Concavità, convessità e punti di flesso

Funzioni convesse e concave

La lezione sulla monotonia ha studiato se una funzione sale o scende; questa studia come lo fa. Le funzioni $x^2$ e $\sqrt{x}$ sono strettamente crescenti in $\ico{0}{\infty}$, ma la prima si incurva verso l’alto e la seconda verso il basso: il segmento che unisce due punti del grafico di $x^2$, la sua corda, resta sopra l’arco del grafico compreso tra essi, e quello di $\sqrt{x}$, sotto. Se $t$ sta in $\icc{0}{1}$, il punto della corda che unisce $(x, f(x))$ con $(y, f(y))$ la cui ascissa è $tx + (1 - t)y$ ha ordinata $t f(x) + (1 - t) f(y)$: la stessa combinazione delle ordinate.

Una funzione lineare $mx + n$ è al tempo stesso convessa e concava: il suo grafico coincide con le sue corde. La funzione $x^2$ è strettamente convessa in $\mathbb{R}$, perché la differenza tra i due membri della disuguaglianza è $t(1 - t)(x - y)^2$, positiva se $x \neq y$ e $0 < t < 1$. Il valore assoluto è convesso, per la disuguaglianza triangolare, $\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}$, benché non sia derivabile in $0$; non è strettamente convesso, perché in $\ico{0}{\infty}$ coincide con le sue corde.

Due convenzioni. In questo corso, «convessa» è la funzione il cui grafico non sale al di sopra delle sue corde, come $x^2$, e «concava» quella che non scende al di sotto di esse, come $\sqrt{x}$. È la convenzione della maggior parte dei testi di analisi e di ottimizzazione, e quella del fatto ammesso della concavità del seno, nella lezione sulle funzioni trigonometriche e i loro grafici, di Algebra e Geometria II. Altri testi usano le parole al contrario, e chiamano concava $x^2$, perché guardano il grafico dall’alto; altri dicono «con la concavità rivolta verso l’alto» per convessa e «con la concavità rivolta verso il basso» per concava. Davanti a un testo nuovo, conviene cercarne la definizione o notare come chiama $x^2$: le disuguaglianze non cambiano, solo i nomi.

La definizione confronta un punto del grafico con una corda. Se $x < z < y$, confrontare $(z, f(z))$ con la corda da $x$ a $y$ equivale a confrontare i coefficienti angolari di tre corde: percorrendo da sinistra a destra il grafico di una funzione convessa, le corde diventano più ripide. La figura lo mostra con $f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6$.