Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον

Περίληψη

Το θεώρημα του Μπολτσάνο εξασφαλίζει ότι μια συνεχής συνάρτηση που αλλάζει πρόσημο έχει ρίζα, και η διχοτόμηση την εντοπίζει κερδίζοντας ένα δυαδικό ψηφίο με κάθε διχοτόμηση του διαστήματος. Το μάθημα αυτό μελετά μια διαδικασία πολύ ταχύτερη όταν λειτουργεί: τη μέθοδο Νεύτωνα-Ράφσον, η οποία αντικαθιστά τη γραφική παράσταση με την εφαπτομένη της και παίρνει ως νέα προσέγγιση το σημείο όπου η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα. Οι προσεγγίσεις που προκύπτουν έτσι ορίζονται η μία μετά την άλλη για τους ακεραίους n≥0n \geq 0, και το όριό τους νοείται με τον ορισμό του ορίου όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, χωρίς τη θεωρία των ακολουθιών. Το μάθημα αποδεικνύει, με την κυρτότητα, ότι αν η παράγωγος δεν μηδενίζεται και η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, οι επαναλήψεις που ξεκινούν από την κατάλληλη πλευρά πλησιάζουν τη ρίζα χωρίς να την ξεπερνούν και συγκλίνουν σε αυτήν· και, με το θεώρημα μέσης τιμής, ότι η τιμή της συνάρτησης, που υπολογίζεται, φράσσει την απόσταση από τη ρίζα, που δεν είναι γνωστή. Δείχνει έπειτα, με αριθμητικά παραδείγματα, ότι το πλήθος των σωστών ψηφίων διπλασιάζεται σε κάθε επανάληψη, καθώς και τους τρόπους με τους οποίους η μέθοδος αποτυγχάνει: μηδενική παράγωγος, κύκλος, απόκλιση. Τα προβλήματα υπολογίζουν κυβικές ρίζες και αντίστροφους αριθμούς χωρίς διαίρεση, σπάνε έναν κύκλο, μελετούν μια διπλή ρίζα και βρίσκουν το ακριβές όριο ανάμεσα στη σύγκλιση και την απόκλιση για την τοξεφαπτομένη.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να υπολογίζονται οι επαναλήψεις Νεύτωνα-Ράφσον μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης και να αναγνωρίζεται σε αυτές η τομή της εφαπτομένης με τον άξονα.
  2. Να αποδεικνύεται η μονότονη σύγκλιση των επαναλήψεων όταν η παράγωγος δεν μηδενίζεται και η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη, και να επιλέγεται αρχικό σημείο από την κατάλληλη πλευρά.
  3. Να φράσσεται η απόσταση μιας προσέγγισης από τη ρίζα με την τιμή της συνάρτησης και ένα κάτω φράγμα της παραγώγου της.
  4. Να αναγνωρίζονται οι τρόποι με τους οποίους η μέθοδος αποτυγχάνει και να συγκρίνεται με τη διχοτόμηση ως προς την ταχύτητα και την ασφάλεια.

Η επανάληψη

Έστω ff μια παραγωγίσιμη συνάρτηση της οποίας αναζητείται η ρίζα rr, και έστω x0x_0 μια πρώτη προσέγγιση. Κοντά στο x0x_0, η γραφική παράσταση της ff μοιάζει με την εφαπτομένη της, y=f(x0)+f′(x0)(x−x0)y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0), σύμφωνα με τον ορισμό της εφαπτομένης στο μάθημα για την παράγωγο ως όριο· με τη γλώσσα του διαφορικού από το μάθημα για τις παραγώγους ανώτερης τάξης και το διαφορικό, η μεταβολή f(x0+Δx)−f(x0)f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) μοιάζει με το f′(x0)Δxf'(x_0) \Delta x. Η εφαπτομένη τέμνει τον άξονα σε ένα μόνο σημείο αν f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0, και είναι φυσικό να το πάρουμε ως νέα προσέγγιση: προκύπτει αν μηδενίσουμε την εξίσωση της εφαπτομένης. Η επανάληψη της διαδικασίας από το σημείο που προκύπτει είναι η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον.

ΟρισμόςΕπαναλήψεις Νεύτωνα-Ράφσον

Έστω ff μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα II και x0x_0 ένα σημείο του II. Επαναλήψεις Νεύτωνα-Ράφσον με αφετηρία το x0x_0 λέγονται οι αριθμοί που ορίζονται, ο ένας μετά τον άλλον, από τον τύπο

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

όσο το xnx_n ανήκει στο II και f′(xn)≠0f'(x_n) \neq 0. Αν οι συνθήκες αυτές ισχύουν για κάθε ακέραιο n≥0n \geq 0, οι επαναλήψεις σχηματίζουν μια συνάρτηση n↦xnn \mapsto x_n ορισμένη στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων, το οποίο δεν είναι άνω φραγμένο, και ο ορισμός του ορίου όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, από το μάθημα για τα όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο, εφαρμόζεται σε αυτήν. Λέμε ότι οι επαναλήψεις συγκλίνουν στο rr αν lim⁡n→∞xn=r\lim_{n \to \infty} x_n = r, δηλαδή αν

