Aplicações das derivadas: síntese e desafios

Resumo

Esta aula encerra a unidade sobre as aplicações das derivadas e, com ela, o curso. Reúne numa só cadeia dedutiva o que as nove aulas da unidade demonstraram: o teorema de Weierstrass, obtido do axioma da completude como o de Bolzano, e o teorema de Fermat, obtido do sinal da derivada em um ponto, dão o teorema de Rolle; deste saem os teoremas do valor médio de Lagrange e de Cauchy, e deles a regra de L’Hôpital, a monotonia pelo sinal da derivada, os testes para os extremos, a convexidade, a otimização e a cota do erro do método de Newton-Raphson. Explica como a unidade se apoia nas duas precedentes e em Álgebra e Geometria, e o que deixa ao curso posterior: a integral, as sequências e as séries, e o polinômio de Taylor. Termina com uma avaliação de saída, paralela à de entrada, e com dez desafios, mais difíceis que os problemas das aulas, cada um dos quais combina resultados de várias delas e das unidades precedentes.

Objetivos de aprendizagem

Expor em ordem lógica os teoremas principais da unidade, indicando de que resultados precedentes depende cada um e em que demonstrações se reutilizam o teorema de Weierstrass, o teorema do valor médio e a monotonia pelo sinal da derivada.
Distinguir o que a unidade admite do que demonstra, reconhecer as hipóteses de cada resultado e assinalar onde intervém o axioma da completude.
Relacionar os resultados da unidade com as unidades sobre os limites e as derivadas, com Álgebra e Geometria e com o que estuda Cálculo II.
Resolver problemas não rotineiros que combinam a existência de extremos, o valor médio, a regra de L’Hôpital, a monotonia, a convexidade, a curvatura, a otimização e o método de Newton-Raphson.

O que a unidade alcançou

As duas unidades precedentes trabalharam em um ponto: o limite em um ponto, a continuidade em um ponto, a derivada em um ponto. Esta unidade passou do pontual ao global, e a ponte foi o axioma da completude. O teorema de Weierstrass, demonstrado com o supremo como o de Bolzano, assegura que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo; o teorema de Fermat, que sai do sinal da derivada em um ponto, diz onde podem estar os extremos interiores; e juntos dão o teorema de Rolle, do qual se seguem os dois teoremas do valor médio. O de Lagrange escreve-se assim:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Essa igualdade converte uma informação sobre a derivada em todos os pontos de um intervalo numa informação sobre os valores da função, e quase todo o resto da unidade é uma leitura dela: a monotonia, os testes para os extremos, a convexidade, a regra de L’Hôpital, pela versão de Cauchy, e a cota do erro do método de Newton-Raphson. As demonstrações citam esses teoremas em vez de refazer o argumento.

A existência e o valor médio

A aula sobre o teorema de Weierstrass demonstrou primeiro o teorema da limitação, tomando o supremo dos pontos até os quais a função é limitada e avançando além dele com a limitação local que a continuidade dá; depois, que o supremo dos valores é atingido, porque, se não fosse atingido, o inverso da distância dos valores a ele seria contínuo e ilimitado. Mostrou com contraexemplos que nenhuma hipótese sobra (um intervalo aberto, um ilimitado, uma função descontínua e os racionais, onde falta a completude), deduziu com o teorema do valor intermediário que a imagem de um intervalo fechado e limitado é outro intervalo do mesmo tipo, e que uma função com valores iguais nos extremos de um intervalo atinge um extremo em seu interior. A aula sobre os teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy definiu os extremos locais como enunciados quantificados, demonstrou com o sinal da derivada em um ponto que a derivada se anula em um extremo local interior, e obteve em sucessão os teoremas de Rolle, do valor médio de Lagrange e do valor médio de Cauchy, mostrando a necessidade de suas hipóteses. Seus corolários foram as primeiras conclusões globais: uma função com derivada nula em um intervalo é constante, duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante, uma cota da derivada limita os incrementos, entre duas raízes de uma função há uma raiz de sua derivada, e o limite da derivada, se existe, é a derivada. A aula sobre a regra de L’Hôpital demonstrou-a com o teorema de Cauchy, para a forma $\frac{0}{0}$ e, com mais cuidado, para a forma $\frac{\infty}{\infty}$ , de um lado de um ponto, no ponto e no infinito; reduziu a elas as formas $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ , mostrou que a regra não decide quando o quociente das derivadas não tem limite, advertiu que não serve para os limites com que se calcularam as derivadas, e obteve dela o corolário das derivadas nulas em um ponto, que compara o incremento de uma função com uma potência de $x - a$ .

