تطبيقات المشتقات: الخلاصة والتحديات

ملخص

يختم هذا الدرس الوحدة الخاصة بتطبيقات المشتقات، ويختم معها الدورة. وهو يجمع في سلسلة استنتاجية واحدة ما برهنت عليه دروس الوحدة التسعة: مبرهنة فايرشتراس، المستخرجة من مسلّمة التمام كمبرهنة بولزانو، ومبرهنة فيرما، المستخرجة من إشارة المشتقة عند نقطة، تعطيان مبرهنة رول؛ ومن هذه تخرج مبرهنتا لاغرانج وكوشي في التزايدات المنتهية، ومنهما قاعدة لوبيتال، والرتابة من إشارة المشتقة، واختبارات القيم القصوى، والتقعر نحو الأعلى، والأمثلة، والحد الأعلى لخطأ طريقة نيوتن-رافسون. ويشرح كيف تستند الوحدة إلى الوحدتين اللتين سبقتاها وإلى الجبر والهندسة، وما تتركه للدورة اللاحقة: التكامل، والمتتاليات والمتسلسلات، وكثيرة حدود تايلور. ويُختم بتقييم الخروج، الموازي لتقييم الدخول، وبعشرة تحدّيات، أصعب من مسائل الدروس، يجمع كلٌّ منها نتائج عدة دروس منها ومن الوحدات التي سبقتها.

أهداف التعلم

عرض المبرهنات الرئيسية للوحدة بترتيب منطقي، مع بيان النتائج المتقدّمة التي يعتمد عليها كلٌّ منها، والبراهين التي يُعاد فيها استعمال مبرهنة فايرشتراس ومبرهنة التزايدات المنتهية والرتابة من إشارة المشتقة.
التمييز بين ما تقبله الوحدة دون برهان وما تبرهن عليه، والتعرّف على فرضيات كل نتيجة، وتحديد المواضع التي تتدخل فيها مسلّمة التمام.
ربط نتائج الوحدة بالوحدتين الخاصتين بالنهايات وبالمشتقات، وبالجبر والهندسة، وبما يدرسه التفاضل والتكامل 2.
حل مسائل غير روتينية تجمع بين وجود القيم القصوى، والتزايدات المنتهية، وقاعدة لوبيتال، والرتابة، والتقعر نحو الأعلى، والانحناء، والأمثلة، وطريقة نيوتن-رافسون.

ما حقّقته الوحدة

اشتغلت الوحدتان اللتان سبقتا هذه الوحدة عند نقطة: النهاية عند نقطة، والاتصال عند نقطة، والمشتقة عند نقطة. أما هذه الوحدة فانتقلت من النقطي إلى الكلي، وكان الجسر مسلّمة التمام. فمبرهنة فايرشتراس، المبرهن عليها بالحد الأعلى الأصغر كمبرهنة بولزانو، تضمن أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة تبلغ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى؛ ومبرهنة فيرما، التي تخرج من إشارة المشتقة عند نقطة، تقول أين يمكن أن تقع القيم القصوى الداخلية؛ ومعًا تعطيان مبرهنة رول، التي تلزم عنها مبرهنتا التزايدات المنتهية. وتُكتب مبرهنة لاغرانج هكذا:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

هذه المساواة تحوّل معلومةً عن المشتقة في جميع نقاط فترة إلى معلومة عن قيم الدالة، وكل ما بقي في الوحدة تقريبًا قراءةٌ لها: الرتابة، واختبارات القيم القصوى، والتقعر نحو الأعلى، وقاعدة لوبيتال، عبر صيغة كوشي، والحد الأعلى لخطأ طريقة نيوتن-رافسون. والبراهين تستشهد بهذه المبرهنات بدل إعادة الحجة.

الوجود والتزايدات المنتهية

برهن الدرس الخاص بـمبرهنة فايرشتراس أولًا على مبرهنة المحدودية، بأخذ الحد الأعلى الأصغر للنقاط التي تبقى الدالة محدودة حتى كلٍّ منها، والتقدم إلى ما بعده بالمحدودية المحلية التي يعطيها الاتصال؛ ثم على أن الحد الأعلى الأصغر للقيم يُبلغ، لأنه لو لم يُبلغ لكان مقلوب بُعد القيم عنه متصلًا وغير محدود. وبيّن بأمثلة مضادة أن لا فرضية زائدة (فترة مفتوحة، وفترة غير محدودة، ودالة غير متصلة، والأعداد النسبية، حيث ينقص التمام)، واستنتج بمبرهنة القيم الوسطى أن صورة فترة مغلقة ومحدودة فترة أخرى من النوع نفسه، وأن الدالة ذات القيمتين المتساويتين عند طرفي فترة تبلغ قيمة قصوى في داخلها. أما الدرس الخاص بـمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي فعرّف القيم القصوى المحلية بوصفها عبارات مكمّمة، وبرهن بإشارة المشتقة عند نقطة على أن المشتقة تنعدم عند قيمة قصوى محلية داخلية، وربط تباعًا مبرهنة رول ومبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية ومبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة، مبيّنًا لزوم فرضياتها. وكانت نتائجها أولى الخلاصات الكلية: الدالة ذات المشتقة المنعدمة على فترة ثابتة، والدالتان اللتان لهما المشتقة نفسها تختلفان بثابت، والحد على المشتقة يحدّ التزايدات، وبين جذرين لدالة يوجد جذر لمشتقتها، ونهاية المشتقة، إن وُجدت، هي المشتقة. وبرهن الدرس الخاص بـقاعدة لوبيتال عليها بمبرهنة كوشي، للحالة $\frac{0}{0}$ ، وبعناية أكبر، للحالة $\frac{\infty}{\infty}$ ، من جهة واحدة لنقطة، وعند النقطة، وعند اللانهاية؛ وردّ إليهما الحالات $0 \cdot \infty$ و $\infty - \infty$ و $1^\infty$ و $0^0$ و $\infty^0$ ، وبيّن أن القاعدة لا تحسم حين لا تكون لخارج قسمة المشتقتين نهاية، ونبّه إلى أنها لا تصلح للنهايات التي حُسبت بها المشتقات، واستخرج منها نتيجة المشتقات المنعدمة عند نقطة، التي تقارن تزايد دالة بقوةٍ لـ $x - a$ .

