Abschlussbilanz des Kurses Analysis I

Zusammenfassung

Dieser Eintrag ist nicht einfach eine Lektion mehr, sondern die Schlussbilanz des Kurses: Er ruft die sieben Lernziele in Erinnerung, die sich der Studienplan zu Beginn gesetzt hat, zeigt in einer einzigen Abbildung, welchem von ihnen jede Lektion jeder Einheit zugeordnet wurde, erklärt, wie jedes Lernziel über die drei inhaltlichen Einheiten hinweg bearbeitet wurde, unterscheidet die Lernziele mit einer eigenen Einheit von den Fäden, die alle drei durchziehen, und von denen, die den ganzen Kurs durchziehen, leitet dazu an, die Selbsteinschätzung nach Lernziel zu lesen, die den ersten Versuch der Abschlusstests zusammenführt, und zeigt, was der Kurs Analysis II und Analysis III überlässt.

Lernziele

Die sieben übergeordneten Lernziele des Kurses angeben und erkennen, in welchen Einheiten und Lektionen jedes von ihnen bearbeitet wurde.
Die Lernziele mit einer eigenen Einheit von denen unterscheiden, die mehrere durchziehen, wie die Vollständigkeit und die Approximation, und von denen, die den ganzen Kurs durchziehen, dem deduktiven Schließen und der Modellierung, und erklären, wie diese letzteren geübt werden.
Erklären, wie die Definition des Grenzwerts und das Vollständigkeitsaxiom über die Ableitung und den Mittelwertsatz das tragen, was der Kurs über die Gestalt einer Funktion weiß, und was der Kurs Analysis II und Analysis III überlässt.
Anhand der Selbsteinschätzung nach Lernziel, der Abbildung und der Herausforderungen jeder Synthese entscheiden, welche Einheiten und welche Lektionen man vor dem Übergang zu Analysis II wiederholen sollte.

Was sich der Kurs vorgenommen hat

Drei alte Probleme führten zur Infinitesimalrechnung: die Geschwindigkeit eines bewegten Körpers in einem Augenblick, die Steigung der Tangente an eine Kurve und der Flächeninhalt einer krummlinig begrenzten Figur. Der Kurs griff die beiden ersten auf, die zur Ableitung führen, und entstand mit einem Gesamtziel: die Differentialrechnung der Funktionen einer reellen Variablen auf die Definition des Grenzwerts und das Vollständigkeitsaxiom zu gründen und daraus mit vollständigen Beweisen abzuleiten, was die Ableitung über die Änderung, die Gestalt und die Extrema einer Funktion zu wissen erlaubt. Die Lektion über den Studienplan entfaltete dieses Ziel in sieben übergeordnete Lernziele, die man mit der Nummerierung, unter der die Abbildung sie anführt, vor Augen haben sollte:

Mit explizitem deduktivem Schließen beweisen: Definitionen als quantifizierte Aussagen schreiben und verneinen, mit Epsilon und Delta argumentieren, die Existenzsätze aus dem Vollständigkeitsaxiom ableiten, mit Gegenbeispielen zeigen, dass eine Voraussetzung nicht überflüssig ist, und das Abgeleitete vom Angenommenen unterscheiden.
Grenzwerte definieren und berechnen, endliche, einseitige, im Unendlichen und uneigentliche, unbestimmte Ausdrücke auflösen, auch mit der Regel von L’Hospital, und mit ihnen die Asymptoten und den Graphen einer Funktion bestimmen.
Über die Stetigkeit einer Funktion entscheiden, ihre Unstetigkeitsstellen klassifizieren und den Satz von Bolzano, den Zwischenwertsatz und den Satz von Weierstraß anwenden, die auf dem Vollständigkeitsaxiom beruhen.
Die Ableitung definieren, sie durch die lineare Approximation und durch die Carathéodory-Faktorisierung charakterisieren, ihre Regeln beweisen und mit ihnen Funktionen aller Art ableiten, wobei die Definitionsmenge jeder Ableitung genau angegeben wird.
Die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy beweisen und anwenden und mit ihnen die Monotonie, die Extrema, die Konvexität, die Wendepunkte und die Krümmung eines Graphen untersuchen.
Werte und Nullstellen mit dem Differential, dem Bisektionsverfahren und dem Newton-Raphson-Verfahren approximieren, den Fehler jeder Approximation abschätzen und erkennen, wann ein Verfahren versagt.
Mit der Ableitung Änderungsraten, gekoppelte Änderungsraten und Optimierungsprobleme modellieren und Ansätze, Rechnungen und Beweise schriftlich darstellen.

Jede Lektion des Kurses gab außerdem ihre eigenen Einzelziele an. Die Lektionen sagen nicht, welchem übergeordneten Lernziel jedes davon dient; diese Zuordnung ist eine Lesart von außen, mit derselben Methode wie in den anderen Kursen der Website. Jedes Einzelziel wird einem übergeordneten Lernziel als Hauptziel und, wenn es sie berührt, anderen als Nebenzielen zugeordnet; jedes zählt voll bei seinem Hauptziel und zur Hälfte bei jedem Nebenziel, und die Lektion wird als Hauptziel mit dem übergeordneten Lernziel verbunden, das das meiste Gewicht sammelt, und als Nebenziel mit den übrigen, die etwas erhalten. Haben zwei Lernziele gleich viel Gewicht, entscheidet das mit der kleineren Nummer. Die Lernziele der Einführungen, die nur den Verlauf der Einheit beschreiben, werden keinem zugeordnet. Die Synthesen folgen einem Kriterium, das allen Mathematikkursen der Website gemeinsam ist: Ihr Hauptziel ist Lernziel 1, weil ihr Kern die deduktive Kette der Einheit rekonstruiert. Schließlich hat die Lektion über Optimierungsprobleme Lernziel 7 als Hauptziel, obwohl die Regel mit knappem Vorsprung Lernziel 5 ergäbe, weil ihr erklärter Gegenstand der Ansatz ist: das Problem übersetzen, die Definitionsmenge festlegen und begründen, dass das gefundene Extremum global ist. Wenn dem so ist, nimmt der ganze Kurs die Form eines Rückgrats an: Der Kopf ist das Gesamtziel; die Säule die Reihenfolge der Einheiten, jede mit ihrem Abschnitt; jede Lektion ist ein Knoten dieses Abschnitts, mit ihrem Hauptziel verbunden, und die sieben Lernziele schweben um die Säule, getragen von den Lektionen, die sie speisen.