O método de Newton-Raphson

Resumo

O teorema de Bolzano assegura que uma função contínua que muda de sinal tem uma raiz, e o método da bisseção a localiza, ganhando um algarismo binário a cada bisseção. Esta aula estuda um procedimento muito mais rápido quando funciona: o método de Newton-Raphson, que substitui o gráfico por sua reta tangente e toma como nova aproximação o ponto em que a tangente corta o eixo. As aproximações assim obtidas são definidas uma após a outra para os inteiros $n \geq 0$ , e seu limite é entendido com a definição do limite quando a variável tende ao infinito, sem a teoria das sequências. A aula demonstra, com a convexidade, que se a derivada não se anula e a função é convexa ou côncava, as iterações que começam do lado certo se aproximam da raiz sem ultrapassá-la e convergem para ela; e, com o teorema do valor médio, que o valor da função, que se calcula, limita a distância à raiz, que não se conhece. Mostra depois, com exemplos numéricos, que o número de algarismos corretos dobra a cada iteração, e os modos em que o método falha: uma derivada nula, um ciclo, uma divergência. Os problemas calculam raízes cúbicas e inversos sem dividir, rompem um ciclo, estudam uma raiz dupla e encontram o limite exato entre a convergência e a divergência para o arco tangente.

Objetivos de aprendizagem

Calcular as iterações de Newton-Raphson de uma função derivável e reconhecer nelas o ponto em que a reta tangente corta o eixo.
Demonstrar a convergência monótona das iterações quando a derivada não se anula e a função é convexa ou côncava, e escolher um ponto de partida do lado certo.
Limitar a distância de uma aproximação à raiz com o valor da função e uma cota inferior de sua derivada.
Reconhecer os modos em que o método falha e compará-lo com a bisseção, em rapidez e em segurança.

A iteração

Seja $f$ uma função derivável cuja raiz $r$ se procura, e seja $x_0$ uma primeira aproximação. Perto de $x_0$ , o gráfico de $f$ se parece com sua reta tangente, $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ , segundo a definição de reta tangente da aula sobre a derivada como limite; dito com a diferencial da aula sobre as derivadas sucessivas e a diferencial, o incremento $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ se parece com $f'(x_0) \Delta x$ . A tangente corta o eixo em um único ponto se $f'(x_0) \neq 0$ , e é natural tomá-lo como nova aproximação: ele se obtém igualando a zero a equação da tangente. Repetir o procedimento a partir do ponto obtido é o método de Newton-Raphson.

DefiniçãoIterações de Newton-Raphson

Sejam $f$ uma função derivável em um intervalo $I$ e $x_0$ um ponto de $I$ . As iterações de Newton-Raphson a partir de $x_0$ são os números definidos, um após o outro, por

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

enquanto $x_n$ estiver em $I$ e $f'(x_n) \neq 0$ . Se essas condições se cumprem para todo inteiro $n \geq 0$ , as iterações formam uma função $n \mapsto x_n$ definida no conjunto dos inteiros não negativos, que não é limitado superiormente, e a definição do limite quando a variável tende ao infinito, da aula sobre os limites quando a variável tende ao infinito, aplica-se a ela. Diz-se que as iterações convergem para $r$ se $\lim_{n \to \infty} x_n = r$ , isto é, se

(\forall \varepsilon > 0)(\exists M)(\forall n \geq 0)\left(n > M \rightarrow \abs{x_n - r} < \varepsilon\right)

Cada iteração é o ponto em que a tangente em $(x_n, f(x_n))$ corta o eixo: ao pôr $y = 0$ e $x = x_{n+1}$ na equação $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ e isolar, obtém-se a fórmula da definição. O método não exige que a função mude de sinal em um intervalo dado, como a bisseção, mas que seja derivável e que sua derivada não se anule nos pontos pelos quais passa; em compensação, nada assegura de antemão que as iterações se aproximem de uma raiz. Mais adiante se dão condições que o asseguram.

ExemploA raiz quadrada de 2

Aplicar o método de Newton-Raphson a $f(x) = x^2 - 2$ a partir de $x_0 = 2$ . O desenvolvimento abaixo mostra as três primeiras tangentes e os pontos em que cortam o eixo.

Demonstração

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), \qquad \resaltar{x_1 = \frac{3}{2}}$
A derivada é $f'(x) = 2x$ , que não se anula se $x > 0$ . A iteração toma esta forma: cada aproximação é a média entre a que a precede e $2$ dividido por ela. A partir de $x_0 = 2$ , a tangente $y = 2 + 4(x - 2)$ corta o eixo em $\frac{3}{2}$ .
$x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \resaltar{\frac{17}{12}} \approx 1{,}416667$
A tangente em $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$ corta o eixo muito mais perto da raiz.
$x_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \resaltar{\frac{577}{408}} \approx 1{,}4142157, \qquad \sqrt{2} \approx 1{,}4142136$
A terceira iteração já tem cinco casas decimais corretas. Os erros, $x_n - \sqrt{2}$ , são cerca de $0{,}59$ , $0{,}086$ , $0{,}0025$ e $0{,}0000021$ : cada um é da ordem do quadrado do que o precede.

O erro deste exemplo se eleva ao quadrado de forma exata. Da fórmula da iteração obtém-se, para todo $x_n > 0$ , esta identidade:

x_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{\left(x_n - \sqrt{2}\right)^2}{2x_n}

Portanto, todas as iterações a partir da primeira são maiores ou iguais a $\sqrt{2}$ , e se $x_n \geq 1$ , o novo erro é no máximo a metade do quadrado do erro atual: a quarta iteração, $x_4 = \frac{665\,857}{470\,832}$ , tem onze casas decimais corretas. Com $2$ substituído por um número positivo qualquer, o mesmo procedimento calcula raízes quadradas; ele já aparece na Métrica de Heron de Alexandria, no século I, e por isso é chamado também de método de Heron.

Isaac Newton descreveu seu método para equações polinomiais em 1669, em um escrito que circulou manuscrito e foi publicado em 1711; Joseph Raphson publicou em 1690 uma exposição mais simples, e Thomas Simpson o apresentou em 1740 como um método iterativo para equações gerais.