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Topos Uranos
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Curvatura e raggio di curvatura

Riepilogo

Questa lezione misura quanto si incurva il grafico di una funzione in un punto. La tangente è la retta che ha nel punto lo stesso valore e la stessa derivata della funzione; la circonferenza osculatrice è quella che ha, inoltre, la stessa derivata seconda. Derivando due volte l’equazione di una circonferenza si ottiene che, in ciascuno dei suoi punti, una combinazione della derivata prima e della derivata seconda vale esattamente il suo raggio; con ciò, la lezione dimostra che, se la derivata seconda della funzione non si annulla, la circonferenza osculatrice esiste ed è unica, e ne dà il centro e il raggio, il raggio di curvatura. Il suo reciproco è la curvatura, che si annulla dove si annulla la derivata seconda. Dimostra poi che il centro di curvatura è il limite dei punti in cui si tagliano normali vicine, come vide Huygens, e che la curvatura non cambia scambiando gli assi, il che permette di misurarla dove la tangente è verticale. I problemi decidono se la circonferenza osculatrice attraversa il grafico, trovano il punto di curvatura massima dell’esponenziale, i punti di curvatura massima e minima di un’ellisse e il raggio di curvatura della catenaria, e studiano il salto di curvatura tra una retta e un arco.

Obiettivi di apprendimento

  1. Definire la circonferenza osculatrice al grafico di una funzione in un punto, dimostrare che esiste ed è unica quando la derivata seconda non si annulla, e calcolarne il centro e il raggio.
  2. Calcolare la curvatura e il raggio di curvatura di un grafico in un punto, interpretare la curvatura nulla e trovare i punti di curvatura massima o minima di un grafico.
  3. Ottenere il centro di curvatura come limite delle intersezioni delle normali, e misurare la curvatura dove la tangente è verticale scambiando i ruoli degli assi.
  4. Decidere, con il criterio delle derivate di ordine superiore, se la circonferenza osculatrice attraversa il grafico o resta da una sola parte di esso.

La circonferenza osculatrice

La tangente al grafico di ff in (a,f(a))(a, f(a)) è la retta che ha in aa lo stesso valore e la stessa derivata di ff. La lezione su concavità, convessità e punti di flesso ha mostrato che, se f′′(a)≠0f''(a) \neq 0, il grafico resta vicino a aa da una sola parte della sua tangente: sopra di essa se f′′(a)>0f''(a) > 0 e sotto di essa se f′′(a)<0f''(a) < 0. Ma non ha detto quanto se ne allontana, cioè quanto si incurva. Per misurarlo, conviene confrontarlo con le curve che si incurvano sempre allo stesso modo, le circonferenze: una piccola si incurva molto, e una grande, poco. Una circonferenza non è il grafico di una funzione, perché ogni retta verticale che passa per il suo interno la taglia due volte; ma ciascuna delle sue due metà, senza i suoi estremi, lo è.

LemmaLe derivate di una semicirconferenza

Siano (h,k)(h, k) un punto del piano, r>0r > 0, σ\sigma uguale a 11 o a −1-1, e u(x)=k+σr2−(x−h)2u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} per xx in (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, il cui grafico è la semicirconferenza superiore se σ=1\sigma = 1, o quella inferiore se σ=−1\sigma = -1, di centro (h,k)(h, k) e raggio rr, senza i suoi estremi. Allora uu, u′u' e u′′u'' sono derivabili in (h−r,h+r)\ioo{h - r}{h + r}, u(x)≠ku(x) \neq k, e in ogni punto xx dell’intervallo:

(x−h)+(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=0(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

Di conseguenza, u′′(x)u''(x) non si annulla e ha il segno di −σ-\sigma, sicché la semicirconferenza inferiore è strettamente convessa e quella superiore strettamente concava, e in tutti i suoi punti:

(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Dimostrazione

  1. (x−h)2+(u(x)−k)2=r2,x∈(h−r,h+r)(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}

    Se xx è nell’intervallo, r2−(x−h)2>0r^2 - (x - h)^2 > 0, sicché u(x)−k=σr2−(x−h)2u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2} non si annulla, e uu è derivabile per il corollario delle derivate delle composizioni usuali, della lezione sulla regola della catena. Elevando al quadrato, il grafico di uu sta sulla circonferenza:

  2. 2(x−h)+2(u(x)−k)u′(x)=0,1+(u′(x))2+(u(x)−k)u′′(x)=02(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}

    I due membri sono la stessa funzione di xx nell’intervallo, e le loro derivate coincidono: è la derivazione implicita della lezione sulla derivata della funzione inversa e la derivazione implicita, applicata a una funzione che sappiamo già derivabile. Esplicitando, u′(x)=−x−hu(x)−ku'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k} è un quoziente di funzioni derivabili con denominatore non nullo, derivabile per la regola del quoziente, della lezione sulle regole di derivazione; derivando ancora si ottiene la seconda uguaglianza, dalla quale anche u′′(x)=−1+(u′(x))2u(x)−ku''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k} è un quoziente di funzioni derivabili.

  3. 1+(u′(x))2=r2(u(x)−k)2,∣u′′(x)∣=r2∣u(x)−k∣3→(1+(u′(x))2)32∣u′′(x)∣=r1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}

    Poiché 1+(u′(x))2>01 + \left(u'(x)\right)^2 > 0, la derivata seconda non si annulla e ha il segno opposto a quello di u(x)−ku(x) - k, che è quello di σ\sigma; il corollario della convessità e della derivata seconda dà la convessità stretta o la concavità stretta. Per la prima uguaglianza, 1+(u′(x))21 + \left(u'(x)\right)^2 è la somma di (x−h)2(x - h)^2 e (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2, che vale r2r^2, divisa per (u(x)−k)2\left(u(x) - k\right)^2.