A monotonia, os extremos e a forma do gráfico

A aula sobre a monotonia demonstrou, com o teorema do valor médio, que uma derivada não negativa em um intervalo dá uma função crescente, e uma positiva, estritamente crescente, e caracterizou a monotonia estrita com derivada não negativa: a derivada não deve anular-se em todo um intervalo. Assim se cumpriram as promessas da unidade sobre as derivadas, como a de que uma derivada positiva em um intervalo basta para que a inversa exista e seja derivável. Definiu os pontos críticos, demonstrou o teste da primeira derivada e o teorema de Darboux, segundo o qual uma derivada assume todos os valores intermediários ainda que não seja contínua, de modo que não tem descontinuidades de salto, e deduziu que uma derivada sem zeros em um intervalo não muda de sinal. A aula sobre os máximos e mínimos definiu os extremos absolutos e estritos; demonstrou o teste da segunda derivada e, com a regra de L’Hôpital e sem o polinômio de Taylor, o das derivadas sucessivas, que decide pela paridade da primeira ordem com derivada não nula; e buscou os extremos absolutos em um intervalo fechado e limitado entre os extremos do intervalo e os pontos críticos, e em um intervalo aberto ou ilimitado com os limites nos extremos do intervalo e com a monotonia, que dá também que um extremo local no único ponto crítico é absoluto. A aula sobre a concavidade e a convexidade definiu a convexidade pela posição do gráfico em relação a suas cordas, com a convenção da unidade (convexa, abaixo de suas cordas), e demonstrou que, para uma função derivável, ser convexa equivale a ter derivada crescente e a que o gráfico fique acima de suas tangentes, e, para uma duas vezes derivável, a que a segunda derivada não seja negativa; definiu os pontos de inflexão, decidiu-os pela mudança de sinal da segunda derivada ou pela terceira derivada, mostrou com $x^4$ que uma segunda derivada nula não basta, e obteve a desigualdade de Jensen e a das médias geométrica e aritmética. A aula sobre a curvatura definiu a circunferência osculadora como a que tem no ponto o mesmo valor, a mesma derivada e a mesma segunda derivada que a função; demonstrou com a derivação implícita que ela existe e é única quando a segunda derivada não se anula, com raio $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ e centro na normal, do lado para o qual o gráfico se curva, e mostrou que esse centro é o limite das interseções de normais próximas.

A otimização e a aproximação

A aula sobre os problemas de otimização fixou um método em cinco etapas (a variável, a função, o domínio, os extremos absolutos com sua justificação e a conclusão), cujo ponto decisivo é justificar que o extremo encontrado é absoluto: com o teorema de Weierstrass se o domínio é fechado e limitado, e, se não, com o sinal da derivada, a convexidade ou os limites nos extremos do intervalo. Demonstrou que uma função e sua composição com uma função estritamente crescente atingem seus extremos nos mesmos pontos, que o ponto de um gráfico mais próximo de um ponto dado existe e está em uma normal, e deduziu do tempo mínimo as leis da refração e da reflexão. A aula sobre o método de Newton-Raphson substituiu o gráfico por sua tangente para aproximar uma raiz; tratou as iterações como uma função definida nos naturais, com a definição do limite no infinito e sem a teoria das sequências; demonstrou com a convexidade e o ínfimo das iterações que, a partir do lado certo, elas se aproximam da raiz sem ultrapassá-la e convergem para ela, e que a partir do lado errado a primeira iteração salta para o lado certo; limitou o erro com o teorema do valor médio, mostrou as falhas do método (uma derivada nula, um ciclo, iterações que escapam) e comparou-o com a bisseção, que ganha um algarismo binário a cada iteração, enquanto o método de Newton-Raphson, perto de uma raiz simples, duplica nos exemplos o número de algarismos corretos.

