Applications des dérivées : synthèse et défis

Résumé

Cette leçon clôt l’unité sur les applications des dérivées et, avec elle, le cours. Elle réunit en une seule chaîne déductive ce que les neuf leçons de l’unité ont démontré : le théorème de Weierstrass, obtenu de l’axiome de la borne supérieure comme celui de Bolzano, et le théorème de Fermat, obtenu du signe de la dérivée en un point, donnent le théorème de Rolle ; de celui-ci découlent les théorèmes des accroissements finis de Lagrange et de Cauchy, et de ceux-ci la règle de L’Hôpital, la monotonie par le signe de la dérivée, les critères pour les extremums, la convexité, l’optimisation et la majoration de l’erreur de la méthode de Newton-Raphson. Elle explique comment l’unité s’appuie sur les deux unités qui la précèdent et sur Algèbre et géométrie, et ce qu’elle laisse au cours qui suit : l’intégrale, les suites et les séries, et le polynôme de Taylor. Elle se termine par une évaluation de sortie, parallèle à celle d’entrée, et par dix défis, plus difficiles que les problèmes des leçons, dont chacun combine des résultats de plusieurs d’entre elles et des unités antérieures.

Objectifs d’apprentissage

Exposer dans l’ordre logique les principaux théorèmes de l’unité, en indiquant de quels résultats antérieurs dépend chacun et dans quelles démonstrations sont réutilisés le théorème de Weierstrass, le théorème des accroissements finis et la monotonie par le signe de la dérivée.
Distinguer ce que l’unité admet de ce qu’elle démontre, reconnaître les hypothèses de chaque résultat et signaler où intervient l’axiome de la borne supérieure.
Relier les résultats de l’unité aux unités sur les limites et sur les dérivées, à Algèbre et géométrie et à ce qu’étudie Analyse II.
Résoudre des problèmes non routiniers qui combinent l’existence d’extremums, les accroissements finis, la règle de L’Hôpital, la monotonie, la convexité, la courbure, l’optimisation et la méthode de Newton-Raphson.

L’acquis de l’unité

Les deux unités antérieures ont travaillé en un point : la limite en un point, la continuité en un point, la dérivée en un point. Cette unité est passée du ponctuel au global, et le pont a été l’axiome de la borne supérieure. Le théorème de Weierstrass, démontré avec la borne supérieure comme celui de Bolzano, assure qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné atteint son maximum et son minimum ; le théorème de Fermat, qui découle du signe de la dérivée en un point, dit où peuvent se trouver les extremums intérieurs ; et ensemble ils donnent le théorème de Rolle, d’où découlent les deux théorèmes des accroissements finis. Celui de Lagrange s’écrit ainsi :

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Cette égalité convertit une information sur la dérivée en tous les points d’un intervalle en une information sur les valeurs de la fonction, et presque tout le reste de l’unité en est une lecture : la monotonie, les critères pour les extremums, la convexité, la règle de L’Hôpital, par la version de Cauchy, et la majoration de l’erreur de la méthode de Newton-Raphson. Les démonstrations citent ces théorèmes au lieu de refaire l’argument.

