Balanço final de Cálculo I

O que o curso se propôs

Três problemas antigos conduziram ao cálculo: a velocidade de um móvel num instante, o coeficiente angular da tangente a uma curva e a área de uma figura curva. O curso tomou os dois primeiros, que conduzem à derivada, e nasceu com um propósito geral: fundar o cálculo diferencial das funções de uma variável real sobre a definição de limite e o axioma da completude, e deduzir deles, com demonstrações completas, o que a derivada permite saber da variação, da forma e dos extremos de uma função. A aula sobre o plano de estudos desdobrou esse propósito em sete objetivos de aprendizagem globais, que convém ter à vista com a numeração com que a figura os cita:

1. Demonstrar com raciocínio dedutivo explícito: escrever as definições como enunciados quantificados e negá-los, argumentar com épsilon e delta, deduzir os teoremas de existência do axioma da completude, mostrar com contraexemplos que uma hipótese não é supérflua e distinguir o deduzido do admitido.
2. Definir e calcular limites finitos, laterais, no infinito e infinitos, resolver as formas indeterminadas, também com a regra de L’Hôpital, e determinar com eles as assíntotas e o gráfico de uma função.
3. Decidir a continuidade de uma função, classificar as suas descontinuidades e aplicar os teoremas de Bolzano, do valor intermediário e de Weierstrass, que repousam no axioma da completude.
4. Definir a derivada, caracterizá-la pela aproximação linear e pela fatoração de Carathéodory, demonstrar as suas regras e derivar com elas toda espécie de funções, precisando o domínio de cada derivada.
5. Demonstrar e aplicar os teoremas de Fermat, de Rolle, de Lagrange e de Cauchy, e estudar com eles a monotonia, os extremos, a convexidade, a inflexão e a curvatura de um gráfico.
6. Aproximar valores e raízes com a diferencial, a bisseção e o método de Newton-Raphson, limitar o erro de cada aproximação e reconhecer quando um método falha.
7. Modelar com a derivada taxas de variação, taxas relacionadas e problemas de otimização, e comunicar por escrito formulações, cálculos e demonstrações.

Cada aula do curso declarou, além disso, os seus próprios objetivos específicos. As aulas não dizem a que objetivo global serve cada um; essa correspondência é uma leitura feita de fora, com o mesmo método que nos demais cursos do site. Cada objetivo específico atribui-se a um objetivo global principal e, se os toca, a outros secundários; cada um conta inteiro no seu principal e pela metade em cada secundário, e a aula liga-se como principal ao objetivo global que reúne mais peso e como secundária aos demais que recebem algum. Se dois objetivos empatam, decide o de menor número. Os objetivos das introduções que apenas descrevem o percurso da unidade não se atribuem a nenhum. As sínteses seguem um critério comum a todos os cursos de matemática do site: o seu principal é o objetivo 1, porque o seu núcleo reconstrói a cadeia dedutiva da unidade. Por último, a aula sobre os problemas de otimização tem como principal o objetivo 7, embora por uma margem estreita a regra desse o 5, porque a sua matéria declarada é a formulação: traduzir o problema, fixar o domínio e justificar que o extremo encontrado é absoluto. Se isto é assim, o curso inteiro admite a forma de uma espinha: a cabeça é o propósito geral; a coluna, a ordem das unidades, cada uma com o seu trecho; cada aula é um nó desse trecho, ligado ao seu objetivo principal, e os sete objetivos flutuam em torno da coluna, sustentados pelas aulas que os alimentam.