O que se admite, o que se demonstra e o que fica

O balanço da unidade pode resumir-se assim:

Admitem-se o axioma da completude, que a unidade usa diretamente no teorema da limitação, no de Weierstrass e na convergência das iterações de Newton-Raphson; os teoremas das unidades sobre os limites e sobre as derivadas, em particular o teorema de Bolzano, a conservação do sinal, o caráter local da derivada e o sinal da derivada em um ponto; e resultados de Álgebra e Geometria, como as fórmulas trigonométricas, a desigualdade $\sin x < x < \tan x$ e as leis dos expoentes e dos logaritmos.
Demonstram-se fatos que a unidade sobre as derivadas tinha anunciado sem poder demonstrá-los: que uma derivada positiva em um intervalo dá uma função crescente, que uma função com derivada nula em um intervalo é constante e que o erro da aproximação pela diferencial pode ser limitado; e a tangente passa a ser um instrumento para aproximar raízes, para comparar o gráfico consigo mesmo e para medir quanto ele se curva.
Reutilizam-se três instrumentos em vez de repetir argumentos: o teorema de Weierstrass, que dá os extremos; o teorema do valor médio, que traduz o sinal da derivada em informação sobre os valores; e a monotonia pelo sinal da derivada, que sustenta os testes para os extremos e a convexidade.
Fica para Cálculo II o que exige mais que a derivada: a integral, o comprimento de arco, com o qual a curvatura se lê como a taxa com que gira a tangente, a continuidade uniforme, as sequências e as séries, e o polinômio de Taylor; e para Cálculo III, os extremos das funções de várias variáveis e a curvatura das curvas paramétricas.

A figura abaixo reúne os três trechos numa só cadeia. Cada nó da coluna é uma definição ou um teorema, numerado segundo a ordem lógica e unido por um arco aos elos precedentes que sua demonstração usa; ao redor flutuam os apoios, isto é, os princípios e os instrumentos a que a cadeia recorre repetidas vezes, cada um unido por um traço contínuo aos elos que nele se apoiam e por um traço pontilhado ao elo onde se estabelece, exceto os que provêm das unidades precedentes ou de Álgebra e Geometria, que são desenhados como anéis. Ao clicar em um apoio, destacam-se todos os elos que o usam, e cada elo remete à aula em que é demonstrado.