الرتابة والقيم القصوى وشكل التمثيل البياني

برهن الدرس الخاص بـالرتابة، بمبرهنة التزايدات المنتهية، على أن المشتقة غير السالبة على فترة تعطي دالة متزايدة، والموجبة تعطي دالة متزايدة تمامًا، ووصّف الرتابة التامة مع مشتقة غير سالبة: يجب ألا تنعدم المشتقة على فترة بأكملها. وبذلك تحققت وعود الوحدة الخاصة بالمشتقات، كالوعد بأن المشتقة الموجبة على فترة تكفي لوجود الدالة العكسية ولقابليتها للاشتقاق. وعرّف النقاط الحرجة، وبرهن على اختبار المشتقة الأولى وعلى مبرهنة داربو، التي بموجبها تأخذ المشتقة كل القيم الوسطى وإن لم تكن متصلة، فلا تكون لها انقطاعات قفزية، واستنتج أن المشتقة التي لا أصفار لها على فترة لا تغيّر إشارتها. وعرّف الدرس الخاص بـالقيم العظمى والصغرى القيمَ القصوى المطلقة والصارمة؛ وبرهن على اختبار المشتقة الثانية، وبقاعدة لوبيتال ودون كثيرة حدود تايلور، على اختبار المشتقات العليا، الذي يحسم بزوجية أول رتبة لا تنعدم عندها المشتقة؛ وبحث عن القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة ومحدودة بين طرفي الفترة والنقاط الحرجة، وعلى فترة مفتوحة أو غير محدودة بالنهايات عند الطرفين وبالرتابة، التي تعطي أيضًا أن القيمة القصوى المحلية عند النقطة الحرجة الوحيدة مطلقة. وعرّف الدرس الخاص بـالتقعر والتحدب التقعرَ نحو الأعلى بموضع التمثيل البياني بالنسبة إلى أوتاره، مع اصطلاح الوحدة (المقعّرة نحو الأعلى تقع تحت أوتارها)، وبرهن على أن كون الدالة القابلة للاشتقاق مقعّرة نحو الأعلى يكافئ تزايد مشتقتها ووقوع تمثيلها البياني فوق مماساته، وأنه بالنسبة إلى الدالة القابلة للاشتقاق مرتين يكافئ ألا تكون المشتقة الثانية سالبة؛ وعرّف نقاط الانعطاف، وحسمها بتغيّر إشارة المشتقة الثانية أو بالمشتقة الثالثة، وبيّن بـ $x^4$ أن انعدام المشتقة الثانية لا يكفي، واستخرج متباينة ينسن ومتباينة الوسطين الهندسي والحسابي. وعرّف الدرس الخاص بـالانحناء الدائرةَ اللاثمة بأنها الدائرة التي لها عند النقطة القيمة نفسها والمشتقة نفسها والمشتقة الثانية نفسها التي للدالة؛ وبرهن بالاشتقاق الضمني على أنها موجودة ووحيدة حين لا تنعدم المشتقة الثانية، بنصف قطر $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ ومركزٍ على الناظم، في الجهة التي ينحني نحوها التمثيل البياني، وبيّن أن هذا المركز نهاية نقاط تقاطع الناظمات المتجاورة.

