Anwendungen der Ableitung: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die Anwendungen der Ableitung ab und mit ihr den Kurs. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was die neun Lektionen der Einheit bewiesen haben: Der Satz von Weierstraß, der wie der Satz von Bolzano aus dem Vollständigkeitsaxiom gewonnen wird, und der Satz von Fermat, der aus dem Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle gewonnen wird, liefern den Satz von Rolle; aus diesem folgen die Mittelwertsätze von Lagrange und von Cauchy und aus ihnen die Regel von L’Hospital, die Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, die Kriterien für Extrema, die Konvexität, die Optimierung und die Fehlerschranke des Newton-Raphson-Verfahrens. Sie erklärt, wie die Einheit auf den beiden früheren und auf Algebra und Geometrie aufbaut und was sie dem folgenden Kurs hinterlässt: das Integral, die Folgen und Reihen und das Taylorpolynom. Sie endet mit einem Abschlusstest, parallel zum Eingangstest, und mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen und von denen jede Ergebnisse aus mehreren von ihnen und aus den früheren Einheiten verbindet.

Lernziele

Die wichtigsten Sätze der Einheit in logischer Ordnung darlegen und dabei angeben, von welchen früheren Ergebnissen jeder abhängt und in welchen Beweisen der Satz von Weierstraß, der Mittelwertsatz und die Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung wiederverwendet werden.
Unterscheiden, was die Einheit annimmt und was sie beweist, die Voraussetzungen jedes Ergebnisses erkennen und angeben, wo das Vollständigkeitsaxiom eingeht.
Die Ergebnisse der Einheit mit den Einheiten über Grenzwerte und über Ableitungen, mit Algebra und Geometrie und mit dem Stoff von Analysis II in Beziehung setzen.
Nicht routinemäßige Aufgaben lösen, die die Existenz von Extrema, den Mittelwertsatz, die Regel von L’Hospital, die Monotonie, die Konvexität, die Krümmung, die Optimierung und das Newton-Raphson-Verfahren verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Die beiden früheren Einheiten arbeiteten an einer einzelnen Stelle: der Grenzwert an einer Stelle, die Stetigkeit an einer Stelle, die Ableitung an einer Stelle. Diese Einheit ging vom Punktuellen zum Globalen über, und die Brücke war das Vollständigkeitsaxiom. Der Satz von Weierstraß, wie der Satz von Bolzano mit dem Supremum bewiesen, sichert, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion ihr Maximum und ihr Minimum annimmt; der Satz von Fermat, der aus dem Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle folgt, sagt, wo die inneren Extrema liegen können; und zusammen liefern sie den Satz von Rolle, aus dem die beiden Mittelwertsätze folgen. Der Satz von Lagrange lautet so:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Diese Gleichung verwandelt eine Information über die Ableitung an allen Stellen eines Intervalls in eine Information über die Funktionswerte, und fast alles Übrige der Einheit ist eine Lesart von ihr: die Monotonie, die Kriterien für Extrema, die Konvexität, die Regel von L’Hospital, über die Fassung von Cauchy, und die Fehlerschranke des Newton-Raphson-Verfahrens. Die Beweise zitieren diese Sätze, statt das Argument zu wiederholen.

Die Existenz und der Mittelwertsatz

Die Lektion über den Satz von Weierstraß bewies zuerst den Beschränktheitssatz, indem sie das Supremum der Stellen nahm, bis zu denen die Funktion beschränkt ist, und mit der lokalen Beschränktheit, die die Stetigkeit liefert, über dieses hinausging; danach, dass das Supremum der Werte angenommen wird, denn würde es nicht angenommen, so wäre der Kehrwert des Abstands der Werte von ihm stetig und unbeschränkt. Sie zeigte mit Gegenbeispielen, dass keine Voraussetzung überflüssig ist (ein offenes Intervall, ein unbeschränktes, eine unstetige Funktion und die rationalen Zahlen, in denen die Vollständigkeit fehlt), folgerte mit dem Zwischenwertsatz, dass das Bild eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls wieder ein solches Intervall ist und dass eine Funktion mit gleichen Werten an den Endpunkten eines Intervalls in seinem Inneren ein Extremum annimmt. Die Lektion über die Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy definierte die lokalen Extrema als quantifizierte Aussagen, bewies mit dem Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle, dass die Ableitung in einem inneren lokalen Extremum verschwindet, und reihte den Satz von Rolle, den Mittelwertsatz von Lagrange und den Mittelwertsatz von Cauchy aneinander, wobei sie die Notwendigkeit ihrer Voraussetzungen zeigte. Ihre Korollare waren die ersten globalen Schlüsse: Eine Funktion mit verschwindender Ableitung auf einem Intervall ist konstant, zwei Funktionen mit gleicher Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante, eine Schranke der Ableitung beschränkt die Zuwächse, zwischen zwei Nullstellen einer Funktion liegt eine Nullstelle ihrer Ableitung, und der Grenzwert der Ableitung ist, falls er existiert, die Ableitung. Die Lektion über die Regel von L’Hospital bewies sie mit dem Satz von Cauchy, für die Form $\frac{0}{0}$ und, mit größerer Sorgfalt, für die Form $\frac{\infty}{\infty}$ , auf einer Seite einer Stelle, an der Stelle und im Unendlichen; sie reduzierte die Formen $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ und $\infty^0$ auf diese beiden, zeigte, dass die Regel keine Entscheidung liefert, wenn der Quotient der Ableitungen keinen Grenzwert hat, machte darauf aufmerksam, dass sie für die Grenzwerte, mit denen die Ableitungen berechnet wurden, nicht taugt, und gewann aus ihr das Korollar über die verschwindenden Ableitungen an einer Stelle, das den Zuwachs einer Funktion mit einer Potenz von $x - a$ vergleicht.