Apoios da cadeia

AAxioma da completude. Admite-se, desde Álgebra e Geometria I, que os reais formam um corpo ordenado completo: todo conjunto não vazio de reais limitado superiormente tem supremo, e todo conjunto não vazio limitado inferiormente tem ínfimo. Admitido sem demonstração nesta unidade.
BHerança da unidade 1. Resultados demonstrados na unidade sobre os limites e a continuidade: a álgebra de limites; os limites laterais, no infinito e infinitos; a conservação das desigualdades; a continuidade das operações e da composição; a limitação local e a conservação do sinal, para os limites e para as funções contínuas; e os limites notáveis. Admitido sem demonstração nesta unidade.
CHerança da unidade 2. Resultados demonstrados na unidade sobre as derivadas: a definição de derivada e as derivadas laterais, que derivável implica contínua, o caráter local da derivada, as regras de derivação e a regra da cadeia, as derivadas das funções elementares, a derivada da função inversa e a derivação implícita, e as derivadas sucessivas. Admitido sem demonstração nesta unidade.
DValor intermediário. Demonstrado com o supremo na unidade sobre as derivadas: se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ e $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos, $f$ se anula em algum ponto de $\ioo{a}{b}$ , que é o teorema de Bolzano; e a imagem de um intervalo por uma função contínua é um intervalo. Admitido sem demonstração nesta unidade.
ESinal da derivada em um ponto. Demonstrado na unidade sobre as derivadas: se $f$ está definida em um intervalo aberto e $f'(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < f(a)$ se $a - \delta < x < a$ , e $f(x) > f(a)$ se $a < x < a + \delta$ ; não se segue que $f$ seja crescente perto de $a$ . Admitido sem demonstração nesta unidade.
FExtremos atingidos. Uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge nele seu máximo e seu mínimo: o instrumento que dá existência aos extremos e aos pontos intermediários dos teoremas subsequentes. Estabelecido em: 2. Teorema de Weierstrass.
GValor médio. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ e derivável em cada ponto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ com $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : uma informação sobre a derivada em todos os pontos converte-se numa informação sobre os valores. Estabelecido em: 7. Teorema do valor médio de Lagrange.
HMonotonia pela derivada. Em um intervalo, uma derivada não negativa dá uma função crescente, e uma positiva, estritamente crescente: o instrumento com que se decidem os extremos e a convexidade. Estabelecido em: 12. Monotonia pelo sinal da derivada.