الأمثلة والتقريب

حدّد الدرس الخاص بـمسائل الأمثلة طريقةً في خمس مراحل (المتغير، والدالة، والمجال، والقيم القصوى المطلقة مع تسويغها، والاستنتاج)، نقطتها الحاسمة تسويغ أن القيمة القصوى التي وُجدت مطلقة: بمبرهنة فايرشتراس إن كان المجال مغلقًا ومحدودًا، وإلا فبإشارة المشتقة، أو بالتقعر نحو الأعلى، أو بالنهايات عند الطرفين. وبرهن على أن الدالة وتركيبها مع دالة متزايدة تمامًا يبلغان قيمهما القصوى عند النقاط نفسها، وأن نقطة التمثيل البياني الأقرب إلى نقطة معطاة موجودة وتقع على ناظم، واستنتج من الزمن الأقل قانونَي الانكسار والانعكاس. ووضع الدرس الخاص بـطريقة نيوتن-رافسون المماسَ مكان التمثيل البياني لتقريب جذر؛ وعامل التكرارات معاملة دالة معرّفة على الأعداد الطبيعية، بتعريف النهاية عند اللانهاية ودون نظرية المتتاليات؛ وبرهن بالتقعر نحو الأعلى وبالحد الأدنى الأعظم للتكرارات على أنها، انطلاقًا من الجهة المناسبة، تقترب من الجذر دون أن تتجاوزه وتتقارب إليه، وأن التكرار الأول، انطلاقًا من الجهة الخاطئة، يقفز إلى الجهة المناسبة؛ وحدّ الخطأ بمبرهنة التزايدات المنتهية، وبيّن إخفاقات الطريقة (مشتقة منعدمة، ودورة، وتكرارات تفلت)، وقارنها بالتنصيف، الذي يكسب رقمًا ثنائيًا واحدًا في كل تنصيف، في حين أن طريقة نيوتن-رافسون، قرب جذر بسيط، تضاعف في الأمثلة عدد الأرقام الصحيحة.

ما يُقبل وما يُبرهن وما يبقى

يمكن تلخيص حصيلة الوحدة على هذا النحو:

تُقبل مسلّمة التمام، التي تستعملها الوحدة مباشرة في مبرهنة المحدودية، وفي مبرهنة فايرشتراس، وفي تقارب تكرارات نيوتن-رافسون؛ ومبرهنات الوحدتين الخاصتين بالنهايات وبالمشتقات، ولا سيما مبرهنة بولزانو، وحفظ الإشارة، والطابع المحلي للمشتقة، وإشارة المشتقة عند نقطة؛ ونتائج من الجبر والهندسة، كالصيغ المثلثية، والمتباينة $\sin x < x < \tan x$ ، وقوانين الأسس واللوغاريتمات.
يُبرهن على حقائق كانت الوحدة الخاصة بالمشتقات قد أعلنتها دون أن تقدر على البرهان عليها: أن المشتقة الموجبة على فترة تعطي دالة متزايدة، وأن الدالة ذات المشتقة المنعدمة على فترة ثابتة، وأن خطأ التقريب بالتفاضل يمكن حدّه؛ ويصير المماس أداةً لتقريب الجذور، ولمقارنة التمثيل البياني بنفسه، ولقياس مقدار انحنائه.
يُعاد استعمال ثلاث أدوات بدل تكرار الحجج: مبرهنة فايرشتراس، التي تعطي القيم القصوى؛ ومبرهنة التزايدات المنتهية، التي تترجم إشارة المشتقة إلى معلومات عن القيم؛ والرتابة من إشارة المشتقة، التي تسند اختبارات القيم القصوى والتقعر نحو الأعلى.
يبقى للتفاضل والتكامل 2 ما يتطلب أكثر من المشتقة: التكامل، وطول القوس، الذي يُقرأ به الانحناء بوصفه سرعة دوران المماس، والاتصال المنتظم، والمتتاليات والمتسلسلات، وكثيرة حدود تايلور؛ وللتفاضل والتكامل 3، القيم القصوى للدوال متعددة المتغيرات وانحناء المنحنيات الوسيطية.

يجمع الرسم الآتي المقاطع الثلاثة في سلسلة واحدة. كل عقدة في العمود تعريفٌ أو مبرهنة، مرقّمة بحسب الترتيب المنطقي، وموصولة بقوس بالحلقات المتقدّمة عليها التي يستعملها برهانها؛ وحولها تطفو الدعامات، أي المبادئ والأدوات التي تعود إليها السلسلة مرة بعد مرة، وكلٌّ منها موصول بخط متّصل بالحلقات التي تستند إليها وبخط منقّط بالحلقة التي تُثبَت فيها، باستثناء ما يأتي من الوحدتين اللتين سبقتا هذه الوحدة أو من الجبر والهندسة، فيُرسم أطواقًا. والنقر على دعامة يُبرز كل الحلقات التي تستعملها، وكل حلقة تحيل إلى الدرس الذي يُبرهن عليها فيه.