Su una circonferenza, il coefficiente angolare della tangente e la derivata seconda cambiano da un punto all’altro, ma la combinazione del lemma non cambia: vale sempre il raggio. Ciò suggerisce di misurare con essa quanto si incurva un grafico qualsiasi. Prima, conviene trovare la circonferenza che meglio si adatta al grafico in un punto, quella che coincide con esso fino alla derivata seconda.

DefinizioneCirconferenza osculatrice

Siano ff una funzione derivabile in un intervallo aperto II e due volte derivabile in un punto aa di II. Una circonferenza di centro (h,k)(h, k) e raggio r>0r > 0 è osculatrice al grafico di ff in (a,f(a))(a, f(a)) se passa per quel punto senza che esso sia il suo punto più a sinistra né quello più a destra, cioè se (a−h)2+(f(a)−k)2=r2(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2 e f(a)≠kf(a) \neq k, e se la semicirconferenza che lo contiene, il grafico della funzione uu del lemma con σ\sigma uguale al segno di f(a)−kf(a) - k, ha in aa lo stesso valore, la stessa derivata e la stessa derivata seconda di ff:

u(a)=f(a),u′(a)=f′(a),u′′(a)=f′′(a)u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Il suo centro si chiama centro di curvatura del grafico in quel punto.

La retta tangente soddisfa le prime due uguaglianze; la circonferenza osculatrice, anche la terza. Il nome viene dal latino osculari, baciare: la circonferenza non solo tocca il grafico, come le altre circonferenze tangenti, ma si incurva come esso. La figura mostra, con f(x)=x32−x+1f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1 e a=1,2a = 1{,}2, tre circonferenze tangenti al grafico e, tra di esse, quella osculatrice.

TeoremaEsistenza e unicità della circonferenza osculatrice

Siano ff una funzione derivabile in un intervallo aperto II e due volte derivabile in un punto aa di II, e siano m=f′(a)m = f'(a) e q=f′′(a)q = f''(a). Se q≠0q \neq 0, il grafico di ff ha in (a,f(a))(a, f(a)) esattamente una circonferenza osculatrice, di centro (h,k)(h, k) e raggio ρ\rho:

h=a−m(1+m2)q,k=f(a)+1+m2q,ρ=(1+m2)32∣q∣h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Il suo centro sta sulla retta normale al grafico nel punto, sopra il punto se q>0q > 0 e sotto di esso se q<0q < 0. Se q=0q = 0, il grafico non ha circonferenza osculatrice in (a,f(a))(a, f(a)).

Dimostrazione

  1. (a−h)+(f(a)−k)m=0(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}

    Supponiamo che una circonferenza di centro (h,k)(h, k) e raggio rr sia osculatrice, con la sua semicirconferenza uu. La prima uguaglianza del lemma, in x=ax = a, con u(a)=f(a)u(a) = f(a) e u′(a)=mu'(a) = m, dice che il centro soddisfa l’equazione della retta normale al grafico nel punto, secondo la definizione di retta tangente e retta normale della lezione sulla derivata come limite, sia se m≠0m \neq 0 sia se la normale è verticale.

  2. 1+m2+(f(a)−k)q=0→f(a)−k=−1+m2q,a−h=m(1+m2)q,r2=(1+m2)3q21 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}

    La seconda uguaglianza del lemma, in x=ax = a, con u′′(a)=qu''(a) = q, è impossibile se q=0q = 0, perché 1+m2>01 + m^2 > 0: non c’è circonferenza osculatrice. Se q≠0q \neq 0, essa determina f(a)−kf(a) - k; la prima uguaglianza dà allora a−ha - h, e l’equazione della circonferenza, il raggio. Pertanto, c’è al più una circonferenza osculatrice, e il suo centro e il suo raggio sono quelli dell’enunciato.

  3. u′(a)=−a−hf(a)−k=m,u′′(a)=−1+m2f(a)−k=qu'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}

    Viceversa, siano hh, kk e ρ\rho quelli dell’enunciato. La circonferenza di centro (h,k)(h, k) e raggio ρ\rho passa per (a,f(a))(a, f(a)), per il calcolo fatto sopra, e f(a)−kf(a) - k non si annulla e ha il segno di −q-q, sicché σ=−1\sigma = -1 se q>0q > 0, e il centro sta sopra il punto, e σ=1\sigma = 1 se q<0q < 0. La funzione uu del lemma soddisfa u(a)=k+σ∣f(a)−k∣=f(a)u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a), e le due uguaglianze del lemma, in x=ax = a, danno le sue derivate: la circonferenza è osculatrice.

Se q>0q > 0, la circonferenza osculatrice si appoggia al grafico dall’alto con la sua semicirconferenza inferiore, che è convessa; se q<0q < 0, con quella superiore, che è concava. In entrambi i casi, la proposizione del grafico e la sua tangente, della lezione sulla concavità e la convessità, con n=2n = 2, applicata a ff e a uu, che hanno la stessa tangente e derivate seconde dello stesso segno, pone il grafico e la circonferenza, vicino a aa, dalla stessa parte di quella tangente. Se f′′(a)=0f''(a) = 0, nessuna circonferenza va bene, perché la derivata seconda di una semicirconferenza non si annulla mai; la retta tangente, la cui derivata seconda è nulla, soddisfa le tre uguaglianze, e fa le veci di una circonferenza di raggio infinito.