Die Monotonie, die Extrema und die Gestalt des Graphen

Die Lektion über die Monotonie bewies mit dem Mittelwertsatz, dass eine nichtnegative Ableitung auf einem Intervall eine monoton wachsende Funktion liefert und eine positive eine streng monoton wachsende, und charakterisierte die strenge Monotonie bei nichtnegativer Ableitung: Die Ableitung darf nicht auf einem ganzen Intervall verschwinden. So wurden die Versprechen der Einheit über Ableitungen eingelöst, etwa das, dass eine positive Ableitung auf einem Intervall genügt, damit die Umkehrfunktion existiert und differenzierbar ist. Sie definierte die kritischen Stellen, bewies das Kriterium der ersten Ableitung und den Satz von Darboux, nach dem eine Ableitung jeden Zwischenwert annimmt, auch wenn sie nicht stetig ist, sodass sie keine Sprungstellen hat, und folgerte, dass eine Ableitung ohne Nullstellen auf einem Intervall ihr Vorzeichen nicht wechselt. Die Lektion über Maxima und Minima definierte die globalen und die strengen Extrema; sie bewies das Kriterium der zweiten Ableitung und, mit der Regel von L’Hospital und ohne das Taylorpolynom, das Kriterium der höheren Ableitungen, das nach der Parität der ersten Ordnung mit nicht verschwindender Ableitung entscheidet; und sie suchte die globalen Extrema auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall unter den Endpunkten des Intervalls und den kritischen Stellen, und auf einem offenen oder unbeschränkten Intervall mit den Grenzwerten an den Rändern und mit der Monotonie, die auch liefert, dass ein lokales Extremum an der einzigen kritischen Stelle global ist. Die Lektion über Konkavität und Konvexität definierte die Konvexität durch die Lage des Graphen bezüglich seiner Sehnen, mit der Konvention der Einheit (konvex heißt: unterhalb der Sehnen), und bewies, dass für eine differenzierbare Funktion die Konvexität gleichbedeutend damit ist, dass die Ableitung monoton wachsend ist und der Graph oberhalb seiner Tangenten liegt, und für eine zweimal differenzierbare damit, dass die zweite Ableitung nicht negativ ist; sie definierte die Wendepunkte, entschied über sie durch den Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung oder durch die dritte Ableitung, zeigte mit $x^4$ , dass eine verschwindende zweite Ableitung nicht genügt, und gewann die jensensche Ungleichung und die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel. Die Lektion über die Krümmung definierte den Krümmungskreis als den Kreis, der an der Stelle denselben Wert, dieselbe Ableitung und dieselbe zweite Ableitung hat wie die Funktion; sie bewies mit dem impliziten Differenzieren, dass er existiert und eindeutig ist, wenn die zweite Ableitung nicht verschwindet, mit Radius $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ und Mittelpunkt auf der Normalen, auf der Seite, zu der sich der Graph krümmt, und zeigte, dass dieser Mittelpunkt der Grenzwert der Schnittpunkte benachbarter Normalen ist.

