Regel von L’Hospital

Die Form null durch null

Das Korollar über den Grenzwert eines Quotienten aus der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte verlangt, dass der Nenner einen von null verschiedenen Grenzwert hat. Streben Zähler und Nenner beide gegen $0$, so kann der Quotient gegen jede beliebige Zahl oder gegen unendlich streben oder keinen Grenzwert haben: $\frac{3x}{x}$ strebt gegen $3$, $\frac{x^2}{x}$ strebt gegen $0$, und $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ hat an der Stelle $0$ keinen Grenzwert. Deshalb nennt man $\frac{0}{0}$ einen unbestimmten Ausdruck: Der Grenzwert jedes Terms bestimmt nicht den des Quotienten. Die Lektion über äquivalente unendlich kleine Größen hat viele dieser Grenzwerte berechnet, indem sie jeden Faktor durch einen asymptotisch gleichen aus ihrer Tabelle ersetzte; eine Differenz wie $x - \sin x$ ist aber kein Produkt von Faktoren aus der Tabelle, und ihre Terme lassen sich nicht ersetzen.

Die Ableitung legt einen anderen Weg nahe. Ist $f(a) = g(a) = 0$, sind $f$ und $g$ an der Stelle $a$ differenzierbar und ist $g'(a) \neq 0$, so wird der Quotient, wenn man Zähler und Nenner durch $x - a$ dividiert, zu einem Quotienten von Differenzenquotienten, und das Korollar über den Grenzwert eines Quotienten liefert:

Oft ist aber auch $g'(a)$ gleich null, oder $f$ und $g$ sind an der Stelle $a$ nicht definiert. Die Regel von L’Hospital ersetzt die Werte der Ableitungen an der Stelle $a$ durch den Grenzwert ihres Quotienten nahe $a$. Das Werkzeug ist der Mittelwertsatz von Cauchy aus der Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy: Sind $f$ und $g$ stetig auf $\icc{a}{b}$, mit $a < b$, und differenzierbar in jedem Punkt von $\ioo{a}{b}$, und gilt $g'(x) \neq 0$ für alle $x$ aus $\ioo{a}{b}$, so gilt $g(b) \neq g(a)$, und es gibt ein $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. Anders als zwei Anwendungen des Satzes von Lagrange, die zwei verschiedene Punkte lieferten, liefert der Satz von Cauchy ein und denselben Punkt für Zähler und Nenner.

Man muss nicht wissen, wie $c$ von $x$ abhängt, und auch nicht, ob er eindeutig ist: Es genügt, dass er zwischen $a$ und $x$ liegt. Die Voraussetzung $g' \neq 0$ wird auf dem ganzen Intervall $\ioo{a}{b}$ verlangt, weil der Satz von Cauchy sie auf jedem $\icc{a}{x}$ verwendet; da der Grenzwert nur von den nahe gelegenen Werten abhängt, genügt es, ein Intervall $\ioo{a}{b}$ zu finden, auf dem sie erfüllt ist, so klein es auch sei. Es genügt dagegen nicht, dass die Ableitung des Nenners nur in isolierten Punkten verschwindet, die sich an der Stelle häufen oder die unbeschränkt sind, wenn die Variable gegen unendlich strebt, wie die gelöste Aufgabe 5 zeigt. Sind $f$ und $g$ auf einer größeren Menge definiert, so wendet man den Satz auf ihre Einschränkungen auf $\ioo{a}{b}$ an, die an der Stelle $a$ denselben rechtsseitigen Grenzwert haben.

Dasselbe gilt von links, mit einem Intervall $\ioo{b}{a}$, $b < a$, und $x \to a^-$: Es genügt, den Satz auf $f(-t)$ und $g(-t)$ nahe $-a$ von rechts anzuwenden, nach der Proposition über Verschiebung und Spiegelung aus der Lektion über einseitige Grenzwerte; die Kettenregel ändert das Vorzeichen beider Ableitungen und verändert ihren Quotienten nicht. Sind die Voraussetzungen auf beiden Seiten von $a$ erfüllt, auf $\ioo{a - r}{a}$ und auf $\ioo{a}{a + r}$, so liefert der Satz über Grenzwert und einseitige Grenzwerte aus jener Lektion den Grenzwert für $x \to a$ (ist $L$ unendlich, mit demselben Argument des kleineren der beiden Radien). Die Funktion kann an der Stelle $a$ definiert sein oder nicht; ihr Wert dort spielt keine Rolle.