L’existence et les accroissements finis

La leçon sur le théorème de Weierstrass a d’abord démontré le théorème de bornitude, en prenant la borne supérieure des points jusqu’auxquels la fonction est bornée et en avançant au-delà grâce au caractère localement borné que donne la continuité ; ensuite, que la borne supérieure des valeurs est atteinte, car si elle ne l’était pas, l’inverse de la distance des valeurs à cette borne serait continu et non borné. Elle a montré par des contre-exemples qu’aucune hypothèse n’est superflue (un intervalle ouvert, un intervalle non borné, une fonction discontinue et les rationnels, où manque la propriété de la borne supérieure), elle a déduit du théorème des valeurs intermédiaires que l’image d’un intervalle fermé et borné est un autre intervalle du même type, et qu’une fonction qui prend des valeurs égales aux extrémités d’un intervalle atteint un extremum à l’intérieur. La leçon sur les théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy a défini les extremums locaux comme des énoncés quantifiés, a démontré avec le signe de la dérivée en un point que la dérivée s’annule en un extremum local intérieur, et a obtenu successivement le théorème de Rolle, le théorème des accroissements finis de Lagrange et celui de Cauchy, en montrant la nécessité de leurs hypothèses. Ses corollaires ont été les premières conclusions globales : une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante, une borne de la dérivée borne les accroissements, entre deux racines d’une fonction il y a une racine de sa dérivée, et la limite de la dérivée, si elle existe, est la dérivée. La leçon sur la règle de L’Hôpital l’a démontrée avec le théorème de Cauchy, pour la forme $\frac{0}{0}$ et, avec plus de soin, pour la forme $\frac{\infty}{\infty}$ , d’un côté d’un point, au point et en l’infini ; elle y a ramené les formes $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ et $\infty^0$ , a montré que la règle ne permet pas de conclure quand le quotient des dérivées n’a pas de limite, a averti qu’elle ne sert pas pour les limites avec lesquelles on a calculé les dérivées, et en a tiré le corollaire des dérivées nulles en un point, qui compare l’accroissement d’une fonction à une puissance de $x - a$ .

La monotonie, les extremums et l’allure de la courbe

La leçon sur la monotonie a démontré, avec le théorème des accroissements finis, qu’une dérivée positive ou nulle sur un intervalle donne une fonction croissante, et une dérivée strictement positive, une fonction strictement croissante, et elle a caractérisé la monotonie stricte à dérivée positive ou nulle : la dérivée ne doit pas s’annuler sur tout un intervalle. Ainsi ont été tenues les promesses de l’unité sur les dérivées, comme celle selon laquelle une dérivée strictement positive sur un intervalle suffit pour que la réciproque existe et soit dérivable. Elle a défini les points critiques, démontré le critère de la dérivée première et le théorème de Darboux, selon lequel une dérivée prend toutes les valeurs intermédiaires même si elle n’est pas continue, de sorte qu’elle n’a pas de discontinuités de saut, et elle en a déduit qu’une dérivée qui ne s’annule pas sur un intervalle ne change pas de signe. La leçon sur les maxima et minima a défini les extremums globaux et stricts ; elle a démontré le critère de la dérivée seconde et, avec la règle de L’Hôpital et sans le polynôme de Taylor, celui des dérivées successives, qui décide par la parité du premier ordre dont la dérivée est non nulle ; et elle a cherché les extremums globaux sur un intervalle fermé et borné parmi les extrémités de l’intervalle et les points critiques, et sur un intervalle ouvert ou non borné avec les limites aux extrémités et avec la monotonie, qui donne aussi qu’un extremum local au seul point critique est global. La leçon sur la concavité et la convexité a défini la convexité par la position de la courbe par rapport à ses cordes, avec la convention de l’unité (convexe, au-dessous de ses cordes), et a démontré que, pour une fonction dérivable, être convexe équivaut à avoir une dérivée croissante et à ce que la courbe reste au-dessus de ses tangentes, et, pour une fonction deux fois dérivable, à ce que la dérivée seconde soit positive ou nulle ; elle a défini les points d’inflexion, les a reconnus par le changement de signe de la dérivée seconde ou par la dérivée troisième, a montré avec $x^4$ qu’une dérivée seconde nulle ne suffit pas, et a obtenu l’inégalité de Jensen et celle des moyennes géométrique et arithmétique. La leçon sur la courbure a défini le cercle osculateur comme celui qui a au point la même valeur, la même dérivée et la même dérivée seconde que la fonction ; elle a démontré avec la dérivation implicite qu’il existe et est unique quand la dérivée seconde ne s’annule pas, de rayon $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ et de centre sur la normale, du côté vers lequel la courbe s’incurve, et elle a montré que ce centre est la limite des intersections de normales voisines.