(∀ε>0)(∃M)(∀n≥0)(n>M→∣xn−r∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists M)(\forall n \geq 0)\left(n > M \rightarrow \abs{x_n - r} < \varepsilon\right)

Κάθε επανάληψη είναι η τομή με τον άξονα της εφαπτομένης στο (xn,f(xn))(x_n, f(x_n)): θέτοντας y=0y = 0 και x=xn+1x = x_{n+1} στην εξίσωση y=f(xn)+f′(xn)(x−xn)y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) και λύνοντας, προκύπτει ο τύπος του ορισμού. Η μέθοδος δεν απαιτεί η συνάρτηση να αλλάζει πρόσημο σε ένα δοσμένο διάστημα, όπως η διχοτόμηση, αλλά να είναι παραγωγίσιμη και η παράγωγός της να μη μηδενίζεται στα σημεία από τα οποία περνά· σε αντάλλαγμα, τίποτε δεν εξασφαλίζει εκ των προτέρων ότι οι επαναλήψεις θα πλησιάσουν μια ρίζα. Η παράγραφος που ακολουθεί δίνει συνθήκες που το εξασφαλίζουν.

ΠαράδειγμαΗ τετραγωνική ρίζα του 2

Να εφαρμοστεί η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον στην f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 με αφετηρία x0=2x_0 = 2. Τα βήματα δείχνουν τις τρεις πρώτες εφαπτόμενες και τις τομές τους με τον άξονα.

Απόδειξη

  1. xn+1=xn−xn2−22xn=12(xn+2xn),x1=32x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), \qquad \resaltar{x_1 = \frac{3}{2}}

    Η παράγωγος είναι f′(x)=2xf'(x) = 2x, που δεν μηδενίζεται αν x>0x > 0. Η επανάληψη παίρνει την ακόλουθη μορφή: κάθε νέα προσέγγιση είναι ο μέσος όρος της παλιάς και του 22 διαιρεμένου με αυτήν. Από το x0=2x_0 = 2, η εφαπτομένη y=2+4(x−2)y = 2 + 4(x - 2) τέμνει τον άξονα στο 32\frac{3}{2}.

  2. x2=12(32+43)=1712≈1,416667x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \resaltar{\frac{17}{12}} \approx 1{,}416667

    Η εφαπτομένη στο (32,14)\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right) τέμνει τον άξονα πολύ πιο κοντά στη ρίζα.

  3. x3=12(1712+2417)=577408≈1,4142157,2≈1,4142136x_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \resaltar{\frac{577}{408}} \approx 1{,}4142157, \qquad \sqrt{2} \approx 1{,}4142136

    Η τρίτη επανάληψη έχει ήδη πέντε σωστά δεκαδικά ψηφία. Τα σφάλματα, xn−2x_n - \sqrt{2}, είναι περίπου 0,590{,}59, 0,0860{,}086, 0,00250{,}0025 και 0,00000210{,}0000021: καθένα είναι της τάξης του τετραγώνου του σφάλματος που προηγείται.

Το σφάλμα του παραδείγματος αυτού υψώνεται στο τετράγωνο με ακρίβεια. Από τον τύπο της επανάληψης προκύπτει, για κάθε xn>0x_n > 0, η ακόλουθη ταυτότητα:

xn+1−2=xn2−22 xn+22xn=(xn−2)22xnx_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{\left(x_n - \sqrt{2}\right)^2}{2x_n}

Συνεπώς, όλες οι επαναλήψεις από την πρώτη και μετά είναι μεγαλύτερες ή ίσες του 2\sqrt{2}, και αν xn≥1x_n \geq 1, το σφάλμα της ακόλουθης επανάληψης είναι το πολύ το μισό του τετραγώνου του τρέχοντος σφάλματος: η τέταρτη επανάληψη, x4=665 857470 832x_4 = \frac{665\,857}{470\,832}, έχει έντεκα σωστά δεκαδικά ψηφία. Αν το 22 αντικατασταθεί με οποιονδήποτε θετικό αριθμό, η ίδια διαδικασία υπολογίζει τετραγωνικές ρίζες· εμφανίζεται ήδη στα Μετρικά του Ήρωνος του Αλεξανδρέως, τον 1ο αιώνα, και γι’ αυτό λέγεται και μέθοδος του Ήρωνα.

Ο Ισαάκ Νεύτων περιέγραψε τη μέθοδό του για πολυωνυμικές εξισώσεις το 1669, σε ένα κείμενο που κυκλοφόρησε χειρόγραφο και δημοσιεύθηκε το 1711· ο Τζόζεφ Ράφσον δημοσίευσε το 1690 μια απλούστερη έκθεση, και ο Τόμας Σίμπσον την παρουσίασε το 1740 ως επαναληπτική μέθοδο για γενικές εξισώσεις.