Trecho 1 A existência e o valor médio
- Demonstrar com o supremo que uma função contínua em um intervalo fechado e limitado é limitada e atinge seu máximo e seu mínimo, e mostrar que nenhuma hipótese sobra.
- Localizar os extremos locais interiores com o teorema de Fermat e deduzir dele e do teorema de Weierstrass os teoremas de Rolle, de Lagrange e de Cauchy.
- Obter do valor médio que uma derivada nula dá uma função constante, limitar incrementos e contar raízes.
- Demonstrar com o teorema de Cauchy a regra de L’Hôpital, reduzir a ela as demais formas indeterminadas e não usá-la para os limites com que se calcularam as derivadas.
1. Teorema da limitação. Se $f$ é contínua em um intervalo fechado e limitado $\icc{a}{b}$ , existe um número $K$ tal que $\abs{f(x)} \leq K$ para todo $x$ de $\icc{a}{b}$ .
  Apoia-se em: A (Axioma da completude), B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Teorema de Weierstrass dos valores extremos.
2. Teorema de Weierstrass. Se $f$ é contínua em um intervalo fechado e limitado $\icc{a}{b}$ , existem $x_1$ e $x_2$ em $\icc{a}{b}$ tais que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ para todo $x$ de $\icc{a}{b}$ ; nenhuma das hipóteses pode ser omitida.
  Usa: 1. Teorema da limitação. Apoia-se em: A (Axioma da completude), B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Teorema de Weierstrass dos valores extremos.
3. A imagem de um intervalo fechado e limitado. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , e $m$ e $M$ são seus valores mínimo e máximo nele, a imagem de $\icc{a}{b}$ é o intervalo $\icc{m}{M}$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass. Apoia-se em: F (Extremos atingidos), D (Valor intermediário). Demonstrado em: Teorema de Weierstrass dos valores extremos.
4. Um extremo no interior. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , com $a < b$ e $f(a) = f(b)$ , atinge seu máximo ou seu mínimo em algum ponto de $\ioo{a}{b}$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass. Apoia-se em: F (Extremos atingidos). Demonstrado em: Teorema de Weierstrass dos valores extremos.
5. Teorema de Fermat. Se $f$ , definida em $A$ , atinge um extremo local em um ponto interior $a$ de $A$ , isto é, se existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \leq f(a)$ para todos os $x$ de $A$ com $\abs{x - a} < \delta$ , ou $f(a) \leq f(x)$ para todos eles, e $f$ é derivável em $a$ , então $f'(a) = 0$ .
  Apoia-se em: E (Sinal da derivada em um ponto), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
6. Teorema de Rolle. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , com $a < b$ , derivável em cada ponto de $\ioo{a}{b}$ e $f(a) = f(b)$ , existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ com $f'(c) = 0$ .
  Usa: 4. Um extremo no interior, 5. Teorema de Fermat. Apoia-se em: F (Extremos atingidos), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
7. Teorema do valor médio de Lagrange. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , com $a < b$ , e derivável em cada ponto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ com $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : alguma tangente é paralela à corda.
  Usa: 6. Teorema de Rolle. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
8. Teorema do valor médio de Cauchy. Se $f$ e $g$ são contínuas em $\icc{a}{b}$ , com $a < b$ , e deriváveis em cada ponto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ em $\ioo{a}{b}$ com $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; se, além disso, $g'$ não se anula em $\ioo{a}{b}$ , então $g(b) \neq g(a)$ e $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  Usa: 6. Teorema de Rolle. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
9. Consequências do teorema do valor médio. Seja $f$ contínua em um intervalo $I$ e derivável em cada ponto interior. Se $f'$ se anula neles, $f$ é constante; duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante; se $\abs{f'(x)} \leq K$ neles, $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ para todos os $x$ , $y$ de $I$ ; e se $f$ é derivável em $I$ e tem $n \geq 2$ raízes distintas nele, $f'$ tem pelo menos $n - 1$ .
  Usa: 6. Teorema de Rolle, 7. Teorema do valor médio de Lagrange. Apoia-se em: G (Valor médio), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy.
