قاعدة لوبيتال

الحالة صفر على صفر

تشترط نتيجة نهاية خارج القسمة، من الدرس الخاص بـجبر النهايات، أن تكون للمقام نهاية مختلفة عن الصفر. فإذا آل البسط والمقام كلاهما إلى $0$، أمكن أن يؤول خارج القسمة إلى أي عدد، أو إلى اللانهاية، أو ألا تكون له نهاية: $\frac{3x}{x}$ يؤول إلى $3$، و$\frac{x^2}{x}$ يؤول إلى $0$، و$\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ ليست له نهاية عند $0$. ولهذا يقال إن $\frac{0}{0}$ حالة عدم تعيين: نهاية كل حد لا تعيّن نهاية خارج القسمة. وقد حلّ الدرس الخاص بـالدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر كثيرًا من هذه النهايات، بتعويض كل عامل بعامل مكافئ له من جدوله؛ لكن فرقًا مثل $x - \sin x$ ليس جداء عوامل من الجدول، ولا يمكن تعويض حدوده.

وتقترح المشتقة طريقًا آخر. إذا كان $f(a) = g(a) = 0$، وكانت $f$ و$g$ قابلتين للاشتقاق عند $a$، وكان $g'(a) \neq 0$، فإن قسمة البسط والمقام على $x - a$ تحوّل خارج القسمة إلى خارج قسمة نسبتي تزايد، وتعطي نتيجة نهاية خارج القسمة:

لكن كثيرًا ما يكون $g'(a)$ أيضًا صفرًا، أو لا تكون $f$ و$g$ معرّفتين عند $a$. وتجعل قاعدة لوبيتال، بدلًا من قيمتي المشتقتين عند $a$، نهايةَ خارج قسمتهما قرب $a$. والأداة هي مبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة، من الدرس الخاص بـمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي: إذا كانت $f$ و$g$ متصلتين على $\icc{a}{b}$، مع $a < b$، وقابلتين للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{a}{b}$، وكان $g'(x) \neq 0$ من أجل كل $x$ من $\ioo{a}{b}$، فإن $g(b) \neq g(a)$ ويوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ بحيث $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. وخلافًا لتطبيقين لمبرهنة لاغرانج، يعطيان نقطتين مختلفتين، تعطي مبرهنة كوشي نقطة واحدة للبسط والمقام معًا.

لا حاجة إلى معرفة كيف يتعلق $c$ بـ$x$، ولا إلى أن يكون وحيدًا: يكفي أن يقع بين $a$ و$x$. وتُشترط الفرضية $g' \neq 0$ على الفترة $\ioo{a}{b}$ كلها، لأن مبرهنة كوشي تستعملها على كل $\icc{a}{x}$؛ وبما أن النهاية لا تتعلق إلا بالقيم القريبة، يكفي إيجاد فترة $\ioo{a}{b}$ تتحقق عليها، مهما كانت صغيرة. ولا يكفي، في المقابل، أن تنعدم مشتقة المقام في نقاط معزولة فقط تتراكم عند النقطة، أو غير محدودة إذا آل المتغير إلى اللانهاية، كما تُظهر المسألة المحلولة 5. وإذا كانت $f$ و$g$ معرّفتين على مجموعة أوسع، طُبّقت المبرهنة على مقصورَيهما على $\ioo{a}{b}$، اللذين لهما النهاية نفسها من اليمين عند $a$.

ويصحّ الأمر نفسه من اليسار، مع فترة $\ioo{b}{a}$، $b < a$، و$x \to a^-$: يكفي تطبيق المبرهنة على $f(-t)$ و$g(-t)$ قرب $-a$ من اليمين، بقضية الانسحاب والانعكاس، من الدرس الخاص بالنهايات من جهة واحدة؛ فقاعدة السلسلة تغيّر إشارة المشتقتين كلتيهما ولا تغيّر خارج قسمتهما. وإذا تحققت الفرضيات من جهتي $a$ كلتيهما، على $\ioo{a - r}{a}$ وعلى $\ioo{a}{a + r}$، فإن مبرهنة «النهاية والنهايتان من جهة واحدة»، من ذلك الدرس، تعطي النهاية عندما $x \to a$ (وإذا كانت $L$ لانهائية، فبالحجة نفسها مع أصغر نصفي القطرين). ويمكن أن تكون الدالة معرّفة عند $a$ أو لا؛ فقيمتها هناك لا دخل لها.