Saltar para o conteúdo
Topos Uranos
Português

Teorema de Weierstrass dos valores extremos

Resumo

Esta aula abre a passagem do pontual ao global. A continuidade num ponto só controla a função perto desse ponto; o teorema de Weierstrass afirma que, se a função é contínua em todos os pontos de um intervalo fechado e limitado, ela é limitada em todo o intervalo e atinge nele um valor máximo e um valor mínimo. Ambas as afirmações se demonstram com o axioma da completude, por meio do supremo, como o teorema de Bolzano: a limitação, com o supremo dos pontos até os quais a função é limitada e a limitação local da aula sobre limite e continuidade; a existência do máximo, com o supremo dos valores e uma função auxiliar que seria contínua e ilimitada se esse supremo não fosse atingido. A aula mostra com contraexemplos que nenhuma hipótese pode ser suprimida, deduz que a imagem de um intervalo fechado e limitado é outro intervalo do mesmo tipo e que, se a função assume o mesmo valor nos extremos do intervalo, um de seus extremos é atingido no interior, e aplica o teorema a funções positivas, periódicas e definidas em toda a reta.

Objetivos de aprendizagem

  1. Distinguir o supremo dos valores de uma função de seu valor máximo, e expressar com quantificadores que uma função atinge seu máximo ou seu mínimo em um conjunto.
  2. Demonstrar com o axioma da completude que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é limitada e atinge seu máximo e seu mínimo.
  3. Mostrar com contraexemplos que o teorema falha se o intervalo não é fechado, se não é limitado ou se a função não é contínua, e reconhecer que suas hipóteses são suficientes, não necessárias.
  4. Usar o teorema, junto com o do valor intermediário e os limites no infinito, para encontrar a imagem de um intervalo fechado e limitado e para provar que uma função atinge seus extremos em domínios que não são intervalos fechados e limitados.

Máximo, mínimo e supremo de uma função

As duas unidades precedentes estudaram as funções em um ponto: o limite, a continuidade e a derivada descrevem o que ocorre perto de aa. Muitas perguntas, em contrapartida, referem-se a todo um conjunto: qual é o maior valor que uma função assume em um intervalo, se existe algum, ou em que ponto ele é atingido. A função xx em (0,1)\ioo{0}{1} não tem um valor maior que todos os demais: para cada xx do intervalo, o número x+12\frac{x + 1}{2} também está nele, e é maior. Seus valores se aproximam de 11 sem alcançá-lo. Convém, portanto, separar duas noções: a menor cota superior dos valores, que existe assim que os valores são limitados, e o valor máximo, que é um valor da função.

DefiniçãoFunção limitada; máximo e mínimo de uma função em um conjunto

Sejam ff uma função definida em um conjunto AA e SS um subconjunto não vazio de AA. Diz-se que ff é limitada superiormente em SS se existe um número KK tal que f(x)≤Kf(x) \leq K para todo xx de SS; limitada inferiormente, se existe KK tal que f(x)≥Kf(x) \geq K para todo xx de SS; e limitada, se o é de ambos os modos, isto é, se existe KK tal que ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K para todo xx de SS. Diz-se que ff atinge seu máximo em SS em um ponto x0x_0 de SS se o valor f(x0)f(x_0) não é superado por nenhum outro valor de ff em SS, e que atinge seu mínimo em x0x_0 se não há em SS um valor menor:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

O número f(x0)f(x_0) é o valor máximo (ou o valor mínimo) de ff em SS, e escreve-se max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (ou min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)); o ponto x0x_0 é um ponto de máximo (ou de mínimo).

O valor máximo, se existe, é único, porque dois valores máximos seriam cada um maior ou igual ao outro; o ponto de máximo pode não sê-lo: o cosseno atinge seu máximo 11 em [0,4π]\icc{0}{4\pi} em três pontos, 00, 2π2\pi e 4π4\pi. A aula sobre máximos e mínimos chamará absolutos esses extremos, para distingui-los dos locais, que só comparam f(x0)f(x_0) com os valores próximos.

Se ff é limitada superiormente em SS, o conjunto de seus valores, f(S)f(S), não é vazio e é limitado superiormente; pelo axioma da completude, lembrado na aula sobre a reta real, ele tem um supremo, que se escreve sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). A relação entre as duas noções é simples: ff atinge seu máximo em SS se e somente se o supremo de seus valores é um deles, e então ambos coincidem. De fato, se f(x0)f(x_0) é o valor máximo, é uma cota superior de f(S)f(S) que pertence a f(S)f(S), e nenhum número menor pode ser cota superior; reciprocamente, se o supremo é um valor f(x0)f(x_0), nenhum valor o supera. A função xx em (0,1)\ioo{0}{1} é limitada, seu supremo é 11 e ela não o atinge; seu ínfimo é 00 e ela tampouco o atinge. O teorema de Weierstrass dá condições sob as quais isso não ocorre.