10. Regra de L’Hôpital. Se $f$ e $g$ são deriváveis em $\ioo{a}{b}$ , com $g'(x) \neq 0$ nele, se $f(x)$ e $g(x)$ tendem a $0$ , ou $g(x)$ tende a $\infty$ ou a $-\infty$ , quando $x \to a^+$ , e se $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tende a $L$ , real, $\infty$ ou $-\infty$ , então $\frac{f(x)}{g(x)}$ tende a $L$ ; o mesmo vale pela esquerda, dos dois lados de um ponto e no infinito.
  Usa: 8. Teorema do valor médio de Cauchy. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Regra de L’Hôpital.
11. Derivadas nulas em um ponto. Sejam $n \geq 2$ um natural, $I$ um intervalo aberto, $a$ um ponto de $I$ e $f$ uma função $n - 1$ vezes derivável em $I$ e $n$ vezes derivável em $a$ , com $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . Então $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ tende a $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ quando $x \to a$ .
  Usa: 10. Regra de L’Hôpital. Apoia-se em: C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Regra de L’Hôpital.
Trecho 2 A monotonia, os extremos e a forma do gráfico
- Decidir a monotonia pelo sinal da derivada, caracterizar a monotonia estrita e demonstrar o teorema de Darboux.
- Classificar os pontos críticos com os testes da primeira e da segunda derivada e das derivadas sucessivas, e encontrar os extremos absolutos em intervalos fechados, abertos ou ilimitados.
- Caracterizar a convexidade pelas cordas, pela derivada crescente, pelas tangentes e pela segunda derivada, e reconhecer os pontos de inflexão.
- Medir a curvatura de um gráfico com a circunferência osculadora.
1. Monotonia pelo sinal da derivada. Seja $f$ contínua em um intervalo $I$ e derivável em cada ponto interior. Se $f'(x) \geq 0$ neles, $f$ é crescente em $I$ , e se $f'(x) > 0$ , estritamente crescente; com $f'(x) \leq 0$ ou $f'(x) < 0$ , decrescente ou estritamente decrescente. Reciprocamente, se $f$ é crescente em $I$ e derivável em um ponto interior $a$ , então $f'(a) \geq 0$ .
  Usa: 7. Teorema do valor médio de Lagrange. Apoia-se em: E (Sinal da derivada em um ponto), G (Valor médio), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Monotonia e teste da primeira derivada.
2. Monotonia estrita com derivada não negativa. Se $f$ é contínua em um intervalo $I$ e $f'(x) \geq 0$ em cada ponto interior, $f$ é estritamente crescente em $I$ se e somente se $f'$ não se anula em todos os pontos de nenhum intervalo $\ioo{p}{q}$ contido em $I$ ; em particular, se só se anula em um número finito de pontos.
  Usa: 9. Consequências do teorema do valor médio, 12. Monotonia pelo sinal da derivada. Apoia-se em: H (Monotonia pela derivada), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Monotonia e teste da primeira derivada.
3. Teste da primeira derivada. Se $f$ é contínua em $\ioo{a - r}{a + r}$ e derivável em cada ponto distinto de $a$ , com $f'(x) \geq 0$ à esquerda de $a$ e $f'(x) \leq 0$ à direita, atinge em $a$ um máximo local, estrito se as desigualdades o são; com as desigualdades invertidas, um mínimo local; e se $f'(x)$ é positiva dos dois lados, ou negativa dos dois lados, não há extremo em $a$ .
  Usa: 12. Monotonia pelo sinal da derivada. Apoia-se em: H (Monotonia pela derivada). Demonstrado em: Monotonia e teste da primeira derivada.
4. Teorema de Darboux. Se $f$ é derivável em um intervalo aberto $I$ e $a < b$ são pontos de $I$ , $f'$ assume em $\ioo{a}{b}$ todo valor compreendido estritamente entre $f'(a)$ e $f'(b)$ ; em consequência, $f'$ não tem em $I$ descontinuidades removíveis nem de salto.
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Apoia-se em: E (Sinal da derivada em um ponto), F (Extremos atingidos), B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Monotonia e teste da primeira derivada.
5. Derivada sem zeros. Se $f$ é contínua em um intervalo $I$ com mais de um ponto e derivável em cada ponto interior, com $f'(x) \neq 0$ em cada um, $f'$ tem o mesmo sinal em todos eles e $f$ é estritamente monótona em $I$ .
  Usa: 12. Monotonia pelo sinal da derivada, 15. Teorema de Darboux. Apoia-se em: H (Monotonia pela derivada). Demonstrado em: Monotonia e teste da primeira derivada.