L’optimisation et l’approximation

La leçon sur les problèmes d’optimisation a fixé une méthode en cinq temps (la variable, la fonction, l’ensemble de définition, les extremums globaux avec leur justification et la conclusion), dont le point décisif est de justifier que l’extremum trouvé est global : avec le théorème de Weierstrass si l’ensemble de définition est fermé et borné, et sinon avec le signe de la dérivée, la convexité ou les limites aux extrémités. Elle a démontré qu’une fonction et sa composée avec une fonction strictement croissante atteignent leurs extremums aux mêmes points, que le point d’une courbe le plus proche d’un point donné existe et se trouve sur une normale, et elle a déduit du temps minimal les lois de la réfraction et de la réflexion. La leçon sur la méthode de Newton-Raphson a remplacé la courbe par sa tangente pour approcher une racine ; elle a traité les itérés comme une fonction définie sur les entiers naturels, avec la définition de la limite en l’infini et sans la théorie des suites ; elle a démontré avec la convexité et la borne inférieure des itérés que, depuis le bon côté, ils s’approchent de la racine sans la dépasser et convergent vers elle, et que depuis le mauvais côté la première itération saute du bon côté ; elle a majoré l’erreur avec le théorème des accroissements finis, montré les échecs de la méthode (une dérivée nulle, un cycle, des itérés qui s’échappent) et l’a comparée à la dichotomie, qui gagne un chiffre binaire à chaque itération, tandis que la méthode de Newton-Raphson, près d’une racine simple, double dans les exemples le nombre de chiffres exacts.

Ce qui est admis, ce qui est démontré et ce qui reste

Le bilan de l’unité peut se résumer ainsi :

On admet l’axiome de la borne supérieure, que l’unité utilise directement dans le théorème de bornitude, dans celui de Weierstrass et dans la convergence des itérés de Newton-Raphson ; les théorèmes des unités sur les limites et sur les dérivées, en particulier le théorème de Bolzano, la conservation du signe, le caractère local de la dérivée et le signe de la dérivée en un point ; et des résultats d’Algèbre et géométrie, comme les formules trigonométriques, l’inégalité $\sin x < x < \tan x$ et les lois des exposants et des logarithmes.
On démontre des faits que l’unité sur les dérivées avait annoncés sans pouvoir les démontrer : qu’une dérivée strictement positive sur un intervalle donne une fonction croissante, qu’une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante et que l’erreur de l’approximation par la différentielle peut être majorée ; et la tangente devient un instrument pour approcher des racines, pour comparer la courbe à elle-même et pour mesurer combien elle s’incurve.
On réutilise trois instruments au lieu de répéter des arguments : le théorème de Weierstrass, qui donne les extremums ; le théorème des accroissements finis, qui traduit le signe de la dérivée en information sur les valeurs ; et la monotonie par le signe de la dérivée, qui soutient les critères pour les extremums et la convexité.
Reste pour Analyse II ce qui exige plus que la dérivée : l’intégrale, la longueur d’arc, avec laquelle la courbure se lit comme le taux de variation de l’angle de la tangente, la continuité uniforme, les suites et les séries, et le polynôme de Taylor ; et pour Analyse III, les extremums des fonctions de plusieurs variables et la courbure des courbes paramétrées.

La figure ci-dessous réunit les trois tronçons en une seule chaîne. Chaque nœud de la colonne est une définition ou un théorème, numéroté selon l’ordre logique et relié par un arc aux maillons antérieurs qu’utilise sa démonstration ; autour flottent les appuis, c’est-à-dire les principes et les outils auxquels la chaîne recourt sans cesse, chacun relié par un trait plein aux maillons qui reposent sur lui et par un trait en pointillés au maillon où il est établi, sauf ceux qui proviennent des unités antérieures ou d’Algèbre et géométrie, qui sont dessinés comme des anneaux. Un clic sur un appui met en évidence tous les maillons qui l’utilisent, et chaque maillon renvoie à la leçon où il est démontré.

