الحصيلة النهائية لدورة التفاضل والتكامل 1

ملخص

ليس هذا المدخل درسًا آخر، بل هو الحصيلة النهائية للدورة: يذكّر بالأهداف التعلّمية السبعة التي وضعتها الخطة الدراسية في البداية، ويبيّن في رسم واحد الهدفَ الذي أُسند إليه كل درس من دروس كل وحدة، ويشرح كيف عُمل على كل هدف على امتداد وحدات المحتوى الثلاث، ويميّز الأهداف التي لها وحدة خاصة بها من الخيوط التي تسري في الوحدات الثلاث ومن الأهداف التي تسري في الدورة كلها، ويعلّم كيف يُقرأ التقييم الذاتي حسب الهدف، الذي يجمع المحاولة الأولى في تقييمات الخروج، ويشير إلى ما تتركه الدورة لدورتي التفاضل والتكامل 2 والتفاضل والتكامل 3.

أهداف التعلم

أن يذكر الأهداف العامة السبعة للدورة، وأن يتعرّف في أي الوحدات والدروس جرى العمل على كل منها.
أن يميّز الأهداف التي لها وحدة خاصة بها من الأهداف التي تسري في عدة وحدات، كالتمام والتقريب، ومن الأهداف التي تسري في الدورة كلها، وهما الاستدلال الاستنتاجي والنمذجة، وأن يشرح كيف يُتمرَّن على هذين الأخيرين.
أن يشرح كيف يسند تعريفُ النهاية ومسلّمةُ التمام، عبر المشتقة ومبرهنة التزايدات المنتهية، ما تعرفه الدورة عن شكل الدالة، وما تتركه الدورة لدورتي التفاضل والتكامل 2 والتفاضل والتكامل 3.
أن يقرّر، انطلاقًا من التقييم الذاتي حسب الهدف ومن الرسم ومن تحديات كل خلاصة، أيّ الوحدات وأيّ الدروس تحسن مراجعتها قبل الانتقال إلى دورة التفاضل والتكامل 2.

ما الذي وضعته الدورة غايةً لها

قادت ثلاث مسائل قديمة إلى التفاضل والتكامل: سرعة متحرك في لحظة، وميل المماس لمنحنٍ، ومساحة شكل منحني الحدود. وقد أخذت الدورة المسألتين الأوليين، اللتين تقودان إلى المشتقة، ونشأت بغاية عامة: أن تؤسّس حساب التفاضل لدوال متغير حقيقي واحد على تعريف النهاية ومسلّمة التمام، وأن تستنتج منهما، ببراهين تامة، ما تتيح المشتقة معرفته عن تغيّر الدالة وشكلها وقيمها القصوى. وقد بسط درس الخطة الدراسية هذه الغاية في سبعة أهداف تعلّمية عامة، يحسن أن تبقى أمام الأعين بالترقيم الذي يذكرها به الرسم:

أن يبرهن باستدلال استنتاجي صريح: أن يكتب التعريفات عباراتٍ مكمّمة وأن ينفيها، وأن يحاجّ بإبسيلون ودلتا، وأن يستنتج مبرهنات الوجود من مسلّمة التمام، وأن يبيّن بأمثلة مضادة أن الفرضية ليست زائدة، وأن يميّز ما استُنتج مما قُبل.
أن يعرّف النهايات المنتهية، ومن جهة واحدة، وعند اللانهاية، واللانهائية ويحسبها، وأن يرفع حالات عدم التعيين، بما في ذلك بقاعدة لوبيتال، وأن يجد بها المقاربات والتمثيل البياني للدالة.
أن يحكم على اتصال دالة، وأن يصنّف نقاط عدم اتصالها، وأن يطبّق مبرهنات بولزانو والقيم الوسطى وفايرشتراس، التي تستند إلى مسلّمة التمام.
أن يعرّف المشتقة، وأن يميّزها بالتقريب الخطي وبتحليل كاراثيودوري، وأن يبرهن قواعدها وأن يشتقّ بها دوالّ من كل نوع، محدّدًا مجال تعريف كل مشتقة.
أن يبرهن مبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي وأن يطبّقها، وأن يدرس بها الرتابة والقيم القصوى والتقعر والانعطاف وانحناء التمثيل البياني.
أن يقرّب القيم والجذور بالتفاضل وبالتنصيف وبطريقة نيوتن-رافسون، وأن يحدّ خطأ كل تقريب، وأن يتعرّف متى تخفق طريقة ما.
أن ينمذج بالمشتقة معدلات التغير والمعدلات المرتبطة ومسائل الأمثلة، وأن يعرض كتابةً الصياغات والحسابات والبراهين.

أعلن كل درس من دروس الدورة، فضلًا عن ذلك، أهدافه الخاصة. ولا تقول الدروس أيَّ هدف عام يخدمه كل منها؛ فهذه المطابقة قراءة من الخارج، أُجريت بالطريقة نفسها المتّبعة في سائر دورات الموقع. يُسند كل هدف خاص إلى هدف عام رئيسي، وإلى أهداف أخرى ثانوية إن مسّها؛ ويُحسب كل منها كاملًا في هدفه الرئيسي ونصفًا في كل هدف ثانوي، ويُربط الدرس بالهدف العام الذي يجمع أكبر وزن بوصفه هدفه الرئيسي، وبسائر الأهداف التي تنال شيئًا من الوزن بوصفها ثانوية. وإذا تعادل هدفان رُجّح صاحب الرقم الأصغر. ولا تُسند إلى أي هدف أهدافُ المقدمات التي لا تفعل سوى وصف مسار الوحدة. وتتبع الخلاصات معيارًا مشتركًا بين كل دورات الرياضيات في الموقع: هدفها الرئيسي هو الهدف 1، لأن صلبها يعيد بناء السلسلة الاستنتاجية للوحدة. وأخيرًا، فإن درس مسائل الأمثلة هدفه الرئيسي الهدف 7، وإن كانت القاعدة ستعطي الهدف 5 بفارق ضئيل، لأن مادته المعلنة هي الصياغة: ترجمة المسألة، وتحديد مجال التعريف، وتبرير أن القيمة القصوى التي وُجدت مطلقة. وإذا كان الأمر كذلك، اتخذت الدورة كلها شكل عمود فقري: الرأس هو الغاية العامة؛ والعمود هو ترتيب الوحدات، لكلٍّ منها جزؤها؛ وكل درس عقدة في ذلك الجزء، موصولة بهدفه الرئيسي، والأهداف السبعة تطفو حول العمود، تسندها الدروس التي تغذّيها.