Die Optimierung und die Approximation

Die Lektion über Optimierungsprobleme legte ein Verfahren in fünf Stufen fest (die Variable, die Funktion, die Definitionsmenge, die globalen Extrema mit ihrer Begründung und die Antwort), dessen entscheidender Punkt die Begründung ist, dass das gefundene Extremum global ist: mit dem Satz von Weierstraß, wenn die Definitionsmenge abgeschlossen und beschränkt ist, und sonst mit dem Vorzeichen der Ableitung, der Konvexität oder den Grenzwerten an den Rändern. Sie bewies, dass eine Funktion und ihre Verkettung mit einer streng monoton wachsenden Funktion ihre Extrema an denselben Stellen annehmen, dass der einem gegebenen Punkt nächstgelegene Punkt eines Graphen existiert und auf einer Normalen liegt, und leitete aus der kürzesten Zeit das Brechungsgesetz und das Reflexionsgesetz her. Die Lektion über das Newton-Raphson-Verfahren ersetzte den Graphen durch seine Tangente, um eine Nullstelle zu approximieren; sie behandelte die Iterierten als eine auf den natürlichen Zahlen definierte Funktion, mit der Definition des Grenzwerts im Unendlichen und ohne die Theorie der Folgen; sie bewies mit der Konvexität und dem Infimum der Iterierten, dass sie sich von der richtigen Seite aus der Nullstelle nähern, ohne sie zu überschreiten, und gegen sie konvergieren und dass die erste Iteration von der falschen Seite aus auf die richtige Seite springt; sie schätzte den Fehler mit dem Mittelwertsatz ab, zeigte, wann das Verfahren versagt (eine verschwindende Ableitung, ein Zyklus, Iterierte, die entweichen), und verglich es mit dem Bisektionsverfahren, das pro Halbierung eine Binärziffer gewinnt, während das Newton-Raphson-Verfahren in der Nähe einer einfachen Nullstelle in den Beispielen die Anzahl der richtigen Ziffern verdoppelt.

Was angenommen, was bewiesen wird und was bleibt

Die Bilanz der Einheit lässt sich so zusammenfassen:

Angenommen werden das Vollständigkeitsaxiom, das die Einheit unmittelbar im Beschränktheitssatz, im Satz von Weierstraß und bei der Konvergenz der Newton-Raphson-Iterierten verwendet; die Sätze der Einheiten über Grenzwerte und über Ableitungen, insbesondere der Satz von Bolzano, die Vorzeichenerhaltung, der lokale Charakter der Ableitung und das Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle; und Ergebnisse aus Algebra und Geometrie, etwa die trigonometrischen Formeln, die Ungleichung $\sin x < x < \tan x$ und die Potenz- und Logarithmengesetze.
Bewiesen werden Tatsachen, die die Einheit über Ableitungen angekündigt hatte, ohne sie beweisen zu können: dass eine positive Ableitung auf einem Intervall eine monoton wachsende Funktion liefert, dass eine Funktion mit verschwindender Ableitung auf einem Intervall konstant ist und dass sich der Fehler der Approximation durch das Differential abschätzen lässt; und die Tangente wird zu einem Werkzeug, um Nullstellen zu approximieren, um den Graphen mit sich selbst zu vergleichen und um zu messen, wie stark er sich krümmt.
Wiederverwendet werden drei Werkzeuge, statt Argumente zu wiederholen: der Satz von Weierstraß, der die Extrema liefert; der Mittelwertsatz, der das Vorzeichen der Ableitung in Information über die Werte übersetzt; und die Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, die die Kriterien für Extrema und die Konvexität trägt.
Für Analysis II bleibt, was mehr verlangt als die Ableitung: das Integral, die Bogenlänge, mit der sich die Krümmung als die Rate lesen lässt, mit der sich die Tangente dreht, die gleichmäßige Stetigkeit, die Folgen und Reihen und das Taylorpolynom; und für Analysis III die Extrema von Funktionen mehrerer Variablen und die Krümmung parametrisierter Kurven.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder angewiesen ist, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gepunktete mit dem Glied, in dem sie begründet wird, außer denen, die aus den früheren Einheiten oder aus Algebra und Geometrie stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

AVollständigkeitsaxiom. Seit Algebra und Geometrie I wird angenommen, dass die reellen Zahlen einen vollständigen angeordneten Körper bilden: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum, und jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge hat ein Infimum. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BErbe aus Einheit 1. In der Einheit über Grenzwerte und Stetigkeit bewiesene Ergebnisse: die Rechenregeln für Grenzwerte; die einseitigen Grenzwerte, die Grenzwerte im Unendlichen und die uneigentlichen Grenzwerte; die Erhaltung von Ungleichungen beim Grenzübergang; die Stetigkeit der Rechenoperationen und der Verkettung; die lokale Beschränktheit und die Vorzeichenerhaltung, für Grenzwerte und für stetige Funktionen; und die Standardgrenzwerte. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CErbe aus Einheit 2. In der Einheit über Ableitungen bewiesene Ergebnisse: die Definition der Ableitung und die einseitigen Ableitungen, dass Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert, der lokale Charakter der Ableitung, die Ableitungsregeln und die Kettenregel, die Ableitungen der elementaren Funktionen, die Ableitung der Umkehrfunktion und das implizite Differenzieren sowie die höheren Ableitungen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DZwischenwertsatz. In der Einheit über Ableitungen mit dem Supremum bewiesen: Ist $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ und haben $f(a)$ und $f(b)$ entgegengesetzte Vorzeichen, so verschwindet $f$ an einer Stelle von $\ioo{a}{b}$ , und das ist der Satz von Bolzano; außerdem ist das Bild eines Intervalls unter einer stetigen Funktion ein Intervall. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EVorzeichen der Ableitung an einer Stelle. In der Einheit über Ableitungen bewiesen: Ist $f$ auf einem offenen Intervall definiert und gilt $f'(a) > 0$ , so gibt es $\delta > 0$ mit $f(x) < f(a)$ für $a - \delta < x < a$ und $f(x) > f(a)$ für $a < x < a + \delta$ ; daraus folgt nicht, dass $f$ in der Nähe von $a$ monoton wachsend ist. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
FAngenommene Extrema. Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion nimmt dort ihr Maximum und ihr Minimum an: das Werkzeug, das den Extrema und den Zwischenstellen der folgenden Sätze ihre Existenz sichert. Begründet in: 2. Satz von Weierstraß.