6. Teste da segunda derivada. Se $f$ é derivável em um intervalo aberto $I$ e duas vezes derivável em um ponto $a$ de $I$ , com $f'(a) = 0$ , atinge em $a$ um mínimo local estrito se $f''(a) > 0$ , e um máximo local estrito se $f''(a) < 0$ .
  Usa: 14. Teste da primeira derivada. Apoia-se em: E (Sinal da derivada em um ponto), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Máximos e mínimos de uma função.
7. Teste das derivadas sucessivas. Se $f$ é $n - 1$ vezes derivável em um intervalo aberto $I$ e $n$ vezes derivável em um ponto $a$ de $I$ , com $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ e $f^{(n)}(a) \neq 0$ , então, se $n$ é par, $f$ atinge em $a$ um mínimo local estrito se $f^{(n)}(a) > 0$ , e um máximo local estrito se $f^{(n)}(a) < 0$ ; e se $n$ é ímpar, não atinge em $a$ nenhum extremo local.
  Usa: 11. Derivadas nulas em um ponto. Apoia-se em: B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Máximos e mínimos de uma função.
8. Extremos absolutos em um intervalo. Se $f$ é contínua em $\icc{a}{b}$ , atinge seus máximo e mínimo absolutos, e cada ponto em que os atinge é $a$ , $b$ ou um ponto crítico de $\ioo{a}{b}$ ; se é contínua em um intervalo aberto, limitado ou não, e algum valor supera seus limites nos dois extremos do intervalo, atinge seu máximo absoluto, em pontos críticos.
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Apoia-se em: F (Extremos atingidos), B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Máximos e mínimos de uma função.
9. Extremos absolutos pela monotonia. Se $f$ é contínua em um intervalo $I$ , $c$ é um ponto interior, $f'(x) \geq 0$ nos pontos interiores menores que $c$ e $f'(x) \leq 0$ nos maiores, $f$ atinge em $c$ seu máximo absoluto em $I$ ; e se $c$ é o único ponto crítico de $f$ em $I$ e $f$ atinge nele um extremo local, esse extremo é absoluto e estrito em $I$ .
  Usa: 12. Monotonia pelo sinal da derivada, 16. Derivada sem zeros. Apoia-se em: H (Monotonia pela derivada). Demonstrado em: Máximos e mínimos de uma função.
10. Convexidade e derivada crescente. Uma função $f$ é convexa em um intervalo $I$ se $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ para todos os $x$ , $y$ de $I$ e todo $t$ de $\icc{0}{1}$ . Se $f$ é contínua em $I$ e derivável em cada ponto interior, é convexa se e somente se $f'$ é crescente nos pontos interiores, e estritamente convexa se e somente se $f'$ é estritamente crescente neles.
  Usa: 7. Teorema do valor médio de Lagrange. Apoia-se em: G (Valor médio), B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
11. O gráfico acima de suas tangentes. Se $f$ é contínua em um intervalo $I$ com mais de um ponto e derivável em cada ponto interior, é convexa se e somente se $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ para todo ponto interior $a$ e todo $x$ de $I$ ; em particular, se é convexa e $f'(a) = 0$ , atinge em $a$ seu mínimo absoluto em $I$ .
  Usa: 21. Convexidade e derivada crescente. Demonstrado em: Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
12. Convexidade e segunda derivada. Se $f$ é contínua em um intervalo $I$ com mais de um ponto e duas vezes derivável em cada ponto interior, é convexa se e somente se $f''(x) \geq 0$ neles, e é estritamente convexa se, além disso, $f''$ não se anula em todos os pontos de nenhum intervalo aberto contido em $I$ .
  Usa: 12. Monotonia pelo sinal da derivada, 13. Monotonia estrita com derivada não negativa, 21. Convexidade e derivada crescente. Apoia-se em: H (Monotonia pela derivada), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
13. Pontos de inflexão. Se $f$ é contínua perto de $a$ , derivável em $a$ e $f''$ muda de sinal em $a$ , o ponto $a$ é de inflexão; em um ponto de inflexão em que $f$ é duas vezes derivável, $f''(a) = 0$ , mas isso não basta, como mostra $x^4$ em $0$ ; e se $f''(a) = 0$ e $f'''(a) \neq 0$ , $a$ é um ponto de inflexão e o gráfico atravessa sua tangente.
  Usa: 5. Teorema de Fermat, 18. Teste das derivadas sucessivas, 21. Convexidade e derivada crescente, 23. Convexidade e segunda derivada. Apoia-se em: E (Sinal da derivada em um ponto), B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
14. Desigualdade de Jensen. Se $f$ é contínua e convexa em um intervalo $I$ e derivável em cada ponto interior, então $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ para pontos $x_i$ de $I$ e pesos $t_i \geq 0$ de soma $1$ ; com o logaritmo, côncavo, a média geométrica de números positivos não supera a aritmética.