دعامات السلسلة

Aمسلّمة التمام. يُقبل، منذ الجبر والهندسة 1، أن الأعداد الحقيقية تكوّن حقلًا مرتبًا تامًا: كل مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية محدودة من الأعلى لها حد أعلى أصغر، وكل مجموعة غير خالية محدودة من الأسفل لها حد أدنى أكبر. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Bإرث الوحدة 1. نتائج مبرهن عليها في الوحدة الخاصة بالنهايات والاتصال: جبر النهايات؛ والنهايات من جهة واحدة، وعند اللانهاية، واللانهائية؛ وحفظ المتباينات؛ واتصال العمليات واتصال التركيب؛ والمحدودية المحلية وحفظ الإشارة، للنهايات وللدوال المتصلة؛ والنهايات الشهيرة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Cإرث الوحدة 2. نتائج مبرهن عليها في الوحدة الخاصة بالمشتقات: تعريف المشتقة والمشتقتان من جهة واحدة، وأن القابلية للاشتقاق تستلزم الاتصال، والطابع المحلي للمشتقة، وقواعد الاشتقاق وقاعدة السلسلة، ومشتقات الدوال الأولية، ومشتقة الدالة العكسية والاشتقاق الضمني، والمشتقات المتتالية. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Dالقيم الوسطى. مبرهن عليها بالحد الأعلى الأصغر في الوحدة الخاصة بالمشتقات: إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ وكان لـ $f(a)$ و $f(b)$ إشارتان متعاكستان، فإن $f$ تنعدم عند نقطة ما من $\ioo{a}{b}$ ، وهي مبرهنة بولزانو؛ وصورة فترة بدالة متصلة فترة. يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Eإشارة المشتقة عند نقطة. مبرهن عليها في الوحدة الخاصة بالمشتقات: إذا كانت $f$ معرّفة على فترة مفتوحة و $f'(a) > 0$ ، فإنه يوجد $\delta > 0$ بحيث $f(x) < f(a)$ إذا كان $a - \delta < x < a$ ، و $f(x) > f(a)$ إذا كان $a < x < a + \delta$ ؛ ولا يلزم أن تكون $f$ متزايدة بقرب $a$ . يُقبل دون برهان في هذه الوحدة.
Fالقيم القصوى المبلوغة. الدالة المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة تبلغ عليها قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى: الأداة التي تعطي الوجود للقيم القصوى وللنقاط الوسطى في المبرهنات اللاحقة. تثبت في: 2. مبرهنة فايرشتراس.
Gالتزايدات المنتهية. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{a}{b}$ ، فإنه يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ مع $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : معلومة عن المشتقة في جميع النقاط تتحول إلى معلومة عن القيم. تثبت في: 7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية.
Hالرتابة بواسطة المشتقة. على فترة، المشتقة غير السالبة تعطي دالة متزايدة، والموجبة تعطي دالة متزايدة تمامًا: الأداة التي تُحسم بها القيم القصوى والتقعر نحو الأعلى. تثبت في: 12. الرتابة من إشارة المشتقة.

