Bilan final d’Analyse I

Ce que le cours s’est proposé

Trois problèmes anciens ont conduit au calcul infinitésimal : la vitesse d’un mobile à un instant donné, la pente de la tangente à une courbe et l’aire d’une figure courbe. Le cours a repris les deux premiers, qui conduisent à la dérivée, et il est né d’un but général : fonder le calcul différentiel des fonctions d’une variable réelle sur la définition de la limite et l’axiome de la borne supérieure, et en déduire, avec des démonstrations complètes, ce que la dérivée permet de savoir de la variation, de l’allure et des extremums d’une fonction. La leçon sur le plan d’études a déployé ce but en sept objectifs d’apprentissage globaux, qu’il convient d’avoir sous les yeux avec la numérotation par laquelle la figure les cite :

1. Démontrer par un raisonnement déductif explicite : écrire les définitions comme des énoncés quantifiés et les nier, argumenter par epsilon et delta, déduire de l’axiome de la borne supérieure les théorèmes d’existence, montrer par des contre-exemples qu’une hypothèse n’est pas superflue et distinguer ce qui est déduit de ce qui est admis.
2. Définir et calculer des limites finies, à gauche et à droite, à l’infini et infinies, lever les formes indéterminées, y compris par la règle de L’Hôpital, et déterminer avec elles les asymptotes et la courbe représentative d’une fonction.
3. Décider de la continuité d’une fonction, classer ses discontinuités et appliquer le théorème de Bolzano, le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Weierstrass, qui reposent sur l’axiome de la borne supérieure.
4. Définir la dérivée, la caractériser par l’approximation affine et par la factorisation de Carathéodory, démontrer ses règles et dériver avec elles toutes sortes de fonctions, en précisant l’ensemble de définition de chaque dérivée.
5. Démontrer et appliquer les théorèmes de Fermat, de Rolle, de Lagrange et de Cauchy, et étudier avec eux la monotonie, les extremums, la convexité, l’inflexion et la courbure d’une courbe représentative.
6. Approcher des valeurs et des racines par la différentielle, la dichotomie et la méthode de Newton-Raphson, majorer l’erreur de chaque approximation et reconnaître quand une méthode échoue.
7. Modéliser avec la dérivée des taux de variation, des taux liés et des problèmes d’optimisation, et communiquer par écrit mises en équation, calculs et démonstrations.

Chaque leçon du cours a déclaré, en outre, ses propres objectifs spécifiques. Les leçons ne disent pas à quel objectif global chacun d’eux sert ; cette correspondance est une lecture faite de l’extérieur, avec la même méthode que dans les autres cours du site. Chaque objectif spécifique est rattaché à un objectif global principal et, s’il les touche, à d’autres secondaires ; chacun compte entièrement dans son principal et pour moitié dans chaque secondaire, et la leçon est reliée comme principale à l’objectif global qui réunit le plus de poids et comme secondaire aux autres qui en reçoivent. Si deux objectifs sont à égalité, c’est celui du plus petit numéro qui l’emporte. Les objectifs des introductions qui ne font que décrire le parcours de l’unité ne sont rattachés à aucun. Les synthèses suivent un critère commun à tous les cours de mathématiques du site : leur principal est l’objectif 1, parce que leur cœur reconstruit la chaîne déductive de l’unité. Enfin, la leçon sur les problèmes d’optimisation a pour principal l’objectif 7, alors que, d’une courte marge, la règle donnerait le 5, parce que sa matière déclarée est la mise en équation : traduire le problème, fixer l’ensemble de définition et justifier que l’extremum trouvé est global. S’il en est ainsi, le cours entier admet la forme d’une colonne vertébrale : la tête est le but général ; la colonne, l’ordre des unités, chacune avec son tronçon ; chaque leçon est un nœud de ce tronçon, relié à son objectif principal, et les sept objectifs flottent autour de la colonne, soutenus par les leçons qui les alimentent.