Appuis de la chaîne

AAxiome de la borne supérieure. On admet, depuis Algèbre et géométrie I, que les réels forment un corps ordonné complet : toute partie non vide et majorée de l’ensemble des réels possède une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée possède une borne inférieure. Admis sans démonstration dans cette unité.
BHéritage de l’unité 1. Résultats démontrés dans l’unité sur les limites et la continuité : l’algèbre des limites ; les limites à gauche et à droite, en l’infini et infinies ; le passage à la limite dans les inégalités ; la continuité des opérations et de la composition ; le caractère localement borné et la conservation du signe, pour les limites et pour les fonctions continues ; et les limites remarquables. Admis sans démonstration dans cette unité.
CHéritage de l’unité 2. Résultats démontrés dans l’unité sur les dérivées : la définition de la dérivée et les dérivées à gauche et à droite, le fait que dérivable entraîne continue, le caractère local de la dérivée, les règles de dérivation et la règle de dérivation en chaîne, les dérivées des fonctions élémentaires, la dérivée de la fonction réciproque et la dérivation implicite, et les dérivées successives. Admis sans démonstration dans cette unité.
DValeurs intermédiaires. Démontré avec la borne supérieure dans l’unité sur les dérivées : si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, $f$ s’annule en un point de $\ioo{a}{b}$ , ce qui est le théorème de Bolzano ; et l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Admis sans démonstration dans cette unité.
ESigne de la dérivée en un point. Démontré dans l’unité sur les dérivées : si $f$ est définie sur un intervalle ouvert et si $f'(a) > 0$ , il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , et $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ ; il ne s’ensuit pas que $f$ soit croissante près de $a$ . Admis sans démonstration dans cette unité.
FExtremums atteints. Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné y atteint son maximum et son minimum : l’instrument qui donne l’existence des extremums et des points intermédiaires des théorèmes ultérieurs. Établi dans: 2. Théorème de Weierstrass.
GAccroissements finis. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ et dérivable en chaque point de $\ioo{a}{b}$ , il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : une information sur la dérivée en tous les points se convertit en une information sur les valeurs. Établi dans: 7. Théorème des accroissements finis de Lagrange.
HMonotonie par la dérivée. Sur un intervalle, une dérivée positive ou nulle donne une fonction croissante, et une dérivée strictement positive, une fonction strictement croissante : l’instrument avec lequel on décide des extremums et de la convexité. Établi dans: 12. Monotonie par le signe de la dérivée.