المقطع 1 الوجود والتزايدات المنتهية
- البرهان بالحد الأعلى الأصغر على أن الدالة المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة محدودة وتبلغ قيمتها العظمى وقيمتها الصغرى، وبيان أن لا فرضية زائدة.
- تحديد مواضع القيم القصوى المحلية الداخلية بمبرهنة فيرما، واستنتاج مبرهنات رول ولاغرانج وكوشي منها ومن مبرهنة فايرشتراس.
- الاستنتاج من التزايدات المنتهية أن المشتقة المنعدمة تعطي دالة ثابتة، وحدّ التزايدات، وعدّ الجذور.
- البرهان بمبرهنة كوشي على قاعدة لوبيتال، وردّ حالات عدم التعيين الأخرى إليها، وعدم استعمالها للنهايات التي حُسبت بها المشتقات.
1. مبرهنة المحدودية. إذا كانت $f$ متصلة على فترة مغلقة ومحدودة $\icc{a}{b}$ ، فإنه يوجد عدد $K$ بحيث $\abs{f(x)} \leq K$ لكل $x$ من $\icc{a}{b}$ .
  تستند إلى: A (مسلّمة التمام), B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى.
2. مبرهنة فايرشتراس. إذا كانت $f$ متصلة على فترة مغلقة ومحدودة $\icc{a}{b}$ ، فإنه يوجد $x_1$ و $x_2$ في $\icc{a}{b}$ بحيث $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ لكل $x$ من $\icc{a}{b}$ ؛ ولا يمكن الاستغناء عن أيٍّ من الفرضيات.
  تستعمل: 1. مبرهنة المحدودية. تستند إلى: A (مسلّمة التمام), B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى.
3. صورة فترة مغلقة ومحدودة. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، وكانت $m$ و $M$ قيمتيها الصغرى والعظمى عليها، فإن صورة $\icc{a}{b}$ هي الفترة $\icc{m}{M}$ .
  تستعمل: 2. مبرهنة فايرشتراس. تستند إلى: F (القيم القصوى المبلوغة), D (القيم الوسطى). يُبرهن في: مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى.
4. قيمة قصوى في نقطة داخلية. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، مع $a < b$ و $f(a) = f(b)$ ، فإنها تبلغ قيمتها العظمى أو قيمتها الصغرى عند نقطة ما من $\ioo{a}{b}$ .
  تستعمل: 2. مبرهنة فايرشتراس. تستند إلى: F (القيم القصوى المبلوغة). يُبرهن في: مبرهنة فايرشتراس للقيم القصوى.
5. مبرهنة فيرما. إذا بلغت $f$ ، المعرّفة على $A$ ، قيمة قصوى محلية عند نقطة داخلية $a$ من $A$ ، أي إذا وُجد $\delta > 0$ بحيث $f(x) \leq f(a)$ لكل $x$ من $A$ مع $\abs{x - a} < \delta$ ، أو $f(a) \leq f(x)$ لكلٍّ منها، وكانت $f$ قابلة للاشتقاق عند $a$ ، فإن $f'(a) = 0$ .
  تستند إلى: E (إشارة المشتقة عند نقطة), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي.
6. مبرهنة رول. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، مع $a < b$ ، وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{a}{b}$ و $f(a) = f(b)$ ، فإنه يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ مع $f'(c) = 0$ .
  تستعمل: 4. قيمة قصوى في نقطة داخلية, 5. مبرهنة فيرما. تستند إلى: F (القيم القصوى المبلوغة), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي.
7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، مع $a < b$ ، وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{a}{b}$ ، فإنه يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ مع $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : ثمة مماس يوازي وتر المنحنى.
  تستعمل: 6. مبرهنة رول. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي.
8. مبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة. إذا كانت $f$ و $g$ متصلتين على $\icc{a}{b}$ ، مع $a < b$ ، وقابلتين للاشتقاق عند كل نقطة من $\ioo{a}{b}$ ، فإنه يوجد $c$ في $\ioo{a}{b}$ مع $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ؛ وإذا كانت $g'$ ، فوق ذلك، لا تنعدم على $\ioo{a}{b}$ ، فإن $g(b) \neq g(a)$ و $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  تستعمل: 6. مبرهنة رول. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي.
9. نتائج التزايدات المنتهية. لتكن $f$ متصلة على فترة $I$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية. إذا انعدمت $f'$ عند هذه النقاط، فإن $f$ ثابتة؛ والدالتان اللتان لهما المشتقة نفسها تختلفان بثابت؛ وإذا كان $\abs{f'(x)} \leq K$ عند هذه النقاط، فإن $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ لكل $x$ و $y$ من $I$ ؛ وإذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على $I$ ولها عليها جذور مختلفة عددها $n \geq 2$ ، فإن لـ $f'$ جذورًا عددها $n - 1$ على الأقل.
  تستعمل: 6. مبرهنة رول, 7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية. تستند إلى: G (التزايدات المنتهية), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي.
10. قاعدة لوبيتال. إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق على $\ioo{a}{b}$ ، مع $g'(x) \neq 0$ عليها، وإذا آلت $f(x)$ و $g(x)$ إلى $0$ ، أو آلت $g(x)$ إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$ ، عندما $x \to a^+$ ، وإذا آلت $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ إلى $L$ ، وهي عدد حقيقي، أو إلى $\infty$ أو $-\infty$ ، فإن $\frac{f(x)}{g(x)}$ تؤول إلى $L$ ؛ ويصح الأمر نفسه من اليسار، ومن جهتي نقطة، وعند اللانهاية.
  تستعمل: 8. مبرهنة كوشي في التزايدات المنتهية المعمّمة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: قاعدة لوبيتال.
11. مشتقات منعدمة عند نقطة. ليكن $n \geq 2$ عددًا طبيعيًا، و $I$ فترة مفتوحة، و $a$ نقطة من $I$ ، و $f$ دالة قابلة للاشتقاق $n - 1$ مرة على $I$ و $n$ مرة عند $a$ ، مع $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . عندئذ تؤول $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ إلى $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ عندما $x \to a$ .
  تستعمل: 10. قاعدة لوبيتال. تستند إلى: C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: قاعدة لوبيتال.
المقطع 2 الرتابة والقيم القصوى وشكل التمثيل البياني
- حسم الرتابة بإشارة المشتقة، وتوصيف الرتابة التامة، والبرهان على مبرهنة داربو.