  Usa: 22. O gráfico acima de suas tangentes, 23. Convexidade e segunda derivada. Apoia-se em: C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Concavidade, convexidade e pontos de inflexão.
15. Circunferência osculadora. Se $f$ é derivável em um intervalo aberto e duas vezes derivável em um ponto $a$ , com $m = f'(a)$ e $q = f''(a) \neq 0$ , há exatamente uma circunferência que tem em $a$ o mesmo valor, a mesma derivada e a mesma segunda derivada que $f$ ; seu raio é $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ , o inverso da curvatura $\kappa$ , e seu centro está na normal, acima do ponto se $q > 0$ e abaixo dele se $q < 0$ .
  Apoia-se em: C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Curvatura e raio de curvatura.
Trecho 3 A otimização e a aproximação
- Traduzir um problema geométrico ou físico na busca do extremo absoluto de uma função, em um domínio fixado com precisão, e justificar que o extremo encontrado é absoluto.
- Encontrar o ponto de um gráfico mais próximo de um ponto dado e deduzir do tempo mínimo as leis da reflexão e da refração.
- Aproximar raízes com o método de Newton-Raphson, assegurar sua convergência com a convexidade e limitar o erro com o valor médio.
1. A distância de um ponto a um gráfico. Se $f$ é contínua em um intervalo com mais de um ponto que contém seus extremos, se os tem, algum ponto de seu gráfico está a distância mínima de um ponto $P = (x_1, y_1)$ ; se a abscissa $c$ desse ponto é interior e $f$ é derivável nela, $P$ está na normal: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Apoia-se em: F (Extremos atingidos), B (Herança da unidade 1), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Problemas de otimização.
2. A lei de Snell. A duração $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ do caminho que vai de $(0, a)$ a $(x, 0)$ com rapidez $v_1$ e dali a $(d, -b)$ com rapidez $v_2$ atinge seu mínimo absoluto estrito em um único ponto, onde $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ; daí, o caminho mais curto entre dois pontos que toca uma reta forma ângulos iguais com a perpendicular a ela, que é a lei da reflexão.
  Usa: 22. O gráfico acima de suas tangentes, 23. Convexidade e segunda derivada. Apoia-se em: D (Valor intermediário), C (Herança da unidade 2). Demonstrado em: Problemas de otimização.
3. Convergência de Newton-Raphson. Se $f$ é derivável e convexa em um intervalo aberto $I$ , com $f'(x) \neq 0$ em todo $I$ , e $f(r) = 0$ , as iterações $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ a partir de um $x_0$ de $I$ com $f(x_0) \geq 0$ aproximam-se de $r$ de forma monótona, sem ultrapassá-la, e convergem para $r$ ; a partir de um $x_0$ com $f(x_0) < 0$ , se $x_1$ está em $I$ , a primeira iteração leva ao lado certo.
  Usa: 16. Derivada sem zeros, 21. Convexidade e derivada crescente, 22. O gráfico acima de suas tangentes. Apoia-se em: A (Axioma da completude), B (Herança da unidade 1). Demonstrado em: O método de Newton-Raphson.
4. Cota do erro. Se $f$ é contínua em um intervalo $J$ e derivável em cada ponto interior, com $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ neles, e $f(r) = 0$ para um $r$ de $J$ , então $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ para todo $x$ de $J$ .
  Usa: 7. Teorema do valor médio de Lagrange. Apoia-se em: G (Valor médio). Demonstrado em: O método de Newton-Raphson.

Rumo a Cálculo II. A cadeia detém-se onde termina o curso. Em Cálculo II, o corolário segundo o qual duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante fundamenta as primitivas, e a integral une-se à derivada no teorema fundamental do cálculo; com o comprimento de arco, que é uma integral, a curvatura se lê como a taxa com que gira a tangente. As sequências, das quais as iterações de Newton-Raphson foram um primeiro exemplo, e as séries dão às funções definidas nos naturais uma teoria própria. E o polinômio de Taylor, cujo resto se limita com os teoremas de Rolle e de Cauchy, prolonga a reta tangente com as derivadas sucessivas, generaliza o teste das derivadas sucessivas e demonstra, sob hipóteses sobre a segunda derivada, a convergência quadrática do método de Newton-Raphson, que esta unidade só observou em exemplos.