Tronçon 1 L’existence et les accroissements finis
- Démontrer avec la borne supérieure qu’une fonction continue sur un intervalle fermé et borné est bornée et atteint son maximum et son minimum, et montrer qu’aucune hypothèse n’est superflue.
- Localiser les extremums locaux intérieurs avec le théorème de Fermat et en déduire, avec le théorème de Weierstrass, les théorèmes de Rolle, de Lagrange et de Cauchy.
- Tirer du théorème des accroissements finis qu’une dérivée nulle donne une fonction constante, borner des accroissements et compter des racines.
- Démontrer avec le théorème de Cauchy la règle de L’Hôpital, y ramener les autres formes indéterminées et ne pas l’utiliser pour les limites avec lesquelles on a calculé les dérivées.
1. Théorème de bornitude. Si $f$ est continue sur un intervalle fermé et borné $\icc{a}{b}$ , il existe un nombre $K$ tel que $\abs{f(x)} \leq K$ pour tout $x$ de $\icc{a}{b}$ .
  Repose sur: A (Axiome de la borne supérieure), B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass.
2. Théorème de Weierstrass. Si $f$ est continue sur un intervalle fermé et borné $\icc{a}{b}$ , il existe $x_1$ et $x_2$ dans $\icc{a}{b}$ tels que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ pour tout $x$ de $\icc{a}{b}$ ; aucune des hypothèses ne peut être omise.
  Utilise: 1. Théorème de bornitude. Repose sur: A (Axiome de la borne supérieure), B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass.
3. L’image d’un intervalle fermé et borné. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , et si $m$ et $M$ sont ses valeurs minimale et maximale sur cet intervalle, l’image de $\icc{a}{b}$ est l’intervalle $\icc{m}{M}$ .
  Utilise: 2. Théorème de Weierstrass. Repose sur: F (Extremums atteints), D (Valeurs intermédiaires). Démontré dans: Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass.
4. Un extremum à l’intérieur. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , avec $a < b$ et $f(a) = f(b)$ , elle atteint son maximum ou son minimum en un point de $\ioo{a}{b}$ .
  Utilise: 2. Théorème de Weierstrass. Repose sur: F (Extremums atteints). Démontré dans: Théorème des valeurs extrêmes de Weierstrass.
5. Théorème de Fermat. Si $f$ , définie sur $A$ , atteint un extremum local en un point intérieur $a$ de $A$ , c’est-à-dire s’il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) \leq f(a)$ pour tous les $x$ de $A$ avec $\abs{x - a} < \delta$ , ou $f(a) \leq f(x)$ pour tous ceux-ci, et si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f'(a) = 0$ .
  Repose sur: E (Signe de la dérivée en un point), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
6. Théorème de Rolle. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , avec $a < b$ , dérivable en chaque point de $\ioo{a}{b}$ et si $f(a) = f(b)$ , il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $f'(c) = 0$ .
  Utilise: 4. Un extremum à l’intérieur, 5. Théorème de Fermat. Repose sur: F (Extremums atteints), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
7. Théorème des accroissements finis de Lagrange. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , avec $a < b$ , et dérivable en chaque point de $\ioo{a}{b}$ , il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : une tangente est parallèle à la corde.
  Utilise: 6. Théorème de Rolle. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
8. Théorème des accroissements finis de Cauchy. Si $f$ et $g$ sont continues sur $\icc{a}{b}$ , avec $a < b$ , et dérivables en chaque point de $\ioo{a}{b}$ , il existe $c$ dans $\ioo{a}{b}$ tel que $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; si de plus $g'$ ne s’annule pas sur $\ioo{a}{b}$ , alors $g(b) \neq g(a)$ et $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  Utilise: 6. Théorème de Rolle. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
9. Conséquences du théorème des accroissements finis. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable en chaque point intérieur. Si $f'$ s’annule en ces points, $f$ est constante ; deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante ; si $\abs{f'(x)} \leq K$ en ces points, $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ pour tous $x$ , $y$ de $I$ ; et si $f$ est dérivable sur $I$ et y a $n \geq 2$ racines distinctes, $f'$ en a au moins $n - 1$ .
  Utilise: 6. Théorème de Rolle, 7. Théorème des accroissements finis de Lagrange. Repose sur: G (Accroissements finis), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Théorèmes de Fermat, Rolle, Lagrange et Cauchy.