GMittelwertsatz. Ist $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ und an jeder Stelle von $\ioo{a}{b}$ differenzierbar, so gibt es $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : Eine Information über die Ableitung an allen Stellen wird zu einer Information über die Werte. Begründet in: 7. Mittelwertsatz von Lagrange.
HMonotonie aus der Ableitung. Auf einem Intervall liefert eine nichtnegative Ableitung eine monoton wachsende Funktion und eine positive eine streng monoton wachsende: das Werkzeug, mit dem über die Extrema und die Konvexität entschieden wird. Begründet in: 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung.

Abschnitt 1 Die Existenz und der Mittelwertsatz
- Mit dem Supremum beweisen, dass eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall stetige Funktion beschränkt ist und ihr Maximum und ihr Minimum annimmt, und zeigen, dass keine Voraussetzung überflüssig ist.
- Die inneren lokalen Extrema mit dem Satz von Fermat lokalisieren und aus ihm und dem Satz von Weierstraß die Sätze von Rolle, von Lagrange und von Cauchy herleiten.
- Aus dem Mittelwertsatz gewinnen, dass eine verschwindende Ableitung eine konstante Funktion liefert, Zuwächse abschätzen und Nullstellen zählen.
- Mit dem Satz von Cauchy die Regel von L’Hospital beweisen, die übrigen unbestimmten Ausdrücke auf sie reduzieren und sie nicht für die Grenzwerte verwenden, mit denen die Ableitungen berechnet wurden.
1. Beschränktheitssatz. Ist $f$ stetig auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall $\icc{a}{b}$ , so gibt es eine Zahl $K$ mit $\abs{f(x)} \leq K$ für alle $x$ aus $\icc{a}{b}$ .
  Stützt sich auf: A (Vollständigkeitsaxiom), B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Satz von Weierstraß über Extremwerte.
2. Satz von Weierstraß. Ist $f$ stetig auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall $\icc{a}{b}$ , so gibt es $x_1$ und $x_2$ in $\icc{a}{b}$ mit $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ für alle $x$ aus $\icc{a}{b}$ ; keine der Voraussetzungen kann weggelassen werden.
  Verwendet: 1. Beschränktheitssatz. Stützt sich auf: A (Vollständigkeitsaxiom), B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Satz von Weierstraß über Extremwerte.
3. Das Bild eines abgeschlossenen und beschränkten Intervalls. Ist $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ und sind $m$ und $M$ ihr Minimalwert und ihr Maximalwert dort, so ist das Bild von $\icc{a}{b}$ das Intervall $\icc{m}{M}$ .
  Verwendet: 2. Satz von Weierstraß. Stützt sich auf: F (Angenommene Extrema), D (Zwischenwertsatz). Bewiesen in: Satz von Weierstraß über Extremwerte.
4. Ein Extremum im Inneren. Ist die Funktion $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ , mit $a < b$ und $f(a) = f(b)$ , so nimmt sie ihr Maximum oder ihr Minimum an einer Stelle von $\ioo{a}{b}$ an.
  Verwendet: 2. Satz von Weierstraß. Stützt sich auf: F (Angenommene Extrema). Bewiesen in: Satz von Weierstraß über Extremwerte.
5. Satz von Fermat. Nimmt die Funktion $f$ , definiert auf $A$ , an einer inneren Stelle $a$ von $A$ ein lokales Extremum an, das heißt, gibt es $\delta > 0$ mit $f(x) \leq f(a)$ für alle $x$ aus $A$ mit $\abs{x - a} < \delta$ oder mit $f(a) \leq f(x)$ für alle diese, und ist $f$ an der Stelle $a$ differenzierbar, so gilt $f'(a) = 0$ .