- تصنيف النقاط الحرجة باختبارات المشتقة الأولى والمشتقة الثانية والمشتقات العليا، وإيجاد القيم القصوى المطلقة على فترات مغلقة أو مفتوحة أو غير محدودة.
- توصيف التقعر نحو الأعلى بالأوتار، وبتزايد المشتقة، وبالمماسات، وبالمشتقة الثانية، والتعرّف على نقاط الانعطاف.
- قياس انحناء تمثيل بياني بالدائرة اللاثمة.
1. الرتابة من إشارة المشتقة. لتكن $f$ متصلة على فترة $I$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية. إذا كان $f'(x) \geq 0$ عند هذه النقاط، فإن $f$ متزايدة على $I$ ، وإذا كان $f'(x) > 0$ ، فهي متزايدة تمامًا؛ ومع $f'(x) \leq 0$ أو $f'(x) < 0$ ، تكون متناقصة أو متناقصة تمامًا. وبالعكس، إذا كانت $f$ متزايدة على $I$ وقابلة للاشتقاق عند نقطة داخلية $a$ ، فإن $f'(a) \geq 0$ .
  تستعمل: 7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية. تستند إلى: E (إشارة المشتقة عند نقطة), G (التزايدات المنتهية), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: الرتابة واختبار المشتقة الأولى.
2. الرتابة التامة مع مشتقة غير سالبة. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $I$ وكان $f'(x) \geq 0$ عند كل نقطة داخلية، فإن $f$ متزايدة تمامًا على $I$ إذا وفقط إذا لم تنعدم $f'$ في جميع نقاط أي فترة $\ioo{p}{q}$ محتواة في $I$ ؛ ولا سيما إذا لم تنعدم إلا عند عدد منتهٍ من النقاط.
  تستعمل: 9. نتائج التزايدات المنتهية, 12. الرتابة من إشارة المشتقة. تستند إلى: H (الرتابة بواسطة المشتقة), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: الرتابة واختبار المشتقة الأولى.
3. اختبار المشتقة الأولى. إذا كانت $f$ متصلة على $\ioo{a - r}{a + r}$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة مختلفة عن $a$ ، مع $f'(x) \geq 0$ على يسار $a$ و $f'(x) \leq 0$ على يمينها، فإنها تبلغ عند $a$ قيمة عظمى محلية، صارمة إذا كانت المتباينتان صارمتين؛ ومع المتباينتين معكوستين، قيمة صغرى محلية؛ وإذا كانت $f'(x)$ موجبة من الجهتين، أو سالبة من الجهتين، فلا قيمة قصوى عند $a$ .
  تستعمل: 12. الرتابة من إشارة المشتقة. تستند إلى: H (الرتابة بواسطة المشتقة). يُبرهن في: الرتابة واختبار المشتقة الأولى.
4. مبرهنة داربو. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة $I$ وكانت $a < b$ نقطتين من $I$ ، فإن $f'$ تأخذ على $\ioo{a}{b}$ كل قيمة واقعة تمامًا بين $f'(a)$ و $f'(b)$ ؛ ومن ثمّ ليست لـ $f'$ على $I$ انقطاعات قابلة للإزالة ولا انقطاعات قفزية.
  تستعمل: 2. مبرهنة فايرشتراس, 5. مبرهنة فيرما. تستند إلى: E (إشارة المشتقة عند نقطة), F (القيم القصوى المبلوغة), B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: الرتابة واختبار المشتقة الأولى.
5. مشتقة بلا أصفار. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $I$ تحوي أكثر من نقطة وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية، مع $f'(x) \neq 0$ عند كلٍّ منها، فإن لـ $f'$ الإشارة نفسها عند جميعها وتكون $f$ رتيبة تمامًا على $I$ .
  تستعمل: 12. الرتابة من إشارة المشتقة, 15. مبرهنة داربو. تستند إلى: H (الرتابة بواسطة المشتقة). يُبرهن في: الرتابة واختبار المشتقة الأولى.
6. اختبار المشتقة الثانية. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة $I$ وقابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة $a$ من $I$ ، مع $f'(a) = 0$ ، فإنها تبلغ عند $a$ قيمة صغرى محلية صارمة إذا كان $f''(a) > 0$ ، وقيمة عظمى محلية صارمة إذا كان $f''(a) < 0$ .
  تستعمل: 14. اختبار المشتقة الأولى. تستند إلى: E (إشارة المشتقة عند نقطة), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: القيم العظمى والصغرى لدالة.
7. اختبار المشتقات العليا. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق $n - 1$ مرة على فترة مفتوحة $I$ و $n$ مرة عند نقطة $a$ من $I$ ، مع $n \geq 2$ و $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ و $f^{(n)}(a) \neq 0$ ، فإنه، إذا كان $n$ زوجيًا، تبلغ $f$ عند $a$ قيمة صغرى محلية صارمة إذا كان $f^{(n)}(a) > 0$ ، وقيمة عظمى محلية صارمة إذا كان $f^{(n)}(a) < 0$ ؛ وإذا كان $n$ فرديًا، فلا تبلغ عند $a$ أي قيمة قصوى محلية.
  تستعمل: 11. مشتقات منعدمة عند نقطة. تستند إلى: B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: القيم العظمى والصغرى لدالة.
8. القيم القصوى المطلقة على فترة. إذا كانت $f$ متصلة على $\icc{a}{b}$ ، فإنها تبلغ قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها الصغرى المطلقة، وكل نقطة تبلغهما عندها هي $a$ أو $b$ أو نقطة حرجة من $\ioo{a}{b}$ ؛ وإذا كانت متصلة على فترة مفتوحة، محدودة أو غير محدودة، وكانت قيمةٌ ما من قيمها تفوق نهايتيها عند الطرفين، فإنها تبلغ قيمتها العظمى المطلقة، عند نقاط حرجة.
  تستعمل: 2. مبرهنة فايرشتراس, 5. مبرهنة فيرما. تستند إلى: F (القيم القصوى المبلوغة), B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: القيم العظمى والصغرى لدالة.
9. القيم القصوى المطلقة بواسطة الرتابة. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $I$ ، وكانت $c$ نقطة داخلية، و $f'(x) \geq 0$ عند النقاط الداخلية الأصغر من $c$ و $f'(x) \leq 0$ عند الأكبر منها، فإن $f$ تبلغ عند $c$ قيمتها العظمى المطلقة على $I$ ؛ وإذا كانت $c$ النقطة الحرجة الوحيدة لـ $f$ على $I$ وبلغت $f$ عندها قيمة قصوى محلية، فإن هذه القيمة القصوى مطلقة وصارمة على $I$ .
  تستعمل: 12. الرتابة من إشارة المشتقة, 16. مشتقة بلا أصفار. تستند إلى: H (الرتابة بواسطة المشتقة). يُبرهن في: القيم العظمى والصغرى لدالة.
10. التقعر نحو الأعلى وتزايد المشتقة. تكون الدالة $f$ مقعّرة نحو الأعلى على فترة $I$ إذا كان $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ لكل $x$ و $y$ من $I$ ولكل $t$ من $\icc{0}{1}$ . وإذا كانت $f$ متصلة على $I$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية، فإنها مقعّرة نحو الأعلى إذا وفقط إذا كانت $f'$ متزايدة على النقاط الداخلية، ومقعّرة تمامًا نحو الأعلى إذا وفقط إذا كانت $f'$ متزايدة تمامًا عليها.
