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Topos Uranos
日本語

変化率と関連する変化率

要約

この課は、導関数を応用においてそれが測るものとして読む。すなわち、ある量が別の量の変化につれて変化する速さである。平均変化率、瞬間の変化率、相対変化率を単位とともに区別し、相対変化率が一定の増加を特徴づける。直線上の運動を位置、速度、速さ、加速度によって調べ、ある時刻における微分係数の符号が何を語り、何を語らないかを証明する。最後に、時間に依存するいくつかの量が一つの関係で結ばれているとき、合成関数の微分法はそれらの変化率も結びつける。これが関連する変化率であり、明示的な方法で解かれる。

学習目標

  1. 導関数を瞬間の変化率として単位とともに解釈し、平均変化率および相対変化率と区別する。
  2. 直線運動を位置、速度、速さ、加速度によって記述し、ある時刻における微分係数の符号が近くの値について何を語るかを証明する。
  3. 関連する変化率の問題を明示的な方法で解き、微分する量が微分可能であることを正当化する。
  4. 積と累乗の相対変化率を対数微分と、加速度を関係式の 2 階導関数と関係づける。

変化率としての導関数

極限としての導関数についての課は、二つの問いから同じ定義に到達した。接線の傾きと瞬間の速度である。どちらも、より一般的な問いの特別な場合である。ある量が別の量に依存するときはいつでも、たとえば円の面積が半径に、動点の位置が時間に、棒の一片の質量がその長さに依存するとき、後者が変化するにつれて前者がどれだけの速さで変化するかを知ることが役に立つ。

定義変化率

ff を開区間 II で定義された関数で、量 y=f(x)y = f(x) を別の量 xx の関数として表すものとし、aa と a+ha + h を II の点で h≠0h \neq 0 を満たすものとする。yy の xx に関する aa と a+ha + h の間の平均変化率とは、次の商のことである：

ΔyΔx=f(a+h)−f(a)h\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

ff が aa で微分可能であるとき、yy の xx に関する aa における瞬間の変化率（単に変化率ともいう）とは f′(a)f'(a) のことである。さらに f(a)≠0f(a) \neq 0 であるとき、aa における相対変化率とは商 f′(a)f(a)\frac{f'(a)}{f(a)} のことである。

平均変化率は割線の傾きであり、瞬間の変化率はその極限、すなわち接線の傾きである。どちらも yy の単位毎 xx の単位で測られる。yy が長さで xx が時間ならメートル毎秒であり、yy が棒の一片の質量で xx がその長さならキログラム毎メートルである。この後者の場合、M(x)M(x) が一方の端と距離 xx の点との間にある部分の質量であれば、変化率 M′(x)M'(x) はその点における棒の線密度、すなわちその点のまわりのごく短い一片がもつ単位長さあたりの質量である。これに対して相対変化率は、xx の単位の逆数だけで測られる（毎秒、毎日）。それは yy を測る単位によらず、そのため性質や大きさの異なる量の変化を比較できる。これは指数にある変数についての課の対数微分であり、しばしば百分率で表される。一日あたり 0.030.03 の相対変化率は一日あたり 3 パーセントである。

幾何の例で、変化率がどう読まれるかを見よう。半径 rr の円の面積は A=πr2A = \pi r^2 であり、半径に関するその変化率は dAdr=2πr\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r、すなわち円周の長さである。これは極限としての導関数についての課の練習問題 1 で確かめることを求めたものである。理由は明らかである。半径が hh だけ増えると、面積は幅 hh の円環の分だけ増え、その面積はほぼ円周の長さと hh の積である。

命題相対変化率が一定の増加

y0>0y_0 > 0 と k≠0k \neq 0 を実数とし、y(t)=y0ekty(t) = y_0 e^{kt}（ただし tt は任意の実数）とする。このとき yy の相対変化率はどの時刻でも kk に等しく、すべての tt とすべての TT に対して次が成り立つ：

y(t+T)=ekT y(t)y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

特に k>0k > 0 ならば、その量は、どの時刻に始まるかによらず、長さ ln⁡2k\frac{\ln 2}{k} の各時間区間で倍になる。また k<0k < 0 ならば、長さ ln⁡2∣k∣\frac{\ln 2}{\abs{k}} の各区間で半分になる。

証明

  1. y′(t)=y0ekt⋅k=k y(t),y′(t)y(t)=ky'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}

    指数にある変数についての課の系「指数関数および対数との合成」により、u(t)=ktu(t) = kt とすると、関数 yy は R\mathbb{R} 全体で微分可能であり、その導関数は関数自身の kk 倍であって、関数自身は零にならない。

  2. y(t+T)y(t)=y0ektekTy0ekt=ekT\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}

    指数法則により、長さ TT の区間だけ離れた値の比は tt によらない。

  3. ekT=2⇔T=ln⁡2k,ekT=12⇔T=ln⁡2−ke^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}

    指数関数は単射なので、比が 22 に等しいのは kT=ln⁡2kT = \ln 2 のとき、かつそのときに限り、12\frac{1}{2} に等しいのは kT=−ln⁡2kT = -\ln 2 のとき、かつそのときに限る。

制約のない環境における細菌の個体数や放射性物質の質量は、よい近似で相対変化率一定で変化し、この命題は、それらが一定の倍増時間や一定の半減期をもつ理由を説明する。関数 y0ekty_0 e^{kt} が相対変化率一定 kk をもつ唯一の関数であることは正しいが、その証明には、区間で導関数が零である関数は定数であることを知る必要があり、これは次の単元の平均値の定理の帰結である。