  Stützt sich auf: E (Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
6. Satz von Rolle. Ist $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ , mit $a < b$ , an jeder Stelle von $\ioo{a}{b}$ differenzierbar und gilt $f(a) = f(b)$ , so gibt es $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $f'(c) = 0$ .
  Verwendet: 4. Ein Extremum im Inneren, 5. Satz von Fermat. Stützt sich auf: F (Angenommene Extrema), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
7. Mittelwertsatz von Lagrange. Ist $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ , mit $a < b$ , und an jeder Stelle von $\ioo{a}{b}$ differenzierbar, so gibt es $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : Irgendeine Tangente ist parallel zur Sehne.
  Verwendet: 6. Satz von Rolle. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
8. Mittelwertsatz von Cauchy. Sind $f$ und $g$ stetig auf $\icc{a}{b}$ , mit $a < b$ , und an jeder Stelle von $\ioo{a}{b}$ differenzierbar, so gibt es $c$ in $\ioo{a}{b}$ mit $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; verschwindet außerdem $g'$ auf $\ioo{a}{b}$ nicht, so gilt $g(b) \neq g(a)$ und $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  Verwendet: 6. Satz von Rolle. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
9. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz. Sei $f$ stetig auf einem Intervall $I$ und an jeder inneren Stelle differenzierbar. Verschwindet $f'$ an diesen Stellen, so ist $f$ konstant; zwei Funktionen mit gleicher Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante; gilt $\abs{f'(x)} \leq K$ an diesen Stellen, so gilt $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ für alle $x$ , $y$ aus $I$ ; und ist $f$ auf $I$ differenzierbar und hat dort $n \geq 2$ verschiedene Nullstellen, so hat $f'$ mindestens $n - 1$ .
  Verwendet: 6. Satz von Rolle, 7. Mittelwertsatz von Lagrange. Stützt sich auf: G (Mittelwertsatz), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Sätze von Fermat, Rolle, Lagrange und Cauchy.
10. Regel von L’Hospital. Sind $f$ und $g$ auf $\ioo{a}{b}$ differenzierbar, mit $g'(x) \neq 0$ dort, streben $f(x)$ und $g(x)$ gegen $0$ oder strebt $g(x)$ gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ für $x \to a^+$ , und strebt $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ gegen ein reelles $L$ , gegen $\infty$ oder gegen $-\infty$ , so strebt $\frac{f(x)}{g(x)}$ gegen $L$ ; dasselbe gilt von links, auf beiden Seiten einer Stelle und im Unendlichen.
  Verwendet: 8. Mittelwertsatz von Cauchy. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Regel von L’Hospital.
11. Verschwindende Ableitungen an einer Stelle. Seien $n \geq 2$ eine natürliche Zahl, $I$ ein offenes Intervall, $a$ eine Stelle von $I$ und $f$ eine Funktion, die $n - 1$ Mal auf $I$ und $n$ Mal an der Stelle $a$ differenzierbar ist, mit $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . Dann strebt $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ gegen $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ für $x \to a$ .
  Verwendet: 10. Regel von L’Hospital. Stützt sich auf: C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Regel von L’Hospital.
Abschnitt 2 Die Monotonie, die Extrema und die Gestalt des Graphen
- Über die Monotonie anhand des Vorzeichens der Ableitung entscheiden, die strenge Monotonie charakterisieren und den Satz von Darboux beweisen.
- Die kritischen Stellen mit den Kriterien der ersten und der zweiten Ableitung und der höheren Ableitungen klassifizieren und die globalen Extrema auf abgeschlossenen, offenen oder unbeschränkten Intervallen bestimmen.
- Die Konvexität durch die Sehnen, die monoton wachsende Ableitung, die Tangenten und die zweite Ableitung charakterisieren und die Wendepunkte erkennen.
- Die Krümmung eines Graphen mit dem Krümmungskreis messen.
1. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung. Sei $f$ stetig auf einem Intervall $I$ und an jeder inneren Stelle differenzierbar. Gilt $f'(x) \geq 0$ an diesen Stellen, so ist $f$ auf $I$ monoton wachsend, und gilt $f'(x) > 0$ , streng monoton wachsend; bei $f'(x) \leq 0$ oder $f'(x) < 0$ monoton fallend oder streng monoton fallend. Umgekehrt: Ist $f$ auf $I$ monoton wachsend und an einer inneren Stelle $a$ differenzierbar, so gilt $f'(a) \geq 0$ .