  تستعمل: 7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية. تستند إلى: G (التزايدات المنتهية), B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف.
11. التمثيل البياني فوق مماساته. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $I$ تحوي أكثر من نقطة وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية، فإنها مقعّرة نحو الأعلى إذا وفقط إذا كان $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ لكل نقطة داخلية $a$ ولكل $x$ من $I$ ؛ ولا سيما إذا كانت مقعّرة نحو الأعلى و $f'(a) = 0$ ، فإنها تبلغ عند $a$ قيمتها الصغرى المطلقة على $I$ .
  تستعمل: 21. التقعر نحو الأعلى وتزايد المشتقة. يُبرهن في: التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف.
12. التقعر نحو الأعلى والمشتقة الثانية. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $I$ تحوي أكثر من نقطة وقابلة للاشتقاق مرتين عند كل نقطة داخلية، فإنها مقعّرة نحو الأعلى إذا وفقط إذا كان $f''(x) \geq 0$ عند هذه النقاط، وتكون مقعّرة تمامًا نحو الأعلى إذا لم تنعدم $f''$ ، فوق ذلك، في جميع نقاط أي فترة مفتوحة محتواة في $I$ .
  تستعمل: 12. الرتابة من إشارة المشتقة, 13. الرتابة التامة مع مشتقة غير سالبة, 21. التقعر نحو الأعلى وتزايد المشتقة. تستند إلى: H (الرتابة بواسطة المشتقة), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف.
13. نقاط الانعطاف. إذا كانت $f$ متصلة بقرب $a$ ، وقابلة للاشتقاق عند $a$ ، وغيّرت $f''$ إشارتها عند $a$ ، فإن النقطة $a$ نقطة انعطاف؛ وعند نقطة انعطاف تكون فيها $f$ قابلة للاشتقاق مرتين، يكون $f''(a) = 0$ ، لكن ذلك لا يكفي، كما تبيّن $x^4$ عند $0$ ؛ وإذا كان $f''(a) = 0$ و $f'''(a) \neq 0$ ، فإن $a$ نقطة انعطاف والتمثيل البياني يخترق مماسه.
  تستعمل: 5. مبرهنة فيرما, 18. اختبار المشتقات العليا, 21. التقعر نحو الأعلى وتزايد المشتقة, 23. التقعر نحو الأعلى والمشتقة الثانية. تستند إلى: E (إشارة المشتقة عند نقطة), B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف.
14. متباينة ينسن. إذا كانت $f$ متصلة ومقعّرة نحو الأعلى على فترة $I$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية، فإن $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ لنقاط $x_i$ من $I$ وأوزان $t_i \geq 0$ مجموعها $1$ ؛ وباللوغاريتم، المقعّر نحو الأسفل، لا يتجاوز الوسط الهندسي لأعداد موجبة الوسطَ الحسابي.
  تستعمل: 22. التمثيل البياني فوق مماساته, 23. التقعر نحو الأعلى والمشتقة الثانية. تستند إلى: C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: التقعر والتحدب ونقاط الانعطاف.
15. الدائرة اللاثمة. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على فترة مفتوحة وقابلة للاشتقاق مرتين عند نقطة $a$ ، مع $m = f'(a)$ و $q = f''(a) \neq 0$ ، فإنه توجد دائرة واحدة بالضبط لها عند $a$ القيمة نفسها والمشتقة نفسها والمشتقة الثانية نفسها التي لـ $f$ ؛ ونصف قطرها $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ ، مقلوب الانحناء $\kappa$ ، ومركزها على الناظم، فوق النقطة إذا كان $q > 0$ وتحتها إذا كان $q < 0$ .
  تستند إلى: C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: الانحناء ونصف قطر الانحناء.
المقطع 3 الأمثلة والتقريب
- ترجمة مسألة هندسية أو فيزيائية إلى البحث عن القيمة القصوى المطلقة لدالة، على مجال محدد بدقة، وتسويغ أن القيمة القصوى التي وُجدت مطلقة.
- إيجاد نقطة التمثيل البياني الأقرب إلى نقطة معطاة، واستنتاج قانونَي الانعكاس والانكسار من الزمن الأقل.
- تقريب الجذور بطريقة نيوتن-رافسون، وضمان تقاربها بالتقعر نحو الأعلى، وحدّ الخطأ بالتزايدات المنتهية.
1. المسافة من نقطة إلى تمثيل بياني. إذا كانت $f$ متصلة على فترة تحوي أكثر من نقطة وتحوي طرفيها، إن كان لها طرفان، فإن نقطةً ما من تمثيلها البياني تقع على أصغر مسافة من نقطة $P = (x_1, y_1)$ ؛ وإذا كان الإحداثي السيني $c$ لهذه النقطة داخليًا وكانت $f$ قابلة للاشتقاق عنده، فإن $P$ تقع على الناظم: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  تستعمل: 2. مبرهنة فايرشتراس, 5. مبرهنة فيرما. تستند إلى: F (القيم القصوى المبلوغة), B (إرث الوحدة 1), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مسائل الأمثلة.
2. قانون سنيل. المدة $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ للمسار الذي يذهب من $(0, a)$ إلى $(x, 0)$ بسرعة $v_1$ ومن هناك إلى $(d, -b)$ بسرعة $v_2$ تبلغ قيمتها الصغرى المطلقة الصارمة عند نقطة وحيدة، حيث $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ؛ ومن ثمّ فإن أقصر مسار بين نقطتين يمسّ مستقيمًا يصنع زاويتين متساويتين مع العمود عليه، وهو قانون الانعكاس.
  تستعمل: 22. التمثيل البياني فوق مماساته, 23. التقعر نحو الأعلى والمشتقة الثانية. تستند إلى: D (القيم الوسطى), C (إرث الوحدة 2). يُبرهن في: مسائل الأمثلة.
3. تقارب طريقة نيوتن-رافسون. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق ومقعّرة نحو الأعلى على فترة مفتوحة $I$ ، مع $f'(x) \neq 0$ على كامل $I$ ، و $f(r) = 0$ ، فإن التكرارات $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ انطلاقًا من $x_0$ من $I$ مع $f(x_0) \geq 0$ تقترب من $r$ اقترابًا رتيبًا، دون أن تتجاوزه، وتتقارب إلى $r$ ؛ وانطلاقًا من $x_0$ مع $f(x_0) < 0$ ، إذا كانت $x_1$ في $I$ ، فإن التكرار الأول يؤدي إلى الجهة المناسبة.
  تستعمل: 16. مشتقة بلا أصفار, 21. التقعر نحو الأعلى وتزايد المشتقة, 22. التمثيل البياني فوق مماساته. تستند إلى: A (مسلّمة التمام), B (إرث الوحدة 1). يُبرهن في: طريقة نيوتن-رافسون.
4. الحد الأعلى للخطأ. إذا كانت $f$ متصلة على فترة $J$ وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة داخلية، مع $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ عند هذه النقاط، و $f(r) = 0$ لـ $r$ ما من $J$ ، فإن $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ لكل $x$ من $J$ .
  تستعمل: 7. مبرهنة لاغرانج في التزايدات المنتهية. تستند إلى: G (التزايدات المنتهية). يُبرهن في: طريقة نيوتن-رافسون.