10. Règle de L’Hôpital. Si $f$ et $g$ sont dérivables sur $\ioo{a}{b}$ , avec $g'(x) \neq 0$ sur cet intervalle, si $f(x)$ et $g(x)$ tendent vers $0$ , ou si $g(x)$ tend vers $\infty$ ou vers $-\infty$ , quand $x \to a^+$ , et si $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tend vers $L$ , réel, $\infty$ ou $-\infty$ , alors $\frac{f(x)}{g(x)}$ tend vers $L$ ; il en va de même à gauche, des deux côtés d’un point et en l’infini.
  Utilise: 8. Théorème des accroissements finis de Cauchy. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Règle de L’Hôpital.
11. Dérivées nulles en un point. Soient $n \geq 2$ un entier naturel, $I$ un intervalle ouvert, $a$ un point de $I$ et $f$ une fonction $n - 1$ fois dérivable sur $I$ et $n$ fois dérivable en $a$ , avec $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . Alors $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ tend vers $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ quand $x \to a$ .
  Utilise: 10. Règle de L’Hôpital. Repose sur: C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Règle de L’Hôpital.
Tronçon 2 La monotonie, les extremums et l’allure de la courbe
- Décider de la monotonie par le signe de la dérivée, caractériser la monotonie stricte et démontrer le théorème de Darboux.
- Classer les points critiques avec les critères de la dérivée première, de la dérivée seconde et des dérivées successives, et trouver les extremums globaux sur des intervalles fermés, ouverts ou non bornés.
- Caractériser la convexité par les cordes, la dérivée croissante, les tangentes et la dérivée seconde, et reconnaître les points d’inflexion.
- Mesurer la courbure d’une courbe représentative avec le cercle osculateur.
1. Monotonie par le signe de la dérivée. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable en chaque point intérieur. Si $f'(x) \geq 0$ en ces points, $f$ est croissante sur $I$ , et si $f'(x) > 0$ , strictement croissante ; avec $f'(x) \leq 0$ ou $f'(x) < 0$ , décroissante ou strictement décroissante. Réciproquement, si $f$ est croissante sur $I$ et dérivable en un point intérieur $a$ , alors $f'(a) \geq 0$ .
  Utilise: 7. Théorème des accroissements finis de Lagrange. Repose sur: E (Signe de la dérivée en un point), G (Accroissements finis), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Monotonie et critère de la dérivée première.
2. Monotonie stricte à dérivée positive ou nulle. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et si $f'(x) \geq 0$ en chaque point intérieur, $f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'$ ne s’annule en tous les points d’aucun intervalle $\ioo{p}{q}$ contenu dans $I$ ; en particulier, si elle ne s’annule qu’en un nombre fini de points.
  Utilise: 9. Conséquences du théorème des accroissements finis, 12. Monotonie par le signe de la dérivée. Repose sur: H (Monotonie par la dérivée), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Monotonie et critère de la dérivée première.
3. Critère de la dérivée première. Si $f$ est continue sur $\ioo{a - r}{a + r}$ et dérivable en chaque point distinct de $a$ , avec $f'(x) \geq 0$ à gauche de $a$ et $f'(x) \leq 0$ à droite, elle atteint en $a$ un maximum local, strict si les inégalités le sont ; avec les inégalités renversées, un minimum local ; et si $f'(x)$ est strictement positive des deux côtés, ou strictement négative des deux côtés, il n’y a pas d’extremum en $a$ .
  Utilise: 12. Monotonie par le signe de la dérivée. Repose sur: H (Monotonie par la dérivée). Démontré dans: Monotonie et critère de la dérivée première.
4. Théorème de Darboux. Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et si $a < b$ sont des points de $I$ , $f'$ prend sur $\ioo{a}{b}$ toute valeur comprise strictement entre $f'(a)$ et $f'(b)$ ; par conséquent, $f'$ n’a sur $I$ ni discontinuité éliminable ni discontinuité de saut.
  Utilise: 2. Théorème de Weierstrass, 5. Théorème de Fermat. Repose sur: E (Signe de la dérivée en un point), F (Extremums atteints), B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Monotonie et critère de la dérivée première.
5. Dérivée qui ne s’annule pas. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ ayant plus d’un point et dérivable en chaque point intérieur, avec $f'(x) \neq 0$ en chacun, $f'$ a le même signe en tous ces points et $f$ est strictement monotone sur $I$ .
  Utilise: 12. Monotonie par le signe de la dérivée, 15. Théorème de Darboux. Repose sur: H (Monotonie par la dérivée). Démontré dans: Monotonie et critère de la dérivée première.
6. Critère de la dérivée seconde. Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et deux fois dérivable en un point $a$ de $I$ , avec $f'(a) = 0$ , elle atteint en $a$ un minimum local strict si $f''(a) > 0$ , et un maximum local strict si $f''(a) < 0$ .