  Verwendet: 7. Mittelwertsatz von Lagrange. Stützt sich auf: E (Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle), G (Mittelwertsatz), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
2. Strenge Monotonie bei nichtnegativer Ableitung. Ist $f$ stetig auf einem Intervall $I$ und gilt $f'(x) \geq 0$ an jeder inneren Stelle, so ist $f$ genau dann streng monoton wachsend auf $I$ , wenn $f'$ auf keinem Intervall $\ioo{p}{q}$ , das in $I$ enthalten ist, an allen Stellen verschwindet; insbesondere dann, wenn sie nur an endlich vielen Stellen verschwindet.
  Verwendet: 9. Folgerungen aus dem Mittelwertsatz, 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung. Stützt sich auf: H (Monotonie aus der Ableitung), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
3. Kriterium der ersten Ableitung. Ist die Funktion $f$ stetig auf $\ioo{a - r}{a + r}$ und an jeder von $a$ verschiedenen Stelle differenzierbar, mit $f'(x) \geq 0$ links von $a$ und $f'(x) \leq 0$ rechts davon, so nimmt sie an der Stelle $a$ ein lokales Maximum an, ein strenges, wenn die Ungleichungen streng sind; bei umgekehrten Ungleichungen ein lokales Minimum; und ist $f'(x)$ auf beiden Seiten positiv oder auf beiden Seiten negativ, so gibt es an der Stelle $a$ kein Extremum.
  Verwendet: 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung. Stützt sich auf: H (Monotonie aus der Ableitung). Bewiesen in: Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
4. Satz von Darboux. Ist $f$ auf einem offenen Intervall $I$ differenzierbar und sind $a < b$ Stellen von $I$ , so nimmt $f'$ auf $\ioo{a}{b}$ jeden Wert an, der echt zwischen $f'(a)$ und $f'(b)$ liegt; folglich hat $f'$ auf $I$ weder hebbare Unstetigkeitsstellen noch Sprungstellen.
  Verwendet: 2. Satz von Weierstraß, 5. Satz von Fermat. Stützt sich auf: E (Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle), F (Angenommene Extrema), B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
5. Ableitung ohne Nullstellen. Ist $f$ stetig auf einem Intervall $I$ mit mehr als einem Punkt und an jeder inneren Stelle differenzierbar, mit $f'(x) \neq 0$ an jeder von ihnen, so hat $f'$ an allen diesen Stellen dasselbe Vorzeichen, und $f$ ist auf $I$ streng monoton.
  Verwendet: 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, 15. Satz von Darboux. Stützt sich auf: H (Monotonie aus der Ableitung). Bewiesen in: Monotonie und Kriterium der ersten Ableitung.
6. Kriterium der zweiten Ableitung. Ist die Funktion $f$ auf einem offenen Intervall $I$ differenzierbar und an einer Stelle $a$ von $I$ zweimal differenzierbar, mit $f'(a) = 0$ , so nimmt sie an der Stelle $a$ ein strenges lokales Minimum an, wenn $f''(a) > 0$ , und ein strenges lokales Maximum, wenn $f''(a) < 0$ .
  Verwendet: 14. Kriterium der ersten Ableitung. Stützt sich auf: E (Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Maxima und Minima einer Funktion.
7. Kriterium der höheren Ableitungen. Ist $f$ eine Funktion, die $n - 1$ Mal auf einem offenen Intervall $I$ und $n$ Mal an einer Stelle $a$ von $I$ differenzierbar ist, mit $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ und $f^{(n)}(a) \neq 0$ , so gilt: Ist $n$ gerade, so nimmt $f$ an der Stelle $a$ ein strenges lokales Minimum an, wenn $f^{(n)}(a) > 0$ , und ein strenges lokales Maximum, wenn $f^{(n)}(a) < 0$ ; ist $n$ ungerade, so nimmt sie an der Stelle $a$ kein lokales Extremum an.
  Verwendet: 11. Verschwindende Ableitungen an einer Stelle. Stützt sich auf: B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Maxima und Minima einer Funktion.
8. Globale Extrema auf einem Intervall. Ist die Funktion $f$ stetig auf $\icc{a}{b}$ , so nimmt sie ihr globales Maximum und ihr globales Minimum an, und jede Stelle, an der sie sie annimmt, ist $a$ , $b$ oder eine kritische Stelle von $\ioo{a}{b}$ ; ist sie stetig auf einem offenen Intervall, beschränkt oder nicht, und übertrifft einer ihrer Werte ihre Grenzwerte an beiden Rändern, so nimmt sie ihr globales Maximum an, und zwar an kritischen Stellen.
  Verwendet: 2. Satz von Weierstraß, 5. Satz von Fermat. Stützt sich auf: F (Angenommene Extrema), B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Maxima und Minima einer Funktion.