نحو التفاضل والتكامل 2. تتوقف السلسلة حيث تنتهي الدورة. ففي التفاضل والتكامل 2، تؤسس النتيجةُ التي بموجبها تختلف دالتان لهما المشتقة نفسها بثابتٍ الدوالَّ الأصلية، ويتحد التكامل بالمشتقة في المبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل؛ وبطول القوس، الذي هو تكامل، يُقرأ الانحناء بوصفه سرعة دوران المماس. والمتتاليات، التي كانت تكرارات نيوتن-رافسون مثالًا أول عليها، والمتسلسلات تمنح الدوال المعرّفة على الأعداد الطبيعية نظرية خاصة بها. وكثيرة حدود تايلور، التي يُحدّ باقيها بمبرهنتي رول وكوشي، تمدّ المستقيم المماس بالمشتقات المتتالية، وتعمّم اختبار المشتقات العليا، وتبرهن، تحت فرضيات على المشتقة الثانية، على التقارب التربيعي لطريقة نيوتن-رافسون، الذي لم تلاحظه هذه الوحدة إلا في أمثلة.

في بقية هذا الدرس

الوحدة داخل الدورة
تقييم الخروج
التحدّيات
أفضل ثابت للظل
المدى على سفح مائل
المماسات للدالة الأسية من نقطة
قضيب سكة حديدية يتمدد
خطأ الاستكمال الخطي
كرة في قاع وعاء
كثيرات حدود جميع جذورها حقيقية
متوسطات القوى
المشتقتان من جهة واحدة لدالة مقعّرة نحو الأعلى
جذور مشتقات منحنى الجرس