  Utilise: 14. Critère de la dérivée première. Repose sur: E (Signe de la dérivée en un point), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Maxima et minima d’une fonction.
7. Critère des dérivées successives. Si $f$ est $n - 1$ fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $n$ fois dérivable en un point $a$ de $I$ , avec $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ et $f^{(n)}(a) \neq 0$ , alors, si $n$ est pair, $f$ atteint en $a$ un minimum local strict si $f^{(n)}(a) > 0$ , et un maximum local strict si $f^{(n)}(a) < 0$ ; et si $n$ est impair, elle n’atteint en $a$ aucun extremum local.
  Utilise: 11. Dérivées nulles en un point. Repose sur: B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Maxima et minima d’une fonction.
8. Extremums globaux sur un intervalle. Si $f$ est continue sur $\icc{a}{b}$ , elle atteint ses maximum et minimum globaux, et chaque point où elle les atteint est $a$ , $b$ ou un point critique de $\ioo{a}{b}$ ; si elle est continue sur un intervalle ouvert, borné ou non, et si une de ses valeurs dépasse ses limites aux deux extrémités, elle atteint son maximum global, en des points critiques.
  Utilise: 2. Théorème de Weierstrass, 5. Théorème de Fermat. Repose sur: F (Extremums atteints), B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Maxima et minima d’une fonction.
9. Extremums globaux par la monotonie. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ , si $c$ est un point intérieur, si $f'(x) \geq 0$ aux points intérieurs inférieurs à $c$ et $f'(x) \leq 0$ aux points supérieurs, $f$ atteint en $c$ son maximum global sur $I$ ; et si $c$ est le seul point critique de $f$ dans $I$ et si $f$ y atteint un extremum local, cet extremum est global et strict sur $I$ .
  Utilise: 12. Monotonie par le signe de la dérivée, 16. Dérivée qui ne s’annule pas. Repose sur: H (Monotonie par la dérivée). Démontré dans: Maxima et minima d’une fonction.
10. Convexité et dérivée croissante. Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ pour tous $x$ , $y$ de $I$ et tout $t$ de $\icc{0}{1}$ . Si $f$ est continue sur $I$ et dérivable en chaque point intérieur, elle est convexe si et seulement si $f'$ est croissante aux points intérieurs, et strictement convexe si et seulement si $f'$ y est strictement croissante.
  Utilise: 7. Théorème des accroissements finis de Lagrange. Repose sur: G (Accroissements finis), B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Concavité, convexité et points d’inflexion.
11. La courbe au-dessus de ses tangentes. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ ayant plus d’un point et dérivable en chaque point intérieur, elle est convexe si et seulement si $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ pour tout point intérieur $a$ et tout $x$ de $I$ ; en particulier, si elle est convexe et si $f'(a) = 0$ , elle atteint en $a$ son minimum global sur $I$ .
  Utilise: 21. Convexité et dérivée croissante. Démontré dans: Concavité, convexité et points d’inflexion.
12. Convexité et dérivée seconde. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ ayant plus d’un point et deux fois dérivable en chaque point intérieur, elle est convexe si et seulement si $f''(x) \geq 0$ en ces points, et elle est strictement convexe si de plus $f''$ ne s’annule en tous les points d’aucun intervalle ouvert contenu dans $I$ .
  Utilise: 12. Monotonie par le signe de la dérivée, 13. Monotonie stricte à dérivée positive ou nulle, 21. Convexité et dérivée croissante. Repose sur: H (Monotonie par la dérivée), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Concavité, convexité et points d’inflexion.
13. Points d’inflexion. Si $f$ est continue près de $a$ , dérivable en $a$ et si $f''$ change de signe en $a$ , le point $a$ est un point d’inflexion ; en un point d’inflexion où $f$ est deux fois dérivable, $f''(a) = 0$ , mais cela ne suffit pas, comme le montre $x^4$ en $0$ ; et si $f''(a) = 0$ et $f'''(a) \neq 0$ , $a$ est un point d’inflexion et la courbe traverse sa tangente.
  Utilise: 5. Théorème de Fermat, 18. Critère des dérivées successives, 21. Convexité et dérivée croissante, 23. Convexité et dérivée seconde. Repose sur: E (Signe de la dérivée en un point), B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: Concavité, convexité et points d’inflexion.
14. Inégalité de Jensen. Si $f$ est continue et convexe sur un intervalle $I$ et dérivable en chaque point intérieur, alors $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ pour des points $x_i$ de $I$ et des poids $t_i \geq 0$ de somme $1$ ; avec le logarithme, qui est concave, la moyenne géométrique de nombres strictement positifs ne dépasse pas leur moyenne arithmétique.