9. Globale Extrema durch Monotonie. Ist $f$ stetig auf einem Intervall $I$ , ist $c$ eine innere Stelle und gilt $f'(x) \geq 0$ an den inneren Stellen, die kleiner als $c$ sind, und $f'(x) \leq 0$ an den größeren, so nimmt $f$ an der Stelle $c$ ihr globales Maximum auf $I$ an; und ist $c$ die einzige kritische Stelle von $f$ in $I$ und nimmt $f$ dort ein lokales Extremum an, so ist dieses Extremum auf $I$ global und streng.
  Verwendet: 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, 16. Ableitung ohne Nullstellen. Stützt sich auf: H (Monotonie aus der Ableitung). Bewiesen in: Maxima und Minima einer Funktion.
10. Konvexität und monoton wachsende Ableitung. Eine Funktion $f$ heißt konvex auf einem Intervall $I$ , wenn $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ für alle $x$ , $y$ aus $I$ und alle $t$ aus $\icc{0}{1}$ gilt. Ist $f$ stetig auf $I$ und an jeder inneren Stelle differenzierbar, so ist sie genau dann konvex, wenn $f'$ an den inneren Stellen monoton wachsend ist, und genau dann streng konvex, wenn $f'$ dort streng monoton wachsend ist.
  Verwendet: 7. Mittelwertsatz von Lagrange. Stützt sich auf: G (Mittelwertsatz), B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
11. Der Graph oberhalb seiner Tangenten. Ist die Funktion $f$ stetig auf einem Intervall $I$ mit mehr als einem Punkt und an jeder inneren Stelle differenzierbar, so ist sie genau dann konvex, wenn $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ für jede innere Stelle $a$ und jedes $x$ aus $I$ gilt; insbesondere nimmt sie, wenn sie konvex ist und $f'(a) = 0$ gilt, an der Stelle $a$ ihr globales Minimum auf $I$ an.
  Verwendet: 21. Konvexität und monoton wachsende Ableitung. Bewiesen in: Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
12. Konvexität und zweite Ableitung. Ist die Funktion $f$ stetig auf einem Intervall $I$ mit mehr als einem Punkt und an jeder inneren Stelle zweimal differenzierbar, so ist sie genau dann konvex, wenn dort $f''(x) \geq 0$ gilt, und sie ist streng konvex, wenn außerdem $f''$ auf keinem in $I$ enthaltenen offenen Intervall an allen Stellen verschwindet.
  Verwendet: 12. Monotonie aus dem Vorzeichen der Ableitung, 13. Strenge Monotonie bei nichtnegativer Ableitung, 21. Konvexität und monoton wachsende Ableitung. Stützt sich auf: H (Monotonie aus der Ableitung), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
13. Wendepunkte. Ist $f$ stetig in der Nähe von $a$ und differenzierbar an der Stelle $a$ und wechselt $f''$ an der Stelle $a$ das Vorzeichen, so ist $a$ ein Wendepunkt; in einem Wendepunkt, in dem $f$ zweimal differenzierbar ist, gilt $f''(a) = 0$ , aber das genügt nicht, wie $x^4$ an der Stelle $0$ zeigt; und gilt $f''(a) = 0$ und $f'''(a) \neq 0$ , so ist $a$ ein Wendepunkt, und der Graph durchsetzt seine Tangente.
  Verwendet: 5. Satz von Fermat, 18. Kriterium der höheren Ableitungen, 21. Konvexität und monoton wachsende Ableitung, 23. Konvexität und zweite Ableitung. Stützt sich auf: E (Vorzeichen der Ableitung an einer Stelle), B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
14. Jensensche Ungleichung. Ist $f$ stetig und konvex auf einem Intervall $I$ und an jeder inneren Stelle differenzierbar, so gilt $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ für Punkte $x_i$ aus $I$ und Gewichte $t_i \geq 0$ mit der Summe $1$ ; mit dem Logarithmus, der konkav ist, folgt, dass das geometrische Mittel positiver Zahlen das arithmetische nicht übersteigt.
  Verwendet: 22. Der Graph oberhalb seiner Tangenten, 23. Konvexität und zweite Ableitung. Stützt sich auf: C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Konkavität, Konvexität und Wendepunkte.
15. Krümmungskreis. Ist $f$ auf einem offenen Intervall differenzierbar und an einer Stelle $a$ zweimal differenzierbar, mit $m = f'(a)$ und $q = f''(a) \neq 0$ , so gibt es genau einen Kreis, der an der Stelle $a$ denselben Wert, dieselbe Ableitung und dieselbe zweite Ableitung hat wie $f$ ; sein Radius ist $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ , der Kehrwert der Krümmung $\kappa$ , und sein Mittelpunkt liegt auf der Normalen, oberhalb des Punktes, wenn $q > 0$ , und unterhalb, wenn $q < 0$ .
