y^2 = 3$ は点 $(1, 1)$ の近くで微分可能な関数 $y(x)$ を定め、$y(1) = 1$ である。$y'(1)$ はいくらか。

    $-1$

    $-\frac{3}{2}$

    $-5$

    $1$

14. 問 14前の単元から$\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$ を求めよ。

    $2$

    $1$

    $\frac{1}{2}$

    存在しない。商は $\frac{0}{0}$ 型だから。