  Utilise: 22. La courbe au-dessus de ses tangentes, 23. Convexité et dérivée seconde. Repose sur: C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Concavité, convexité et points d’inflexion.
15. Cercle osculateur. Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert et deux fois dérivable en un point $a$ , avec $m = f'(a)$ et $q = f''(a) \neq 0$ , il existe exactement un cercle qui a en $a$ la même valeur, la même dérivée et la même dérivée seconde que $f$ ; son rayon est $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ , l’inverse de la courbure $\kappa$ , et son centre est sur la normale, au-dessus du point si $q > 0$ et au-dessous si $q < 0$ .
  Repose sur: C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Courbure et rayon de courbure.
Tronçon 3 L’optimisation et l’approximation
- Traduire un problème géométrique ou physique en la recherche de l’extremum global d’une fonction, sur un ensemble de définition fixé avec précision, et justifier que l’extremum trouvé est global.
- Trouver le point d’une courbe le plus proche d’un point donné et déduire du temps minimal les lois de la réflexion et de la réfraction.
- Approcher des racines avec la méthode de Newton-Raphson, assurer sa convergence avec la convexité et majorer l’erreur avec le théorème des accroissements finis.
1. La distance d’un point à une courbe. Si $f$ est continue sur un intervalle ayant plus d’un point et qui contient ses extrémités, s’il en a, un point de sa courbe représentative est à distance minimale d’un point $P = (x_1, y_1)$ ; si l’abscisse $c$ de ce point est intérieure et si $f$ y est dérivable, $P$ est sur la normale : $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  Utilise: 2. Théorème de Weierstrass, 5. Théorème de Fermat. Repose sur: F (Extremums atteints), B (Héritage de l’unité 1), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Problèmes d’optimisation.
2. La loi de Snell-Descartes. La durée $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ du chemin qui va de $(0, a)$ à $(x, 0)$ avec une vitesse de norme $v_1$ et de là à $(d, -b)$ avec une vitesse de norme $v_2$ atteint son minimum global strict en un seul point, où $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ; il s’ensuit que le plus court chemin entre deux points qui touche une droite fait des angles égaux avec la perpendiculaire à celle-ci, ce qui est la loi de la réflexion.
  Utilise: 22. La courbe au-dessus de ses tangentes, 23. Convexité et dérivée seconde. Repose sur: D (Valeurs intermédiaires), C (Héritage de l’unité 2). Démontré dans: Problèmes d’optimisation.
3. Convergence de Newton-Raphson. Si $f$ est dérivable et convexe sur un intervalle ouvert $I$ , avec $f'(x) \neq 0$ sur tout $I$ , et si $f(r) = 0$ , les itérés $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ depuis un $x_0$ de $I$ tel que $f(x_0) \geq 0$ s’approchent de $r$ de façon monotone, sans la dépasser, et convergent vers $r$ ; depuis un $x_0$ tel que $f(x_0) < 0$ , si $x_1$ est dans $I$ , la première itération mène du bon côté.
  Utilise: 16. Dérivée qui ne s’annule pas, 21. Convexité et dérivée croissante, 22. La courbe au-dessus de ses tangentes. Repose sur: A (Axiome de la borne supérieure), B (Héritage de l’unité 1). Démontré dans: La méthode de Newton-Raphson.
4. Majoration de l’erreur. Si $f$ est continue sur un intervalle $J$ et dérivable en chaque point intérieur, avec $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ en ces points, et si $f(r) = 0$ pour un $r$ de $J$ , alors $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ pour tout $x$ de $J$ .
  Utilise: 7. Théorème des accroissements finis de Lagrange. Repose sur: G (Accroissements finis). Démontré dans: La méthode de Newton-Raphson.

Vers Analyse II. La chaîne s’arrête là où se termine le cours. En Analyse II, le corollaire selon lequel deux fonctions de même dérivée diffèrent d’une constante fonde les primitives, et l’intégrale s’unit à la dérivée dans le théorème fondamental de l’analyse ; avec la longueur d’arc, qui est une intégrale, la courbure se lit comme le taux de variation de l’angle de la tangente. Les suites, dont les itérés de Newton-Raphson ont été un premier exemple, et les séries donnent aux fonctions définies sur les entiers naturels une théorie propre. Et le polynôme de Taylor, dont le reste se majore avec les théorèmes de Rolle et de Cauchy, prolonge la tangente avec les dérivées successives, généralise le critère des dérivées successives et démontre, sous des hypothèses sur la dérivée seconde, la convergence quadratique de la méthode de Newton-Raphson, que cette unité n’a observée que sur des exemples.