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Topos Uranos
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Teorema di Weierstrass dei valori estremi

Riepilogo

Questa lezione apre il passaggio dal puntuale al globale. La continuità in un punto controlla la funzione solo vicino a quel punto; il teorema di Weierstrass afferma che, se la funzione è continua in tutti i punti di un intervallo chiuso e limitato, essa è limitata in tutto l’intervallo e vi assume un valore massimo e un valore minimo. Entrambe le affermazioni si dimostrano con l’assioma di completezza, attraverso l’estremo superiore, come il teorema di Bolzano: la limitatezza, con l’estremo superiore dei punti fino ai quali la funzione è limitata e la limitatezza locale della lezione su limite e continuità; l’esistenza del massimo, con l’estremo superiore dei valori e una funzione ausiliaria che sarebbe continua e illimitata se tale estremo superiore non fosse assunto. La lezione mostra con controesempi che nessuna ipotesi può essere soppressa, deduce che l’immagine di un intervallo chiuso e limitato è un altro intervallo dello stesso tipo e che, se la funzione assume lo stesso valore negli estremi dell’intervallo, uno dei suoi estremi è assunto all’interno, e applica il teorema a funzioni positive, periodiche e definite su tutta la retta.

Obiettivi di apprendimento

  1. Distinguere l’estremo superiore dei valori di una funzione dal suo valore massimo, ed esprimere con quantificatori che una funzione assume il suo massimo o il suo minimo in un insieme.
  2. Dimostrare con l’assioma di completezza che una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato è limitata e assume il suo massimo e il suo minimo.
  3. Mostrare con controesempi che il teorema fallisce se l’intervallo non è chiuso, se non è limitato o se la funzione non è continua, e riconoscere che le sue ipotesi sono sufficienti, non necessarie.
  4. Usare il teorema, insieme a quello dei valori intermedi e ai limiti all’infinito, per trovare l’immagine di un intervallo chiuso e limitato e per provare che una funzione assume i suoi estremi in domini che non sono intervalli chiusi e limitati.

Massimo, minimo ed estremo superiore di una funzione

Le due unità che precedono hanno studiato le funzioni in un punto: il limite, la continuità e la derivata descrivono ciò che accade vicino ad aa. Molte domande, invece, riguardano tutto un insieme: qual è il valore più grande che una funzione assume in un intervallo, se ne esiste uno, o in quale punto è assunto. La funzione xx in (0,1)\ioo{0}{1} non ha un valore maggiore di tutti gli altri: per ogni xx dell’intervallo, il numero x+12\frac{x + 1}{2} sta anch’esso nell’intervallo, ed è maggiore. I suoi valori si avvicinano a 11 senza raggiungerlo. Conviene, quindi, separare due nozioni: il più piccolo dei maggioranti dei valori, che esiste non appena i valori sono limitati, e il valore massimo, che è un valore della funzione.

DefinizioneFunzione limitata; massimo e minimo di una funzione in un insieme

Siano ff una funzione definita in un insieme AA e SS un sottoinsieme non vuoto di AA. Si dice che ff è limitata superiormente in SS se esiste un numero KK tale che f(x)≤Kf(x) \leq K per ogni xx di SS; limitata inferiormente, se esiste KK tale che f(x)≥Kf(x) \geq K per ogni xx di SS; e limitata, se lo è in entrambi i modi, cioè se esiste KK tale che ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K per ogni xx di SS. Si dice che ff assume il suo massimo in SS in un punto x0x_0 di SS se il valore f(x0)f(x_0) non è superato da nessun altro valore di ff in SS, e che assume il suo minimo in x0x_0 se in SS non c’è un valore minore:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Il numero f(x0)f(x_0) è il valore massimo (o il valore minimo) di ff in SS, e si scrive max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (o min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)); il punto x0x_0 è un punto di massimo (o di minimo).

Il valore massimo, se esiste, è unico, perché due valori massimi sarebbero ciascuno maggiore o uguale all’altro; il punto di massimo può non esserlo: il coseno assume il suo massimo 11 in [0,4π]\icc{0}{4\pi} in tre punti, 00, 2π2\pi e 4π4\pi. La lezione su massimi e minimi chiamerà assoluti questi estremi, per distinguerli da quelli locali, che confrontano f(x0)f(x_0) solo con i valori vicini.

Se ff è limitata superiormente in SS, l’insieme dei suoi valori, f(S)f(S), non è vuoto ed è limitato superiormente; per l’assioma di completezza, richiamato nella lezione sulla retta reale, ha un estremo superiore, che si scrive sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). La relazione tra le due nozioni è semplice: ff assume il suo massimo in SS se e solo se l’estremo superiore dei suoi valori è uno di essi, e allora i due coincidono. Infatti, se f(x0)f(x_0) è il valore massimo, è un maggiorante di f(S)f(S) che appartiene a f(S)f(S), e nessun numero minore può essere un maggiorante; viceversa, se l’estremo superiore è un valore f(x0)f(x_0), nessun valore lo supera. La funzione xx in (0,1)\ioo{0}{1} è limitata, il suo estremo superiore è 11 e non lo assume; il suo estremo inferiore è 00 e nemmeno questo è assunto. Il teorema di Weierstrass dà condizioni sotto le quali ciò non accade.