  Stützt sich auf: C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Krümmung und Krümmungsradius.
Abschnitt 3 Die Optimierung und die Approximation
- Eine geometrische oder physikalische Aufgabe in die Suche nach dem globalen Extremum einer Funktion auf einer genau festgelegten Definitionsmenge übersetzen und begründen, dass das gefundene Extremum global ist.
- Den einem gegebenen Punkt nächstgelegenen Punkt eines Graphen bestimmen und aus der kürzesten Zeit das Reflexionsgesetz und das Brechungsgesetz herleiten.
- Nullstellen mit dem Newton-Raphson-Verfahren approximieren, seine Konvergenz mit der Konvexität sichern und den Fehler mit dem Mittelwertsatz abschätzen.
1. Der Abstand eines Punktes von einem Graphen. Ist die Funktion $f$ stetig auf einem Intervall mit mehr als einem Punkt, das seine Endpunkte enthält, falls es welche hat, so liegt ein Punkt ihres Graphen in minimalem Abstand von einem Punkt $P = (x_1, y_1)$ ; ist die Abszisse $c$ dieses Punktes eine innere Stelle und $f$ dort differenzierbar, so liegt $P$ auf der Normalen: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  Verwendet: 2. Satz von Weierstraß, 5. Satz von Fermat. Stützt sich auf: F (Angenommene Extrema), B (Erbe aus Einheit 1), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Optimierungsprobleme.
2. Das snelliussche Brechungsgesetz. Die Dauer $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ des Weges, der von $(0, a)$ nach $(x, 0)$ mit der Geschwindigkeit $v_1$ und von dort nach $(d, -b)$ mit der Geschwindigkeit $v_2$ führt, nimmt ihr strenges globales Minimum an genau einer Stelle an, an der $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ gilt; daraus folgt, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten, der eine Gerade trifft, mit dem Lot auf diese Gerade gleiche Winkel bildet, und das ist das Reflexionsgesetz.
  Verwendet: 22. Der Graph oberhalb seiner Tangenten, 23. Konvexität und zweite Ableitung. Stützt sich auf: D (Zwischenwertsatz), C (Erbe aus Einheit 2). Bewiesen in: Optimierungsprobleme.
3. Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens. Ist $f$ differenzierbar und konvex auf einem offenen Intervall $I$ , mit $f'(x) \neq 0$ auf ganz $I$ , und gilt $f(r) = 0$ , so nähern sich die Iterierten $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ , ausgehend von einem $x_0$ aus $I$ mit $f(x_0) \geq 0$ , monoton der Nullstelle $r$ , ohne sie zu überschreiten, und konvergieren gegen $r$ ; ausgehend von einem $x_0$ mit $f(x_0) < 0$ führt die erste Iteration, falls $x_1$ in $I$ liegt, auf die richtige Seite.
  Verwendet: 16. Ableitung ohne Nullstellen, 21. Konvexität und monoton wachsende Ableitung, 22. Der Graph oberhalb seiner Tangenten. Stützt sich auf: A (Vollständigkeitsaxiom), B (Erbe aus Einheit 1). Bewiesen in: Das Newton-Raphson-Verfahren.
4. Fehlerschranke. Ist $f$ stetig auf einem Intervall $J$ und an jeder inneren Stelle differenzierbar, mit $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ an diesen Stellen, und gilt $f(r) = 0$ für ein $r$ aus $J$ , so gilt $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ für alle $x$ aus $J$ .
  Verwendet: 7. Mittelwertsatz von Lagrange. Stützt sich auf: G (Mittelwertsatz). Bewiesen in: Das Newton-Raphson-Verfahren.

Hin zu Analysis II. Die Kette hält dort an, wo der Kurs endet. In Analysis II begründet das Korollar, nach dem sich zwei Funktionen mit gleicher Ableitung um eine Konstante unterscheiden, die Stammfunktionen, und das Integral verbindet sich mit der Ableitung im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung; mit der Bogenlänge, die ein Integral ist, lässt sich die Krümmung als die Rate lesen, mit der sich die Tangente dreht. Die Folgen, für die die Newton-Raphson-Iterierten ein erstes Beispiel waren, und die Reihen geben den auf den natürlichen Zahlen definierten Funktionen eine eigene Theorie. Und das Taylorpolynom, dessen Rest sich mit den Sätzen von Rolle und von Cauchy abschätzen lässt, setzt die Tangente mit den höheren Ableitungen fort, verallgemeinert das Kriterium der höheren Ableitungen und beweist unter Voraussetzungen über die zweite Ableitung die quadratische Konvergenz des Newton-Raphson-Verfahrens, die diese Einheit nur an Beispielen beobachtet hat.